傅里葉變換意義

、傅立葉變換的提出讓我們先看看為什么會(huì)有傅立葉變換？傅立葉是一位法國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的名字，英語(yǔ)原名是JeanBaptisteJosephFourier(1768-1830),Fourier對(duì)熱傳遞很感興趣，于1807年在法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)上發(fā)表了一篇論文，運(yùn)用正弦曲線來(lái)描述溫度分布，論文里有個(gè)在當(dāng)時(shí)具有爭(zhēng)議性的決斷：任何連續(xù)周期信號(hào)可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成。當(dāng)時(shí)審查這個(gè)論文的人其中有兩位是歷史上著名的數(shù)學(xué)家拉格朗日(JosephLouisLagrange,1736-1813)和拉普拉斯(PierreSimondeLaplace,1749-1827)，當(dāng)拉普拉斯和其它審查者投票通過(guò)并要發(fā)表這個(gè)論文時(shí)，拉格朗日?qǐng)?jiān)決反對(duì)，在近50年的時(shí)間里，拉格朗日?qǐng)?jiān)持認(rèn)為傅立葉的方法無(wú)法表示帶有棱角的信號(hào)，如在方波中出現(xiàn)非連續(xù)變化斜率。法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)屈服于拉格朗日的威望，拒絕了傅立葉的工作，幸運(yùn)的是，傅立葉還有其它事情可忙，他參加了政治運(yùn)動(dòng)，隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及，法國(guó)大革命后因會(huì)被推上斷頭臺(tái)而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年這個(gè)論文才被發(fā)表出來(lái)。誰(shuí)是對(duì)的呢？拉格朗日是對(duì)的：正弦曲線無(wú)法組合成一個(gè)帶有棱角的信號(hào)。但是，我們可以用正弦曲線來(lái)非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基于此，傅立葉是對(duì)的。為什么我們要用正弦曲線來(lái)代替原來(lái)的曲線呢？如我們也還可以用方波或三角波來(lái)代替呀，分解信號(hào)的方法是無(wú)窮的，但分解信號(hào)的目的是為了更加簡(jiǎn)單地處理原來(lái)的信號(hào)。用正余弦來(lái)表示原信號(hào)會(huì)更加簡(jiǎn)單，因?yàn)檎嘞覔碛性盘?hào)所不具有的性質(zhì)：正弦曲線保真度。一個(gè)正弦曲線信號(hào)輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質(zhì)，正因如此我們才不用方波或三角波來(lái)表示。、傅立葉變換分類根據(jù)原信號(hào)的不同類型，我們可以把傅立葉變換分為四種類別:1非周期性連續(xù)信號(hào)傅立葉變換(FourierTransform)2周期性連續(xù)信號(hào)傅立葉級(jí)數(shù)(FourierSeries)3非周期性離散信號(hào)離散時(shí)域傅立葉變換(DiscreteTimeFourierTransform)4周期性離散信號(hào)離散傅立葉變換(DiscreteFourierTransform)下圖是四種原信號(hào)圖例:這四種傅立葉變換都是針對(duì)正無(wú)窮大和負(fù)無(wú)窮大的信號(hào)，即信號(hào)的的長(zhǎng)度是無(wú)窮大的，我們知道這對(duì)于計(jì)算機(jī)處理來(lái)說(shuō)是不可能的，那么有沒有針對(duì)長(zhǎng)度有限的傅立葉變換呢？沒有。因?yàn)檎嘞也ū欢x成從負(fù)無(wú)窮小到正無(wú)窮大，我們無(wú)法把一個(gè)長(zhǎng)度無(wú)限的信號(hào)組合成長(zhǎng)度有限的信號(hào)。面對(duì)這種困難，方法是把長(zhǎng)度有限的信號(hào)表示成長(zhǎng)度無(wú)限的信號(hào)，可以把信號(hào)無(wú)限地從左右進(jìn)行延伸，延伸的部分用零來(lái)表示，這樣，這個(gè)信號(hào)就可以被看成是非周期性離解信號(hào)，我們就可以用到離散時(shí)域傅立葉變換的方法。還有，也可以把信號(hào)用復(fù)制的方法進(jìn)行延伸，這樣信號(hào)就變成了周期性離解信號(hào)，這時(shí)我們就可以用離散傅立葉變換方法進(jìn)行變換。這里我們要學(xué)的是離散信號(hào)，對(duì)于連續(xù)信號(hào)我們不作討論，因?yàn)橛?jì)算機(jī)只能處理離散的數(shù)值信號(hào)，我們的最終目的是運(yùn)用計(jì)算機(jī)來(lái)處理信號(hào)的。但是對(duì)于非周期性的信號(hào)，我們需要用無(wú)窮多不同頻率的正弦曲線來(lái)表示，這對(duì)于計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)是不可能實(shí)現(xiàn)的。所以對(duì)于離散信號(hào)的變換只有離散傅立葉變換DFT)才能被適用，對(duì)于計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)只有離散的和有限長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)才能被處理，對(duì)于其它的變換類型只有在數(shù)學(xué)演算中才能用到，在計(jì)算機(jī)面前我們只能用DFT方法，后面我們要理解的也正是DFT方法。這里要理解的是我們使用周期性的信號(hào)目的是為了能夠用數(shù)學(xué)方法來(lái)解決問(wèn)題，至于考慮周期性信號(hào)是從哪里得到或怎樣得到是無(wú)意義的。每種傅立葉變換都分成實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)兩種方法，對(duì)于實(shí)數(shù)方法是最好理解的，但是復(fù)數(shù)方法就相對(duì)復(fù)雜許多了，需要懂得有關(guān)復(fù)數(shù)的理論知識(shí)，不過(guò)，如果理解了實(shí)數(shù)離散傅立葉變換(realDFT)，再去理解復(fù)數(shù)傅立葉就更容易了，所以我們先把復(fù)數(shù)的傅立葉放到一邊去，先來(lái)理解實(shí)數(shù)傅立葉變換，在后面我們會(huì)先講講關(guān)于復(fù)數(shù)的基本理論，然后在理解了實(shí)數(shù)傅立葉變換的基礎(chǔ)上再來(lái)理解復(fù)數(shù)傅立葉變換。還有，這里我們所要說(shuō)的變換(transform)雖然是數(shù)學(xué)意義上的變換，但跟函數(shù)變換是不同的，函數(shù)變換是符合一一映射準(zhǔn)則的，對(duì)于離散數(shù)字信號(hào)處理DSP)，有許多的變換：傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等，這些都擴(kuò)展了函數(shù)變換的定義，允許輸入和輸出有多種的值，簡(jiǎn)單地說(shuō)變換就是把一堆的數(shù)據(jù)變成另一堆的數(shù)據(jù)的方法。三、一個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)離散傅立葉變換(RealDFT)的例子先來(lái)看一個(gè)變換實(shí)例，下圖是一個(gè)原始信號(hào)圖像:這個(gè)信號(hào)的長(zhǎng)度是16,于是可以把這個(gè)信號(hào)分解9個(gè)余弦波和9個(gè)正弦波(一個(gè)長(zhǎng)度為N的信號(hào)可以分解成N/2+1個(gè)正余弦信號(hào)，這是為什么呢？結(jié)合下面的18個(gè)正余弦圖,我想從計(jì)算機(jī)處理精度上就不難理解，一個(gè)長(zhǎng)度為N的信號(hào)，最多只能有N/2+1個(gè)不同頻率，再多的頻率就超過(guò)了計(jì)算機(jī)所能所處理的精度范圍)，如下圖：9個(gè)余弦信號(hào)：9個(gè)正弦信號(hào)把以上所有信號(hào)相加即可得到原始信號(hào)，至于是怎么分別變換出9種不同頻率信號(hào)的，我們先不急，先看看對(duì)于以上的變換結(jié)果，在程序中又是該怎么表示的，我們可以看看下面這個(gè)示例圖：上圖中左邊表示時(shí)域中的信號(hào)，右邊是頻域信號(hào)表示方法，從左向右表示正向轉(zhuǎn)換(ForwardDFT)，從右向左表示逆向轉(zhuǎn)換(InverseDFT)，用小寫x[]表示信號(hào)在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的幅度值數(shù)組，用大寫X[]表示每種頻率的副度值數(shù)組，因?yàn)橛蠳/2+1種頻率，所以該數(shù)組長(zhǎng)度為N/2+1，X[]數(shù)組又分兩種，一種是表示余弦波的不同頻率幅度值：ReX[]，另一種是表示正弦波的不同頻率幅度值：ImX[]，Re是實(shí)數(shù)(Real)的意思，Im是虛數(shù)(Imagine)的意思，采用復(fù)數(shù)的表示方法把正余弦波組合起來(lái)進(jìn)行表示，但這里我們不考慮復(fù)數(shù)的其它作用，只記住是一種組合方法而已，目的是為了便于表達(dá)(在后面我們會(huì)知道，復(fù)數(shù)形式的傅立葉變換長(zhǎng)度是N，而不是N/2+1)。下一節(jié)我們將來(lái)看一下實(shí)數(shù)傅立葉變換的具體方法。1、為什么要進(jìn)行傅里葉變換，其物理意義是什么？傅立葉變換是數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域一種很重要的算法。要知道傅立葉變換算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。傅立葉原理表明：任何連續(xù)測(cè)量的時(shí)序或信號(hào)，都可以表示為不同頻率的正弦波信號(hào)的無(wú)限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測(cè)量到的原始信號(hào)，以累加方式來(lái)計(jì)算該信號(hào)中不同正弦波信號(hào)的頻率、振幅和相位。和傅立葉變換算法對(duì)應(yīng)的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質(zhì)上說(shuō)也是一種累加處理，這樣就可以將單獨(dú)改變的正弦波信號(hào)轉(zhuǎn)換成一個(gè)信號(hào)。因此，可以說(shuō)，傅立葉變換將原來(lái)難以處理的時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號(hào)（信號(hào)的頻譜），可以利用一些工具對(duì)這些頻域信號(hào)進(jìn)行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號(hào)轉(zhuǎn)換成時(shí)域信號(hào)。從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，盡管最初傅立葉分析是作為熱過(guò)程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征?！比我狻钡暮瘮?shù)通過(guò)一定的分解，都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式，而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)類：1.傅立葉變換是線性算子，若賦予適當(dāng)?shù)姆稊?shù)，它還是酉算子；2.傅立葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似；3.正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù)，從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時(shí)不變雜的卷積運(yùn)算為簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算，從而提供了計(jì)算卷積的一種簡(jiǎn)單手段;5.離散形式的傅立葉的物理系統(tǒng)內(nèi),頻率是個(gè)不變的性質(zhì)，從而系統(tǒng)對(duì)于復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)可以通過(guò)組合其對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)來(lái)獲取；4.著名的卷積定理指出:傅立葉變換可以化復(fù)變換可以利用數(shù)字計(jì)算機(jī)快速的算出（其算法稱為快速傅立葉變換算法（FFT））。正是由于上述的良好性質(zhì),傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率、統(tǒng)計(jì)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。2、圖像傅立葉變換的物理意義圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo)，是灰度在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域，對(duì)應(yīng)的頻率值很低；而對(duì)于地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域，對(duì)應(yīng)的頻率值較高。傅立葉變換在實(shí)際中有非常明顯的物理意義，設(shè)f是一個(gè)能量有限的模擬信號(hào)，則其傅立葉變換就表示f的譜。從純粹的數(shù)學(xué)意義上看，傅立葉變換是將一個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)換為一系列周期函數(shù)來(lái)處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉(zhuǎn)換到空間域。換句話說(shuō)，傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變換為圖像的頻率分布函數(shù)，傅立葉逆變換是將圖像的頻率分布函數(shù)變換為灰度分布函數(shù)傅立葉變換以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對(duì)在連續(xù)空間（現(xiàn)實(shí)空間）上的采樣得到一系列點(diǎn)的集合，我們習(xí)慣用一個(gè)二維矩陣表示空間上各點(diǎn)，則圖像可由z=f（x,y）來(lái)表示。由于空間是三維的，圖像是二維的，因此空間中物體在另一個(gè)維度上的關(guān)系就由梯度來(lái)表示，這樣我們可以通過(guò)觀察圖像得知物體在三維空間中的對(duì)應(yīng)關(guān)系。為什么要提梯度？因?yàn)閷?shí)際上對(duì)圖像進(jìn)行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖，當(dāng)然頻譜圖上的各點(diǎn)與圖像上各點(diǎn)并不存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即使在不移頻的情況下也是沒有。傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點(diǎn)，實(shí)際上圖像上某一點(diǎn)與鄰域點(diǎn)差異的強(qiáng)弱，即梯度的大小，也即該點(diǎn)的頻率的大小（可以這么理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點(diǎn)，高頻部分相反）。一般來(lái)講，梯度大則該點(diǎn)的亮度強(qiáng)，否則該點(diǎn)亮度弱。這樣通過(guò)觀察傅立葉變換后的頻譜圖，也叫功率圖，我們首先就可以看出，圖像的能量分布，如果頻譜圖中暗的點(diǎn)數(shù)更多，那么實(shí)際圖像是比較柔和的（因?yàn)楦鼽c(diǎn)與鄰域差異都不大，梯度相對(duì)較?。?，反之，如果頻譜圖中亮的點(diǎn)數(shù)多，那么實(shí)際圖像一定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。對(duì)頻譜移頻到原點(diǎn)以后，可以看出圖像的頻率分布是以原點(diǎn)為圓心，對(duì)稱分布的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出圖像頻率分布以外，還有一個(gè)好處，它可以分離出有周期性規(guī)律的干擾信號(hào)，比如正弦干擾，一副帶有正弦干擾，移頻到原點(diǎn)的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在以某一點(diǎn)為中心，對(duì)稱分布的亮點(diǎn)集合，這個(gè)集合就是干擾噪音產(chǎn)生的，這時(shí)可以很直觀的通過(guò)在該位置放置帶阻濾波器消除干擾注：1、圖像經(jīng)過(guò)二維傅立葉變換后，其變換系數(shù)矩陣表明：若變換矩陣Fn原點(diǎn)設(shè)在中心，其頻譜能量集中分布在變換系數(shù)短陣的中心附近（圖中陰影區(qū)）。若所用的二維傅立葉變換矩陣Fn的原點(diǎn)設(shè)在左上角，那么圖像信號(hào)能量將集中在系數(shù)矩陣的四個(gè)角上。這是由二維傅立葉變換本身性質(zhì)決定的。同時(shí)也表明一股圖像能量集中低頻區(qū)域。2、變換之后的圖像在原點(diǎn)平移之前四角是低頻，最亮，平移之后中間部分是低頻，最亮，亮度大說(shuō)明低頻的能量大（幅角比較大）傅立葉變換在圖像處理中有非常非常的作用。因?yàn)椴粌H傅立葉分析涉及圖像處理的很多方面，傅立葉的改進(jìn)算法，比如離散余弦變換，gabor與小波在圖像處理中也有重要的分量。印象中，傅立葉變換在圖像處理以下幾個(gè)話題都有重要作用：圖像增強(qiáng)與圖像去噪絕大部分噪音都是圖像的高頻分量，通過(guò)低通濾波器來(lái)濾除高頻一一噪聲；邊緣也是圖像的高頻分量，可以通過(guò)添加高頻分量來(lái)增強(qiáng)原始圖像的邊緣；圖像分割之邊緣檢測(cè)提取圖像高頻分量圖像特征提?。盒螤钐卣鳎焊道锶~描述子紋理特征：直接通過(guò)傅里葉系數(shù)來(lái)計(jì)算紋理特征其他特征：將提取的特征值進(jìn)行傅里葉變換來(lái)使特征具有平移、伸縮、旋轉(zhuǎn)不變性圖像壓縮可以直接通過(guò)傅里葉系數(shù)來(lái)壓縮數(shù)據(jù)；常用的離散余弦變換是傅立葉變換的實(shí)變換；傅立葉變換傅里葉變換是將時(shí)域信號(hào)分解為不同頻率的正弦信號(hào)或余弦函數(shù)疊加之和。連續(xù)情況下要求原始信號(hào)在一個(gè)周期內(nèi)滿足絕對(duì)可積條件。離散情況下，傅里葉變換一定存在。岡薩雷斯版＜圖像處理〉里面的解釋非常形象：一個(gè)恰當(dāng)?shù)谋扔魇菍⒏道锶~變換比作一個(gè)玻璃棱鏡。棱鏡是可以將光分解為不同顏色的物理儀器，每個(gè)成分的顏色由波長(zhǎng)（或頻率）來(lái)決定。傅里葉變換可以看作是數(shù)學(xué)上的棱鏡，將函數(shù)基于頻率分解為不同的成分。當(dāng)我們考慮光時(shí)，討論它的光譜或頻率譜。同樣，傅立葉變換使我們能通過(guò)頻率成分來(lái)分析一個(gè)函數(shù)。傅立葉變換有很多優(yōu)良的性質(zhì)。比如線性，對(duì)稱性（可以用在計(jì)算信號(hào)的傅里葉變換里面）；時(shí)移性：函數(shù)在時(shí)域中的時(shí)移，對(duì)應(yīng)于其在頻率域中附加產(chǎn)生的相移，而幅度頻譜則保持不變；頻移性：函數(shù)在時(shí)域中乘以#jwt，可以使整個(gè)頻譜搬移w。這個(gè)也叫調(diào)制定理，通訊里面信號(hào)的頻分復(fù)用需要用到這個(gè)特性（將不同的信號(hào)調(diào)制到不同的頻段上同時(shí)傳輸）；卷積定理：時(shí)域卷積等于頻域乘積；時(shí)域乘積等于頻域卷積（附加一個(gè)系數(shù)）。（圖像處理里面這個(gè)是個(gè)重點(diǎn)）信號(hào)在頻率域的表現(xiàn)在頻域中，頻率越大說(shuō)明原始信號(hào)變化速度越快；頻率越小說(shuō)明原始信號(hào)越平緩。當(dāng)頻率為0時(shí)，表示直流信號(hào)，沒有變化。因此，頻率的大小反應(yīng)了信號(hào)的變化快慢。高頻分量解釋信號(hào)的突變部分，而低頻分量決定信號(hào)的整體形象。在圖像處理中，頻域反應(yīng)了圖像在空域灰度變化劇烈程度，也就是圖像灰度的變化速度，也就是圖像的梯度大小。對(duì)圖像而言，圖像的邊緣部分是突變部分，變化較快，因此反應(yīng)在頻域上是高頻分量；圖像的噪聲大部分情況下是高頻部分；圖像平緩變化部分則為低頻分量。也就是說(shuō)，傅立葉變換提供另外一個(gè)角度來(lái)觀察圖像，可以將圖像從灰度分布轉(zhuǎn)化到頻率分布上來(lái)觀察圖像的特征。書面一點(diǎn)說(shuō)就是，傅里葉變換提供了一條從空域到頻率自由轉(zhuǎn)換的途徑。對(duì)圖像處理而言，以下概念非常的重要：圖像高頻分量：圖像突變部分；在某些情況下指圖像邊緣信息，某些情況下指噪聲，更多是兩者的混合；低頻分量：圖像變化平緩的部分，也就是圖像輪廓信息高通濾波器：讓圖像使低頻分量抑制，高頻分量通過(guò)低通濾波器：與高通相反，讓圖像使高頻分量抑制，低頻分量通過(guò)帶通濾波器：使圖像在某一部分的頻率信息通過(guò)，其他過(guò)低或過(guò)高都抑制還有個(gè)帶阻濾波器，是帶通的反。模板運(yùn)算與卷積定理在時(shí)域內(nèi)做模板運(yùn)算，實(shí)際上就是對(duì)圖像進(jìn)行卷積。模板運(yùn)算是圖像處理一個(gè)很重要的處理過(guò)程，很多圖像處理過(guò)程，比如增弭去噪（這兩個(gè)分不清楚），邊緣檢測(cè)中普遍用到。根據(jù)卷積定理，時(shí)域卷積等價(jià)與頻域乘積。因此，在時(shí)域內(nèi)對(duì)圖像做模板運(yùn)算就等效于在頻域內(nèi)對(duì)圖像做濾波處理。比如說(shuō)一個(gè)均值模板，其頻域響應(yīng)為一個(gè)低通濾波器；在時(shí)域內(nèi)對(duì)圖像作均值濾波就等效于在頻域內(nèi)對(duì)圖像用均值模板的頻域響應(yīng)對(duì)圖像的頻域響應(yīng)作一個(gè)低通濾波。圖像去噪圖像去噪就是壓制圖像的噪音部分。因此，如果噪音是高頻額，從頻域的角度來(lái)看，就是需要用一個(gè)低通濾波器對(duì)圖像