2014年天津卷理科數(shù)學含答案

絕密★啟用前2014年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(天津卷)本試卷分第I卷(選擇題)和第H卷(非選擇題)兩部分，共150分，考試用時120分鐘。第I卷1至2頁，第H卷3至5頁。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時，考生務必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利！第I卷注意事項：1.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。2本卷共8小題，每小題5分，共40分。參考公式：?如果事件A?如果事件A,B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B)?圓柱的體積公式v=Sh.其中S表示圓柱的底面面積，h表示圓柱的高.?如果事件A,B相互獨立，那么P(AB)=P(A)P(B).v=1Sh?圓錐的體積公式 3.其中S表示圓錐的底面面積，h表示圓錐的高.一、選擇題：在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的.7+i=TOC\o"1-5"\h\z(1)i是虛數(shù)單位，復數(shù)3+4i 【A】17 31. 1725.\o"CurrentDocument"+^Ti ^i\o"CurrentDocument"(A)1-i (B)-1+i (C)25 25 (D) 7 7X+y-2>0,

<x-y-2<0,(2)設變量X,y滿足約束條件〔y>1，則目標函數(shù)工=X+2y的最小值為【B】(A)2 (B)3 (C)4 (D)5(3)閱讀右邊的程序框圖，運行相應的程序，輸出的S的值為【B】(A)15 (B)105(C)245 (D)945(4)(A)15 (B)105(C)245 (D)945(4)fX=log1函數(shù) 2X2—4的單調(diào)遞增區(qū)間是【D】(A)0,+oo(B)—oo,0是(C)2,+oo(D)—oo,—2一.」/輸出石一/(5)已知雙曲線a2 b2a〉0,b>0的一條漸近線平行于直線1：y=2X+1。，雙曲線的一個焦點在直線1上，則雙曲線的方程為【A】x2 y2(A)I與一TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3x2 3y2 - =125 100

3x2 3y2 - =1\o"CurrentDocument"100 25⑹如圖，ABC是圓的內(nèi)接三角形，/BAC的平分線交圓于點D，交BC于點E，過點B的圓的切線與AD的延長線交于點F.在上述條件下，給出

下列四個結(jié)論：①BD平分/CBF:②FB2=FDF,③AEOBEDE；④AF.BD=AB.BF則所有正確結(jié)論的序號是【D】（A）①② （B）③④ （C）①②③ （D）①②④（7）設a,bER，則|"a>b”是“a（八）充要不必要條件 （8）必要不充分條件（。（。）充要條件（D）既不充要也不必要條件（8）已知菱形ABCD的邊長為2,BAD=1200，點邑F分別在邊BC,DC上，BE=入BC，DF—DC.DF—DC.若AEAF=1，CE.CF=--1（A）1（A）2（B）35（C）6（D）12正視圖側(cè)視圖俯視圖正視圖側(cè)視圖俯視圖第口卷注意事項:.用黑色墨水鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。.本卷共12小題，共110分。二、填空題（本大題共6個小題，每小題5分，共30分.把答案填在題中橫線上.）（9）某大學為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進行調(diào)查.已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4：5：5：6,則應從一年級本科生中抽取_60 名學生.（10）已知一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積207r

（11）設a是首項為a1，公差為-1的等差數(shù)列，Sr為其前n項和.若"'S2，S4成等比數(shù)列U，則5的值為b—c——a（12）在ABBC中，內(nèi)角O,B'C所對的邊分別是a也上已知4,2sinB=3sinC，則c0sA的值為（13）在以0為極點的極坐標系中，圓'=4sin和和直線Psin' 相交于A,B兩點.若AO08是等邊三角形，則〃的值為qfx=x2+3x(14fx=x2+3x(14)已知函數(shù)1 恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為 0Va<1或a>9三、解答題（本題共6道大題，滿分80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）（15）（本小題滿分13分）fG）二已知函數(shù). 兀cosx-sinxfG）二已知函數(shù). 兀cosx-sinx+—一<3cos2x+色4xgR（口）求fG）的最小正周期;（口）求f（x）在閉區(qū)間〔（口）于x解：由已知，有兀4TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"」sinx.cosx-3cos2x+豆

2 2 41 3 3———sin2x 1+cos2x-\ \o"CurrentDocument"4 4 4

f所以，（口）解:f-14j1sin2x-41.=—sin

2亙f所以，（口）解:f-14j1sin2x-41.=—sin

2亙cos2x

42x-3x 丁=2r=7r的最小正周期2fx因為J在區(qū)間ITVfx所以，函數(shù)7T47T7T一、、-4，4在閉區(qū)間?447T12 12上是減函數(shù)，在區(qū)間］7T7T12,4 124J上是增函數(shù).1 1）上的最大值為4,最小值為2（16）（本小題滿分13分）某大學志愿者協(xié)會有6名男同學，4名女同學.在這10名同學中，3名同學來自數(shù)學學院，其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院.現(xiàn)從這10名同學中隨機選取3名同學，到希望小學進行支教活動（每位同學被選到的可能性相同）.（口）求選出的3名同學是來自互不相同學院的概率;（口）設X為選出的3名同學中女同學的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.（I）解：設“選出的3名同學來自互不相同的學院”為事件A，則3 7 3 760C36010所以，49所以，49選出的3名同學來自互不相同學院的概率為60727rfx T=V=所以，的最小正周期2所以，（II）解：隨機變量X的所有可能值為0,1,2,3.

Ck?C3k4C36 k=0,1,2,310所以，隨機變量x的分布列是X01231131P————621030EX=0x1+1x1+2x—+3x—=-隨機變量X的數(shù)學期望 6 2 10 30 5（17）（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐P—abcd中，pA,底面ABCD,ADLAB，AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1點E為棱PC的中點.（口）證明BE^DC；（口）求直線BE與平面PBD所成角的正弦值;（口）若F為棱PC上一點，滿足BF^AC，求二面角F—AB—P的余弦值.（方法一）依題意，以點A為原點建立空間直角坐標系（如圖），可得B1,0,0，C2,2,0，D0,2,0P002.由E為棱PC的中點，得EU』.（i）證明：（i）證明：向量B'=0,1,1R2,0,0,故就灰=°.所以，BE1DCBD=—1,2,0(II)解：向量n,BD=0,為平面PBD的法向量，則n,BD=0,為平面PBD的法向量，則npB=0,一x+2y 0,即1—2z=0.不妨令y=L可得n=2,1,1為平面PBD的一個法向量.于是有nEBE|n|.benEBE|n|.be2 _<3v'6xJ2 3所以，直線BE與平面PBD所成角的正弦值為3(III)解：向量BC=1,2,0CP=-2,-2,2 AC=2,2,0AB=1,0,0由點F在棱PC上，設CF=XCP,0<A<1BF=BC+CF=BC+aCP=1-2A,2-2A,2A故 ^由BF±AC，得BFA=0,因此，21-2A+22-2A=0A=3BF=解得4.即設〃i=x,y,z為平面FAB的法向量，則n「AB=0,nBF=0,i ,即x=0,—x-|—y-|—z=0.2 2 2不妨令z=1，可得〃i=0,—3,1為平面FAB的一個法向量.取平面ABP的法向量〃2=0,1,0，貝U.一一. n?n—3 3J10cos[n,n)=-^±二—=——= '1W n?n Mx1 10i13、而易知，二面角F-AB-P是銳角，所以其余弦值為10(方法二)(I)證明：如圖，取PD中點M，連接EM,AM由于E,M分別為PC'PD的中點，故EM〃DC，且E"2DC又由已知，可得EM〃AB且EM=AB,故四邊形ABEM為平行四邊形，所以BE〃AM因為PA底面ABCD，故PA^CD，而CD^DA，從而CD平面PAD，因為AMC平面PAD，于是CD±AM，又BE〃AM，所以BE，CD(II)解:連接BM，由(I)有CD,平面PAD，得CD^PD，而EM//CD，故PD上EM又因為AD=AP,M為PD的中點，故PD^AM，可得PD，BE，所以PD平面BEM故平面BEM，平面PBD所以直線BE在平面PBD內(nèi)的射影為直線BM，而BE,EM，可得/EBM為銳角，故』EBM為直線BE與平面PBD所成的角.依題意，有PD=2v2，而M為PD中點，可得AM=尤，進而BE=V2tan/EBM=EM=AB=工 sinEMBB=—故在直角三角形BEM中， BEBE"2,因此 3

在所以，直線BE與平面PBD所成角的正弦值為3(III)解：如圖，在APAC中，過點/作FH//PA交AC于點H因為PA底面ABCD,故FH底面ABCD,從而FS又BF^AC，得AC平面fhb，因此AC±BH在底面ABCD內(nèi)，可得CH=3HA,從而CF=3FP.在平面PDC內(nèi)，作FG〃DC交PD于點G,于是*3Gp由于DC//AB，故GF〃AB，所以A,B,F,G四點共面.由ABPA,AB±AD，得AB，平面PAD，故ABLAG.所以PAGG為二面角F—AB—P的平面角.PG=1PD=包在WAG中，PA=2, 4 2,APGG=45。，…<10 3<10AG= cos/PAG=-由余弦定理可得 2, 103而所以，二面角F—AB—P的斜率值為10(18)(本小題滿分13分)x2y2——+——=1設橢圓a2b2 (a>b>0)的左、右焦點為Fi，2，右頂點為A，上頂點為B.已知lABl=41F1F21.(口)求橢圓的離心率；(口)設P為橢圓上異于其頂點的一點，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點F1,經(jīng)過原點的直線1與該圓相切.求直線的斜率.。解：設橢圓的右焦點F2的坐標為，,0.由1叫=馬勺號，可得a2+b2=3。2,又e- 所以，橢圓的離心率 2aa2b2=73c,e- 所以2a2-c2=3c2，解得a=、：2c， 2（口）解：由（口）x2知a2=2c2，b2=c2.故橢圓方程為2c2—c,0 B0,c，有FP 0FPFB=0由已知，有1 1x+c，即0.又J0，故有又因為點P在橢圓上，由①和②可得3x由①和②可得3x02+4cx0=0.而點P不是橢圓的頂點，故4cx 0 3，代入①得cy=—0 3，即點P的坐標為IT設圓的圓心為x,T設圓的圓心為x,y 丁+=-tc1,1，則1 2 3yic3+c2 =—c2 3，進而圓的半徑r=、：x—02+y—c2=c^-c1 1 1 3設直線1的斜率為k，依題意，直線1的方程為y=k10由l與圓相切，可得2x—y2k2+1=r，即~3_^5k221整理得22—82+1=0，解得2=4±。'15所以，直線1的斜率為4+\：’15或4-<15（19）（本小題滿分14分）M=0,1,2,...,q-1已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù).設集合 “，集合A=xx=x+xq Xqqn_1,xGM,i=1,2,…,n1 2 n i.（口）當q=2，n=3時，用列舉法表示集合A；(II)設s,teAs=a+qq-\ ^qqnt=bbqq-\ bbqn-1，其中〃一2-_3M=0,1(口)解：當"2,n=3時， ，

x|x=x-p2x+4x,xeM,i=1,2,3可得，A=0，23456,7（口）（口）證明：由s,teAs=a+aq-\ aaqn-1t—b+bqT qbqn-1s—ts—t'?二1,2,…,幾及an<bn，可得a—b+a—bq—|—?…—|—a—b qn2—|—a—bqn1<q—1+q—1q q—1qn2—qn-1q一11一qn1 qn—11q-1<0所以，s<t（20）（本小題滿分14分）11已知函數(shù)fx=X~aeXaER,xWR.已知函數(shù)y=fx有兩個零點x1,x2

11（口）求a的取值范圍；X一（口）證明X1隨著a的減小而增大；（口）證明X1+X2隨著a的減小而增大.（［）鏟由于*—x~aex可得ffx=1—ae下面分兩種情況討論:(1)a-0時f，X>0在R上恒成立，可得fX在R上單調(diào)遞增，不合題意.（2）a>。時，由fx=0，得x=-1na當x變化時，f,f 的變化情況如下表：x一cxd,—1na—1na—1na,+00fx+0fx/—1na—1\這時，fx的單調(diào)遞增區(qū)間是一0°'—1na;單調(diào)遞減區(qū)間是一1na'+00于是，“函數(shù)y=f*有兩個零點”等價于如下條件同時成立：1°f-1na>0；2。存在［G—2—lna，滿足“<030存在'2《―1na'+"，滿足于S<O由f-lna>。，即—1na」>。，解得0Va<e—、而此時，取si=0，滿足, 八s=2'1n2 .s6-oo,-1na fs=-a<0 s2a+皿asE—lna,+m，且121 ，且1 ；取aa，滿足2

，且122 2一—Caa\,22 2 2一—Caa\+In——ea<0

a0,e~i(口)fx=x—aex=0證明：(口)fx=x—aex=0證明：由，有x

a==—

exTOC\o"1-5"\h\zx. 1—x設gXK，由…F，知gx在-E上單調(diào)遞增，在1，上單調(diào)遞減.xe-oo,0 gx<Qxe0,+oc gx>。\o"CurrentDocument"且，當 時， ；當 時， .\o"CurrentDocument"