幾何學發(fā)展簡史講義

幾何學發(fā)展簡史現(xiàn)在是1頁\一共有70頁\編輯于星期五前言：

幾何學是一門古老而實用的科學,是自然科學的重要組成部分。在史學中,幾何學的確立和統(tǒng)一經歷了二千多年,數(shù)百位數(shù)學家做出了不懈的努力?，F(xiàn)在是2頁\一共有70頁\編輯于星期五

幾何這個詞最早來自于希臘語“γεωμετρ?α”，由“γ?α”（土地）和“μετρε

?ν”（測量）兩個詞合成而來，指土地的測量，即測地術。后來拉丁語化為“geometria”。中文中的“幾何”一詞，最早是在明代利瑪竇、徐光啟合譯《幾何原本》時，由徐光啟所創(chuàng)。當時并未給出所依根據，后世多認為一方面幾何可能是拉丁化的希臘語GEO的音譯，另一方面由于《幾何原本》中也有利用幾何方式來闡述數(shù)論的內容，也可能是magnitude（多少）的意譯，所以一般認為幾何是geometria的音、意并譯。

1607年出版的《幾何原本》中關于幾何的譯法在當時并未通行，同時代也存在著另一種譯名——形學，如狄考文、鄒立文、劉永錫編譯的《形學備旨》，在當時也有一定的影響。在1857年李善蘭、偉烈亞力續(xù)譯的《幾何原本》后9卷出版后，幾何之名雖然得到了一定的重視，但是直到20世紀初的時候才有了較明顯的取代形學一詞的趨勢，如1910年《形學備旨》第11次印刷成都翻刊本徐樹勛就將其改名為《續(xù)幾何》。直至20世紀中期，已鮮有“形學”一詞的使用出現(xiàn)

現(xiàn)在是3頁\一共有70頁\編輯于星期五古希臘的幾何學發(fā)展解析幾何投影幾何非歐幾何微分幾何幾何的公理化現(xiàn)在是4頁\一共有70頁\編輯于星期五歐氏幾何的創(chuàng)始

公認的幾何學的確立源自公元300多年前,希臘數(shù)學家歐幾里得著作《原本》。歐幾里得在《原本》中創(chuàng)造性地用公理法對當時所了解的數(shù)學知識作了總結。全書共有13卷,包括5條公理,5條公設,119個定義和465條命題。這些公設和公理及基本定義成為《原本》的推理的基礎。

歐幾里得的《原本》是數(shù)學史上的一座里程碑,在數(shù)學中確立了推理的范式。他的思想被稱作“公理化思想”。

現(xiàn)在是5頁\一共有70頁\編輯于星期五萌芽期實驗幾何現(xiàn)在是6頁\一共有70頁\編輯于星期五現(xiàn)在是7頁\一共有70頁\編輯于星期五現(xiàn)在是8頁\一共有70頁\編輯于星期五

古希臘天文學與幾何學之父,他曾正確的預測日蝕的時間.對一些幾何圖形做有系統(tǒng)的研究.啟蒙期

泰利斯現(xiàn)在是9頁\一共有70頁\編輯于星期五啟蒙期

首創(chuàng)集體創(chuàng)作,稱為畢式學派.也是一位音樂家,發(fā)明畢式音階.畢式定理為幾何學中的重要定理.這個學派認為"數(shù)"是宇宙萬物的基礎.

畢達哥拉斯現(xiàn)在是10頁\一共有70頁\編輯于星期五啟蒙期

尤多拉斯：創(chuàng)立窮盡法(exhaustionmethod),所謂窮盡法就是"無窮的逼近"的觀念,主要構想是為了求取圓周率π的近似值.所予理論上說尤多拉斯是微積分的開山祖師.

尤多拉斯的另一貢獻為對比例問題做有系統(tǒng)的研究現(xiàn)在是11頁\一共有70頁\編輯于星期五歐幾里得巔峰期現(xiàn)在是12頁\一共有70頁\編輯于星期五《原本》的簡介

古希臘數(shù)學家歐幾里得把至希臘時代為止所得到的數(shù)學知識集其大成，編成十三卷的《原本》，這就是直到今天仍廣泛地作為幾何學的教科書使用下來的歐幾里得幾何學（簡稱歐氏幾何）。

《原本》是一部劃時代的著作，是最早用公理法建立起演繹數(shù)學體系的典范。古希臘數(shù)學的基本精神，是從少數(shù)的幾個原始假定（定義、公設、公理）出發(fā)，通過邏輯推理，得到一系列命題。這種精神，充分體現(xiàn)在歐幾里得的《原本》中。

《原本》全書共分13卷，包括有5條公理、5條公設、119個定義和465條命題。現(xiàn)在是13頁\一共有70頁\編輯于星期五《原本》的優(yōu)缺點歐幾里德《原本》可以說是數(shù)學史上的第一座理論豐碑。它最大的功績，是在于數(shù)學中演繹范式的確立，這種范式要求一門學科中的每個命題必須是在它之前已建立的一些命題的邏輯結論，而所有這樣的推理鏈的共同出發(fā)點，是一些基本定義和被認為是不證自明的基本原理——公設或公理。這就是后來所謂的公理化思想?，F(xiàn)在是14頁\一共有70頁\編輯于星期五

首先使用了重合法來證明圖形的全等。這方法有兩點值得懷疑：

第一，它用了運動的概念，而這是沒有邏輯依據的；

第二，重合法默認圖形從一處移動到另一處時所有性質保持不變。要假定移動圖形而不致改變它的性質，那就要對物理空間假定很多的條件。

其次是公理系統(tǒng)不完備，例如沒有運動、連續(xù)性、順序等公理，因此許多證明不得不借助于直觀，利用今天的認識可以發(fā)現(xiàn)歐幾里德用了數(shù)十個他所從未提出而且無疑并未發(fā)覺的假定，包括關于直線和圓的連續(xù)性的假定?，F(xiàn)在是15頁\一共有70頁\編輯于星期五衰退期自阿基米德及阿波羅尼阿斯之后,希臘數(shù)學已漸漸走入衰退期.在這中間,仍有幾位值得一提的人物.托勒密:將三角函數(shù)發(fā)揚光大,并由此將天文學炒熱.帕布斯:可說是末代時期的代表人物.現(xiàn)在是16頁\一共有70頁\編輯于星期五古希臘幾何發(fā)展的原因現(xiàn)在是17頁\一共有70頁\編輯于星期五

畢學派首先提出下列觀念:"將神秘性,不確定性從自然活動中抹去,并將表面看似紛亂不堪的自然現(xiàn)象,重新整理成可理解的次序和型式,并決定性的關鍵就在於數(shù)學的應用."繼承畢式學派觀念的就是柏拉圖:

柏拉圖主張:"只有循數(shù)學一途,才能了解實體世界的真面目,而科學之成為科學,在於它含有數(shù)學的份."就是因為希臘時代的一些學者對於自然的這種看法和確立了依循數(shù)學研究自然的做法,給食臘時代本身及后來世世代代的數(shù)學創(chuàng)見提供了莫大的誘因.而在數(shù)學的領域中,幾何學是最接近實際的描述.對希臘人而言,幾何學的原則是宇宙結構的具體表現(xiàn),本身正一門實際空間的科學.幾何學就是數(shù)學,研究的中心.現(xiàn)在是18頁\一共有70頁\編輯于星期五希臘數(shù)學中的著名問題現(xiàn)在是19頁\一共有70頁\編輯于星期五方圓問題:是否能將一個已知的圓,變成一個正方形,而使得兩者面積相等

這個問題在由尤多拉斯時代,就有許多人在這方面的研究,直到十九世紀才證明其為不可能,但是研究期間,已經另外產生了許多數(shù)學的支.現(xiàn)在是20頁\一共有70頁\編輯于星期五倍積問題:對一個已知的正立方體,長,寬,高應該擴大,才可使新的立方體為原來立方體體積的兩倍.等分角問題:對任意的一個角,如何將其三等分.問題2,3到十九世紀才被解決,證明為不可能.現(xiàn)在是21頁\一共有70頁\編輯于星期五平行公設:

有人認為平行公設不為一公設,所以有人將平行公設這個去除,結果造出一套新的幾何學出來,而又不會違背原來的歐式幾何,這也就是非歐幾何學.也就是愛因斯坦相對論的基礎.

也許有人認為希臘人不切實際,這三個問題在當時,可說完全無實用性,只可說是一些有閑階級的人磨練腦力之用.但是就是因為有那麼多人投下心力去研究,才會間接帶動幾何學研究的風潮.而因此產生以后數(shù)學蓬勃的發(fā)展.現(xiàn)在是22頁\一共有70頁\編輯于星期五解析幾何的誕生

解析幾何是變量數(shù)學最重要的體現(xiàn)。解析幾何的基本思想是在平面上引入“坐標”的概念,并借助這種坐標在平面上的點和有序實數(shù)對(x,y)建立一一對應的關系,于是幾何問題就轉化為代數(shù)問題。

解析幾何的真正創(chuàng)立者應該是法國數(shù)學家迪卡兒和費馬。1637年迪卡兒在《更好的指導推理和尋求科學真理的方法論》的附錄《幾何學》中清晰的體現(xiàn)了解析幾何的思想。而費馬則是在論平面和立體的軌跡引論中闡述了解析幾何的原理,他在書中提出并使用了坐標的概念,同時建立了斜坐標系和直角坐標系。

現(xiàn)在是23頁\一共有70頁\編輯于星期五

十六世紀以后，由于生產和科學技術的發(fā)展，天文、力學、航海等方面都對幾何學提出了新的需要。比如，德國天文學家開普勒發(fā)現(xiàn)行星是繞著太陽沿著橢圓軌道運行的，太陽處在這個橢圓的一個焦點上；意大利科學家伽利略發(fā)現(xiàn)投擲物體試驗時，物體沿著拋物線運動的。這些發(fā)現(xiàn)都涉及到圓錐曲線，要研究這些比較復雜的曲線，原先的一套方法顯然已經不適應了，這就導致了解析幾何的出現(xiàn)。現(xiàn)在是24頁\一共有70頁\編輯于星期五1637年，法國的哲學家和數(shù)學家笛卡爾發(fā)表了他的著作《方法論》，這本書的后面有三篇附錄，一篇叫《折光學》，一篇叫《流星學》，一篇叫《幾何學》。當時的這個“幾何學”實際上指的是數(shù)學，就像我國古代“算術”和“數(shù)學”是一個意思一樣?，F(xiàn)在是25頁\一共有70頁\編輯于星期五笛卡爾的《幾何學》共分三卷，第一卷討論尺規(guī)作圖；第二卷是曲線的性質；第三卷是立體和“超立體”的作圖，但他實際是代數(shù)問題，探討方程的根的性質。后世的數(shù)學家和數(shù)學史學家都把笛卡爾的《幾何學》作為解析幾何的起點?，F(xiàn)在是26頁\一共有70頁\編輯于星期五從笛卡爾的《幾何學》中可以看出，笛卡爾的中心思想是建立起一種“普遍”的數(shù)學，把算術、代數(shù)、幾何統(tǒng)一起來。他設想，把任何數(shù)學問題化為一個代數(shù)問題，在把任何代數(shù)問題歸結到去解一個方程式。

現(xiàn)在是27頁\一共有70頁\編輯于星期五為了實現(xiàn)上述的設想，笛卡爾茨從天文和地理的經緯制度出發(fā)，指出平面上的點和實數(shù)對(x,y)的對應關系。x,y的不同數(shù)值可以確定平面上許多不同的點，這樣就可以用代數(shù)的方法研究曲線的性質。這就是解析幾何的基本思想?，F(xiàn)在是28頁\一共有70頁\編輯于星期五具體地說，平面解析幾何的基本思想有兩個要點：第一，在平面建立坐標系，一點的坐標與一組有序的實數(shù)對相對應；第二，在平面上建立了坐標系后，平面上的一條曲線就可由帶兩個變數(shù)的一個代數(shù)方程來表示了。從這里可以看到，運用坐標法不僅可以把幾何問題通過代數(shù)的方法解決，而且還把變量、函數(shù)以及數(shù)和形等重要概念密切聯(lián)系了起來。

現(xiàn)在是29頁\一共有70頁\編輯于星期五解析幾何的產生并不是偶然的。在笛卡爾寫《幾何學》以前，就有許多學者研究過用兩條相交直線作為一種坐標系；也有人在研究天文、地理的時候，提出了一點位置可由兩個“坐標”（經度和緯度）來確定。這些都對解析幾何的創(chuàng)建產生了很大的影響?，F(xiàn)在是30頁\一共有70頁\編輯于星期五在數(shù)學史上，一般認為和笛卡爾同時代的法國業(yè)余數(shù)學家費爾馬也是解析幾何的創(chuàng)建者之一，應該分享這門學科創(chuàng)建的榮譽。

現(xiàn)在是31頁\一共有70頁\編輯于星期五費爾馬是一個業(yè)余從事數(shù)學研究的學者，對數(shù)論、解析幾何、概率論三個方面都有重要貢獻。他性情謙和，好靜成癖，對自己所寫的“書”無意發(fā)表。但從他的通信中知道，他早在笛卡爾發(fā)表《幾何學》以前，就已寫了關于解析幾何的小文，就已經有了解析幾何的思想。只是直到1679年，費爾馬死后，他的思想和著述才從給友人的通信中公開發(fā)表?，F(xiàn)在是32頁\一共有70頁\編輯于星期五笛卡爾的《幾何學》，作為一本解析幾何的書來看，是不完整的，但重要的是引入了新的思想，為開辟數(shù)學新園地做出了貢獻?，F(xiàn)在是33頁\一共有70頁\編輯于星期五

恩格斯對此曾經作過評價：“數(shù)學中的轉折點是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學；有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學；有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了?！爆F(xiàn)在是34頁\一共有70頁\編輯于星期五解析幾何的基本內容

在解析幾何中，首先是建立坐標系。取定兩條相互垂直的、具有一定方向和度量單位的直線，叫做平面上的一個直角坐標系oxy。利用坐標系可以把平面內的點和一對實數(shù)(x,y)建立起一一對應的關系。除了直角坐標系外，還有斜坐標系、極坐標系、空間直角坐標系等等。在空間坐標系中還有球坐標和柱面坐標。現(xiàn)在是35頁\一共有70頁\編輯于星期五

坐標系將幾何對象和數(shù)、幾何關系和函數(shù)之間建立了密切的聯(lián)系，這樣就可以對空間形式的研究歸結成比較成熟也容易駕馭的數(shù)量關系的研究了。用這種方法研究幾何學，通常就叫做解析法。這種解析法不但對于解析幾何是重要的，就是對于幾何學的各個分支的研究也是十分重要的。現(xiàn)在是36頁\一共有70頁\編輯于星期五解析幾何的應用

解析幾何又分作平面解析幾何和空間解析幾何。在平面解析幾何中，除了研究直線的有關直線的性質外，主要是研究圓錐曲線（圓、橢圓、拋物線、雙曲線）的有關性質。在空間解析幾何中，除了研究平面、直線有關性質外，主要研究柱面、錐面、旋轉曲面?，F(xiàn)在是37頁\一共有70頁\編輯于星期五橢圓、雙曲線、拋物線的有些性質，在生產或生活中被廣泛應用。比如電影放映機的聚光燈泡的反射面是橢圓面，燈絲在一個焦點上，影片門在另一個焦點上；探照燈、聚光燈、太陽灶、雷達天線、衛(wèi)星的天線、射電望遠鏡等都是利用拋物線的原理制成的?，F(xiàn)在是38頁\一共有70頁\編輯于星期五總的來說，解析幾何運用坐標法可以解決兩類基本問題：一類是滿足給定條件點的軌跡，通過坐標系建立它的方程；另一類是通過方程的討論，研究方程所表示的曲線性質。現(xiàn)在是39頁\一共有70頁\編輯于星期五運用坐標法解決問題的步驟是：首先在平面上建立坐標系，把已知點的軌跡的幾何條件“翻譯”成代數(shù)方程；然后運用代數(shù)工具對方程進行研究；最后把代數(shù)方程的性質用幾何語言敘述，從而得到原先幾何問題的答案?，F(xiàn)在是40頁\一共有70頁\編輯于星期五

坐標法的思想促使人們運用各種代數(shù)的方法解決幾何問題。先前被看作幾何學中的難題，一旦運用代數(shù)方法后就變得平淡無奇了。坐標法對近代數(shù)學的機械化證明也提供了有力的工具?，F(xiàn)在是41頁\一共有70頁\編輯于星期五

解析幾何在方法論上是一個了不起的創(chuàng)見：①笛卡兒希望通過解析幾何給幾何引進一個新的方法，他的成就遠遠超過他的希望，在代數(shù)的幫助下，不但能迅速地證明關于曲線的某些事實，而且這個探索問題的方式，幾乎成為自動的了。②解析幾何把代數(shù)和幾何結合起來，把數(shù)學造成一個雙面工具。③解析幾何的顯著優(yōu)點在于它是數(shù)量的工具。④為數(shù)學思想的發(fā)展開拓了新的天地。⑤揭示了數(shù)學的內在統(tǒng)一性。現(xiàn)在是42頁\一共有70頁\編輯于星期五非歐幾何的誕生與發(fā)展

非歐幾何的誕生源于人們長久以來對歐幾里得《原本》中第五公設即平行公設的探討,但一直未得到公設的結論。直到數(shù)學家高斯、波約和俄國數(shù)學家羅巴切夫斯基在自己的論著中都描述了這樣一種幾何,以“從直線外一點可以引不止一條直線平行于已知直線”作為替代公式,進行推理而得出的新的一套幾何學定理,并將它命名為非歐幾何,一般稱為“羅氏幾何”。

現(xiàn)在是43頁\一共有70頁\編輯于星期五現(xiàn)在是44頁\一共有70頁\編輯于星期五歐式幾何五條公設和五條公理公設1、任意兩個點可以通過一條直線連接。2、任意線段能無限延伸成一條直線。3、給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓。4、所有直角都全等。5、若兩條直線都與第三條直線相交，并且在同一邊的內角之和小于兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。公理1、等于同量的量彼此相等。2、等量加等量，其和仍相等。3、等量減等量，其差仍相等。4、彼此能夠重合的物體是全等的。5、整體大于部分?，F(xiàn)在是45頁\一共有70頁\編輯于星期五第五公設的疑問

但長期以來，人們一直對第五公設心存疑問。首先，第五公設相較于其他公設晦澀而難懂，許多人第一眼看上去并不了解這說的是什么。其次，即便稍稍弄明白了意思，數(shù)學家們也糾結于它的證明。但就是這樣一個小小的疑問，在今后的數(shù)學界卻掀起了巨大的波瀾。第五公設的簡化

因而蘇格蘭科學家普雷費爾給出了它的等價命題：過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，如何證明？現(xiàn)在是46頁\一共有70頁\編輯于星期五非歐幾何發(fā)展的成熟期一是以俄國數(shù)學家羅巴切夫斯基為首的羅巴切夫斯基幾何學派一是以德國數(shù)學家黎曼為首的黎曼幾何學派現(xiàn)在是47頁\一共有70頁\編輯于星期五羅氏幾何

羅巴切夫斯基首先否定了第五公設并得出了他的觀點：過已知直線外一點至少可以作兩條直線與已知直線平行。

在羅氏幾何中，三角形的一個顯著特點是其內角之和嚴格小于平角，不存在相似三角形。但最令人難以接受的是任意三角形的面積都是有界的。由此推導出的羅氏正弦定律、余弦定律甚至勾股定律都遠復雜于歐式幾何。現(xiàn)在是48頁\一共有70頁\編輯于星期五黎曼幾何

黎曼認為：過直線外任意一點沒有一條直線與已知直線平行。在黎曼幾何中，得出了以下公設：任意兩條直線必相交；三角形內角和大于180°。其證明是圍繞著一個球體進行的。黎曼視該球體的一個大圓為非歐直線，則任意兩個大圓間必有至少兩個交點（大圓有限）。從這個意義上來說，的確，是不存在平行這個概念的?，F(xiàn)在是49頁\一共有70頁\編輯于星期五

歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區(qū)別的幾何。這三種幾何各自的命題都構成了一個嚴密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨立性。因此這三種幾何都是正確的。在我們日常生活中，歐式幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實際；在地球表面研究航海、航空等實際問題中，黎曼幾何更準確一些。研究非歐幾何的發(fā)展歷程，對于數(shù)學的發(fā)展和人類的進步有重大意義。現(xiàn)在是50頁\一共有70頁\編輯于星期五歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何的比較項目歐氏幾何羅氏幾何黎曼幾何兩條不重合直線的相交情況至多一個點至多一個點一個（單點）兩個（雙點）給定一直線l，過l外一點與l的平行線唯一一條至少有兩條沒有兩條平行線等距不等距不存在如果一條直線與兩條平行線中之一相交，則與另一條必相交不一定——垂直于同一條直線的不同直線的關系彼此平行平行相交三角形的三內角和等于180°小于180°大于180°三角形的面積與三角形內角的關系無關反比正比對應角相等的兩個三角形的關系相似全等全等現(xiàn)在是51頁\一共有70頁\編輯于星期五

文藝復興時期的幾何發(fā)展源于對宗教繪畫的更高追求。畫家在繪畫中對“同一物體的同一投影的不同截影有什么相同的性質?”等問題產生了興趣,這導致了透視學的興起,即催生了射影幾何學。法國人德沙格在1639年發(fā)表了《試論錐面截一平面所得結果的初稿》,這本書也是將數(shù)學方法引用于解決透射問題的第一部發(fā)表的論著。另一位法國數(shù)學家帕斯卡1640年完成了《圓錐曲線論》,提出了射影幾何學中的帕斯卡定理。他們對射影幾何作出了突出的貢獻,但他們局限于將這種幾何學作為歐氏幾何的一部分來研究。

現(xiàn)在是52頁\一共有70頁\編輯于星期五射影幾何的發(fā)展現(xiàn)在是53頁\一共有70頁\編輯于星期五現(xiàn)在是54頁\一共有70頁\編輯于星期五現(xiàn)在是55頁\一共有70頁\編輯于星期五第四十二回蘅蕪君蘭言解疑癖瀟湘子雅謔補余香

寶釵道：“我有一句公道話，你們聽聽．藕丫頭雖會畫，不過是幾筆寫意．如今畫這園子，非離了肚子里頭有幾幅丘壑的才能成畫．這園子卻是象畫兒一般，山石樹木，樓閣房屋，遠近疏密，也不多，也不少，恰恰的是這樣．你就照樣兒往紙上一畫，是必不能討好的．這要看紙的地步遠近，該多該少，分主分賓，該添的要添，該減的要減，該藏的要藏，該露的要露．這一起了稿子，再端詳斟酌，方成一幅圖樣．第二件，這些樓臺房舍，是必要用界劃的．一點不留神，欄桿也歪了，柱子也塌了，門窗也倒豎過來，階磯也離了縫，甚至于桌子擠到墻里去，花盆放在簾子上來，豈不倒成了一張笑`話'兒了．第三，要插人物，也要有疏密，有高低．衣折裙帶，手指足步，最是要緊，一筆不細，不是腫了手就是跏了腿，染臉撕發(fā)倒是小事．依我看來竟難的很．如今一年的假也太多，一月的假也太少，竟給他半年的假，再派了寶兄弟幫著他．并不是為寶兄弟知道教著他畫，那就更誤了事，為的是有不知道的，或難安插的，寶兄弟好拿出去問問那會畫的相公，就容易了?！爆F(xiàn)在是56頁\一共有70頁\編輯于星期五射影幾何的進一步研究

1822年,龐思列發(fā)表了《論圖形的射影性質》,他在書中提出了兩條重要的原理,即“連續(xù)性原理”和“對偶原理”。與前輩們不同的是,他討論的問題不單單是在歐氏幾何的模式中進行,而是一般性的問題。與此同時,德國數(shù)學家普呂可和莫比烏斯開創(chuàng)了研究射影幾何的解析方法,即應用代數(shù)的方法來推導對偶原理等射影幾何原理的成立。

史陶特在1847年出版的《位置幾何學》中用坐標概念來重新定義交比,使射影幾何擺脫了長度等度量的限制。因此射影幾何比歐氏幾何更基本。在學者們的努力下,明確了歐氏幾何與非歐幾何都是射影幾何的特例。

現(xiàn)在是57頁\一共有70頁\編輯于星期五

到了1850年前后，數(shù)學家們對于射影幾何與歐氏幾何在一般概念與方法上已做出了區(qū)別，但對這兩種幾何的邏輯關系仍不甚了了。即使是綜合派的著作中也依然在使用長度的概念，例如作為射影幾何中心概念之一的交比，就一直是用長度來定義的，但長度在射影變換下會發(fā)生改變，因而不是射影概念。現(xiàn)在是58頁\一共有70頁\編輯于星期五幾何學的統(tǒng)一

非歐幾何的創(chuàng)立打破了長久以來人們認為只有歐氏幾何的觀念。人們開始探尋能否在一般的條件下統(tǒng)一幾何學。

現(xiàn)在是59頁\一共有70頁\編輯于星期五幾何學的統(tǒng)一

1872年德國數(shù)學家克萊因在《艾兒朗根綱領》中提出了自己統(tǒng)一幾何學的基本構想:“所謂幾何學,就是研究幾何圖形對于某類變換群保持不變的性質的學問,或者說任何一種幾何學只是研究與特定的變換群有關的不變量?！痹谒?希爾伯特為統(tǒng)一幾何學的提出了實施方法,即公理化方法。希爾伯特在他的《幾何基礎》中提出了包含20條公理的公理體系,并將它們分為五個組別。而且提出了選擇和組織公理系統(tǒng)的原則為相容性、獨立性、完備性。這樣組織的公理系統(tǒng)中,通過否定或者替換其中一條或者幾條公理,就能構造出某一種幾何。這種公理系統(tǒng)透徹的闡述了幾何學的邏輯關系和包含內容,完整的統(tǒng)一了幾何學。

現(xiàn)在是60頁\一共有70頁\編輯于星期五近現(xiàn)代幾何學微分幾何微分幾何學是運用數(shù)學分析的理論研究曲線或曲面在它一點領域的性質，換句話說，微分幾何是研究一般的曲線或曲面在“小范圍”上的數(shù)學分支學科。1731年18歲的法國青年數(shù)學家克萊洛發(fā)表《關于雙重曲率曲線的研究》，開創(chuàng)了空間曲線理論，是建立微分幾何的重要一步。歐拉是微分幾何的重要奠基人。他早在1736年就引進了平面曲線的內在坐標概念，即以曲線弧長作為曲線上點的坐標?，F(xiàn)在是61頁\一共有70頁\編輯于星期五拓撲學拓撲學研究幾何圖形的連續(xù)性質，即在連續(xù)變形下保持不變的性質（允許拉伸、扭曲，但不能割斷和粘合）?，F(xiàn)在是62頁\一共有70頁\編輯于星期五

拓撲所研究的是幾何圖形的那樣一些性質，它們在圖形被彎曲、拉大、縮小或任意的變形下保持不變，