實驗最優(yōu)化方法建模及實現(xiàn)

（優(yōu)選）實驗最優(yōu)化方法建模及實現(xiàn)現(xiàn)在是1頁\一共有59頁\編輯于星期五最優(yōu)化問題優(yōu)化問題，一般是指用“最好”的方式，使用或分配有限的資源，即勞動力、原材料、機器、資金等，使得費用最小或利潤最大.建立優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型

1)確定問題的決策變量

2)構(gòu)造模型的目標(biāo)函數(shù)和允許取值的范圍，常用一組不等式來表示.現(xiàn)在是2頁\一共有59頁\編輯于星期五（1）（2）由（1）、（2）組成的模型屬于約束優(yōu)化，若只有（1）式就是無約束優(yōu)化，f(x)稱為目標(biāo)函數(shù)，gi(x)稱為約束條件若目標(biāo)函數(shù)f(x)和約束條件g(x)都是線性函數(shù)，則稱該模型是線性規(guī)劃.現(xiàn)在是3頁\一共有59頁\編輯于星期五線性規(guī)劃模型例1、生產(chǎn)炊事用具需要兩種資源－勞動力和原材料，某公司制定生產(chǎn)計劃，生產(chǎn)三種不同的產(chǎn)品，生產(chǎn)管理部門提供的數(shù)據(jù)如下ABC勞動力（小時/件）736原材料（千克/件）445利潤（元/件）423現(xiàn)在是4頁\一共有59頁\編輯于星期五每天供應(yīng)原材料200kg，每天可使用的勞動力為150h.建立線性規(guī)劃模型，使總收益最大，并求各種產(chǎn)品的日產(chǎn)量.

解第一步,確定決策變量.用分別表示A,B,C三種產(chǎn)品的日產(chǎn)量第二步,約束條件原材料：勞動力：第三步，確定目標(biāo)函數(shù)現(xiàn)在是5頁\一共有59頁\編輯于星期五例2一家廣告公司想在電視、廣播上做廣告，其目的是盡可能多的招來顧客，下面是調(diào)查結(jié)果：

電視無線電廣播雜志白天最佳時間一次廣告費用（千元）40753015受每次廣告影響的顧客數(shù)（千人）400900500200受每次廣告影響的女顧客數(shù)（千人）300400200100現(xiàn)在是6頁\一共有59頁\編輯于星期五這家公司希望廣告費用不超過800（千元）還要求：1）至少要有200萬婦女收看廣告；2）電視廣告費用不超過500（千元）3）電視廣告白天至少播出3次，最佳時間至少播出2次；4）通過廣播、雜志做的廣告要重復(fù)5到10次.令分別白天，最佳電視、廣播、雜志廣告次數(shù)現(xiàn)在是7頁\一共有59頁\編輯于星期五例3：任務(wù)分配問題：某車間有甲、乙兩臺機床，可用于加工三種工件。假定這兩臺車床的可用臺時數(shù)分別為800和900，三種工件的數(shù)量分別為400、600和500，且已知用三種不同車床加工單位數(shù)量不同工件所需的臺時數(shù)和加工費用如下表。問怎樣分配車床的加工任務(wù)，才能既滿足加工工件的要求，又使加工費用最低？現(xiàn)在是8頁\一共有59頁\編輯于星期五解設(shè)在甲車床上加工工件1、2、3的數(shù)量分別為x1、x2、x3，在乙車床上加工工件1、2、3的數(shù)量分別為x4、x5、x6?？山⒁韵戮€性規(guī)劃模型：

解答現(xiàn)在是9頁\一共有59頁\編輯于星期五例4：某廠每日8小時的產(chǎn)量不低于1800件。為了進(jìn)行質(zhì)量控制，計劃聘請兩種不同水平的檢驗員。一級檢驗員的標(biāo)準(zhǔn)為：速度25件/小時，正確率98%，計時工資4元/小時；二級檢驗員的標(biāo)準(zhǔn)為：速度15小時/件，正確率95%，計時工資3元/小時。檢驗員每錯檢一次，工廠要損失2元。為使總檢驗費用最省，該工廠應(yīng)聘一級、二級檢驗員各幾名？解設(shè)需要一級和二級檢驗員的人數(shù)分別為x1、x2人,則應(yīng)付檢驗員的工資為：因檢驗員錯檢而造成的損失為：現(xiàn)在是10頁\一共有59頁\編輯于星期五故目標(biāo)函數(shù)為：約束條件為：現(xiàn)在是11頁\一共有59頁\編輯于星期五線性規(guī)劃模型：

解答返回現(xiàn)在是12頁\一共有59頁\編輯于星期五線性規(guī)劃模型的一般形式

目標(biāo)函數(shù)和所有的約束條件都是決策變量的線性函數(shù)?，F(xiàn)在是13頁\一共有59頁\編輯于星期五實際問題中的優(yōu)化模型x~決策變量f(x)~目標(biāo)函數(shù)gi(x)0~約束條件數(shù)學(xué)規(guī)劃線性規(guī)劃(LP)二次規(guī)劃(QP)非線性規(guī)劃(NLP)純整數(shù)規(guī)劃(PIP)混合整數(shù)規(guī)劃(MIP)整數(shù)規(guī)劃(IP)0-1整數(shù)規(guī)劃一般整數(shù)規(guī)劃連續(xù)規(guī)劃

優(yōu)化模型的分類現(xiàn)在是14頁\一共有59頁\編輯于星期五線性規(guī)劃問題的求解在理論上有單純形法，在實際建模中常用以下解法：

1.圖解法

2.LINGO軟件包；

3.Excel中的規(guī)劃求解；

4.MATLAB軟件包.現(xiàn)在是15頁\一共有59頁\編輯于星期五minz=cX

1、模型：命令：x=linprog（c，A，b）

2、模型：minz=cX

命令：x=linprog（c，A，b，Aeq,beq）或

x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,x0）或

[x,fval]=linprog（c，A，b，Aeq,beq）注意：若沒有不等式：存在，則令A(yù)=[]，b=[].用MATLAB優(yōu)化工具箱解線性linear規(guī)劃現(xiàn)在是16頁\一共有59頁\編輯于星期五3、模型：minz=cX

VLB≤X≤VUB(low,up)

命令：[1]x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB）

[2]x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB,X0）

注意：[1]若沒有等式約束:,則令A(yù)eq=[],beq=[].[2]其中X0表示初始點

4、命令：[x,fval]=linprog(…)

返回最優(yōu)解ｘ及ｘ處的目標(biāo)函數(shù)值fval.現(xiàn)在是17頁\一共有59頁\編輯于星期五解:編寫M文件xxgh1.m如下：

c=[634];A=[1,2,-3;010];b=[80;50];Aeq=[111];beq=[120];vlb=[30,0,20];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)ToMatlab(xxgh1)例5現(xiàn)在是18頁\一共有59頁\編輯于星期五解編寫M文件xxgh2.m如下：c=[-0.4-0.28-0.32-0.72-0.64-0.6];A=[0.010.010.010.030.030.03;0.02000.0500;00.02000.050;000.03000.08];b=[850;700;100;900];Aeq=[];beq=[];vlb=[0;0;0;0;0;0];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)

ToMatlab(xxgh2)例6現(xiàn)在是19頁\一共有59頁\編輯于星期五S.t.改寫為：

問題例3的解答現(xiàn)在是20頁\一共有59頁\編輯于星期五編寫M文件xxgh3.m如下:f=[1391011128];A=[0.41.110000000.51.21.3];b=[800;900];Aeq=[100100010010001001];beq=[400600500];vlb=zeros(6,1);vub=[];[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)ToMatlab(xxgh3)現(xiàn)在是21頁\一共有59頁\編輯于星期五x=0.0000600.00000.0000400.00000.0000500.0000fval=1.3800e+004計算結(jié)果：

即在甲機床上加工600個工件2,在乙機床上加工400個工件1、500個工件3，可在滿足條件的情況下使總加工費最小為13800。現(xiàn)在是22頁\一共有59頁\編輯于星期五

問題改寫為：例4的解答現(xiàn)在是23頁\一共有59頁\編輯于星期五編寫M文件xxgh4.m如下：c=[40;36];A=[-5-3];b=[-45];Aeq=[];beq=[];vlb=zeros(2,1);vub=[9;15];%調(diào)用linprog函數(shù)：[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)ToMatlab(xxgh4)現(xiàn)在是24頁\一共有59頁\編輯于星期五結(jié)果為：

x=9.00000.0000fval=360即只需聘用9個一級檢驗員。

注：本問題應(yīng)還有一個約束條件：x1、x2取整數(shù)。故它是一個整數(shù)線性規(guī)劃問題。這里把它當(dāng)成一個線性規(guī)劃來解，求得其最優(yōu)解剛好是整數(shù)：x1=9，x2=0，故它就是該整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解。若用線性規(guī)劃解法求得的最優(yōu)解不是整數(shù)，將其取整后不一定是相應(yīng)整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解，這樣的整數(shù)規(guī)劃應(yīng)用專門的方法求解。返回現(xiàn)在是25頁\一共有59頁\編輯于星期五現(xiàn)在是26頁\一共有59頁\編輯于星期五

1）首先建立M文件fun.m,定義目標(biāo)函數(shù)F（X）:functionf=fun(X)f=F(X);

其中X為n維變元向量，G(X)與Ceq(X)均為非線性函數(shù)組成的向量，其它變量的含義與線性規(guī)劃、二次規(guī)劃中相同.用Matlab求解上述問題，基本步驟分三步：二、非線性規(guī)劃問題及其Matlab現(xiàn)在是27頁\一共有59頁\編輯于星期五3）建立主程序.非線性規(guī)劃求解的函數(shù)是fmincon，命令的基本格式如下：

(1)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b)

(2)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq)

(3)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)

(4)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’)(5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options)

(6)[x,fval]=fmincon(...)

(7)[x,fval,exitflag]=fmincon(...)

(8)[x,fval,exitflag,output]=fmincon(...)輸出極值點M文件迭代的初值參數(shù)說明變量上下限現(xiàn)在是28頁\一共有59頁\編輯于星期五注意：[1]fmincon函數(shù)提供了大型優(yōu)化算法和中型優(yōu)化算法。默認(rèn)時，若在fun函數(shù)中提供了梯度（options參數(shù)的GradObj設(shè)置為’on’），并且只有上下界存在或只有等式約束，fmincon函數(shù)將選擇大型算法。當(dāng)既有等式約束又有梯度約束時，使用中型算法。[2]fmincon函數(shù)的中型算法使用的是序列二次規(guī)劃法。在每一步迭代中求解二次規(guī)劃子問題，并用BFGS法更新拉格朗日Hessian矩陣。[3]fmincon函數(shù)可能會給出局部最優(yōu)解，這與初值X0的選取有關(guān)?，F(xiàn)在是29頁\一共有59頁\編輯于星期五1．先建立M文件fun2.m,定義目標(biāo)函數(shù):

functionf=fun2(x)f=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);x1+x2=0s.t.1.5+x1x2-x1-x20-x1x2–10

02．再建立M文件mycon2.m定義非線性約束：

function[g,ceq]=mycon2(x)g=[1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10];ceq=[];例2現(xiàn)在是30頁\一共有59頁\編輯于星期五3．主程序youh2.m為:x0=[-1;1];A=[];b=[];Aeq=[11];beq=[0];vlb=[];vub=[];[x,fval]=fmincon('fun2',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'mycon2')MATLAB(youh2)4.運算結(jié)果為：

x=-1.22471.2247fval=1.8951現(xiàn)在是31頁\一共有59頁\編輯于星期五1．先建立M-文件fun3.m定義目標(biāo)函數(shù):

functionf=fun3(x)f=-2*x(1)-x(2);2．再建立M文件mycon3.m定義非線性約束：

function[g,ceq]=mycon3(x)g=[x(1)^2+x(2)^2-25;x(1)^2-x(2)^2-7];ceq=[];

例3現(xiàn)在是32頁\一共有59頁\編輯于星期五3.主程序youh3.m為:

x0=[3;2.5];VLB=[00];VUB=[510];[x,fval,exitflag,output]=fmincon('fun3',x0,[],[],[],[],VLB,VUB,'mycon3')MATLAB(youh3(fun3))現(xiàn)在是33頁\一共有59頁\編輯于星期五4.運算結(jié)果為:

x=4.00003.0000fval=-11.0000exitflag=1output=iterations:4funcCount:17stepsize:1algorithm:[1x44char]firstorderopt:[]cgiterations:[]

返回現(xiàn)在是34頁\一共有59頁\編輯于星期五現(xiàn)在是35頁\一共有59頁\編輯于星期五建模案例：投資的收益和風(fēng)險(1998A)現(xiàn)在是36頁\一共有59頁\編輯于星期五二、基本假設(shè)和符號規(guī)定現(xiàn)在是37頁\一共有59頁\編輯于星期五1.總體風(fēng)險用所投資的Si中最大的一個風(fēng)險來衡量，即：三、模型的建立與分析現(xiàn)在是38頁\一共有59頁\編輯于星期五3.建立模型雙目標(biāo)模型為：現(xiàn)在是39頁\一共有59頁\編輯于星期五4.模型簡化即模型為：現(xiàn)在是40頁\一共有59頁\編輯于星期五現(xiàn)在是41頁\一共有59頁\編輯于星期五四、模型1的求解siri

（%）qi

（%）pi

（%）ui

（元）S0（銀行）5000S1282.51103S2211.52198S3235.54.552S4252.66.540將n=4,M=1,及平均收益率ri,

風(fēng)險損失率qi,費率

pi代入模型1得：現(xiàn)在是42頁\一共有59頁\編輯于星期五

由于a是任意給定的風(fēng)險度，到底怎樣給定沒有一個準(zhǔn)則，不同的投資者有不同的風(fēng)險度。我們從a=0開始，以步長△a=0.001進(jìn)行循環(huán)搜索，編制程序如下：現(xiàn)在是43頁\一共有59頁\編輯于星期五a=0;while(1.1-a)>1c=[-0.05-0.27-0.19-0.185-0.185];Aeq=[11.011.021.0451.065];beq=[1];A=[00.025000;000.01500;0000.0550;00000.026];b=[a;a;a;a];vlb=[0,0,0,0,0];vub=[];[x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=x'Q=-valplot(a,Q,'.');axis([00.100.5]);holdona=a+0.001;endxlabel('a'),ylabel('Q')ToMatlab（xxgh5）模型1的MATLAB程序：現(xiàn)在是44頁\一共有59頁\編輯于星期五a=0.006計算結(jié)果：現(xiàn)在是45頁\一共有59頁\編輯于星期五4.在a=0.006附近有一個轉(zhuǎn)折點，在這一點左邊，風(fēng)險增加很少時，利潤增長很快。在這一點右邊，風(fēng)險增加很大時，利潤增長很緩慢，所以對于風(fēng)險和收益沒有特殊偏好的投資者來說，應(yīng)該選擇曲線的拐點作為最優(yōu)投資組合，大約是a*=0.6%，Q*=20%，所對應(yīng)投資方案為:

風(fēng)險度

收益

x0

x1

x2x3

x40.00600.201900.24000.40000.10910.22123.曲線上的任一點都表示該風(fēng)險水平的最大可能收益和該收益要求的最小風(fēng)險。對于不同風(fēng)險的承受能力，選擇該風(fēng)險水平下的最優(yōu)投資組合。當(dāng)投資越分散時，投資者承擔(dān)的風(fēng)險越小，這與題意一致。即:冒險的投資者會出現(xiàn)集中投資的情況，保守的投資者則盡量分散投資。1.風(fēng)險大，收益也大。模型1的結(jié)果分析現(xiàn)在是46頁\一共有59頁\編輯于星期五此模型又可改寫為模型2的求解：現(xiàn)在是47頁\一共有59頁\編輯于星期五由于k是任意給定的盈利，到底怎樣給定沒有一個準(zhǔn)則，不同的投資者有不同的盈利.我們從k=0.05開始，以步長△k=0.01進(jìn)行循環(huán)搜索，編制程序如下：模型2的求解：現(xiàn)在是48頁\一共有59頁\編輯于星期五k=0.05whilek<0.26/1.01;C=[000001];A=[00.025000-1;000.01500-1;0000.0550-1;00000.026-1];B=[0;0;0;0];Aeq=[0.050.270.190.1850.185,0;11.011.021.0451.065,0];Beq=[k;1];Vlb=[0;0;0;0;0;0];%orVlb=zeros(6,1);Vub=[];[x,fval]=linprog(C,A,B,Aeq,Beq,Vlb,Vub);模型2的MATLAB求解：現(xiàn)在是49頁\一共有59頁\編輯于星期五kQ=fvalx=x'plot(k,Q,'m.')axis([00.500.05])xlabel('收益k')ylabel('最小風(fēng)險度Q')title('最小風(fēng)險度Q隨收益R的變化趨勢圖')holdonk=k+0.01;gridonend模型2的MATLAB求解：現(xiàn)在是50頁\一共有59頁\編輯于星期五模型2的結(jié)果分析：現(xiàn)在是51頁\一共有59頁\編輯于星期五此模型又可改寫為模型3的求解：現(xiàn)在是52頁\一共有59頁\編輯于星期五模型3的求解：現(xiàn)在是53頁\一共有59頁\編輯于星期五s=0whiles<1;C=[-0.05*(1-s),-0.27*(1-s),-0.19*(1-s),-0.185*(1-s),-0.185*(1-s),s];A=[00.025000-1;000.01500-1;0000.0550-1;00000.026-1];B=[0;0;0;0];Aeq=[11.011.021.0451.065,0];Beq=[1];Vlb=[0;0;0;0;0;0];%orVlb=zeros(