19同構(gòu)視角下的極值點(diǎn)偏移

4.同構(gòu)視角解決極值點(diǎn)偏移問(wèn)題本節(jié)分別利用同構(gòu)單調(diào)性和指對(duì)同構(gòu)變形兩個(gè)視角來(lái)解決2021,2022的兩道極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，給出同構(gòu)視角解決極值點(diǎn)偏移的一些典例.當(dāng)然，該部分內(nèi)容對(duì)觀察能力和代數(shù)變形能力要求較高，有興趣讀者可研究！類型1.同構(gòu)單調(diào)性解決極值點(diǎn)偏移例1.(2021新高考1卷)已知函數(shù)/(x)=%(lTn%).(1)討論/(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)。，匕為兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，^b]na-a]nb=a-b,證明：2<工+!<6.ab解析：(2)因?yàn)椤╪o-alnh=a-)，故+=Q(ln〃+1),即生"1=為處1，x1+x2>2.ab設(shè)L=X]」=m，由(1)可知不妨設(shè)0<為<1,々>1,下面我們證明ab由于-玉In%=x2-x2Inx2x2-x]=/卜9一%x1+x2>2.司+工2>2=x；—x；>2（x2一X]）ox；—2x2Inx2>x；-2玉In玉.構(gòu)造函數(shù)= 2xlnxn/i(x)=2x—2(lnx+l)N0,則上式顯然成立，于是可得:%+%>2,得證！(公眾號(hào)：凌晨講數(shù)學(xué))注：此題條件透露了一個(gè)關(guān)鍵的條件：x2-x[=x2]nx2-x[\nx[9所以可以進(jìn)行代換構(gòu)造出一個(gè)單調(diào)函數(shù)同構(gòu)出極值點(diǎn)偏移！但是，從同構(gòu)單調(diào)性視角來(lái)解決另一個(gè)不等式，我沒(méi)有想到，有興趣的讀者可以繼續(xù)研究！3例2.已知函數(shù)f(x)=\nx-ax,若/(王)=/(工2))不妨設(shè)不，求證：為+x2>——e.a3證明：玉+占〉——c二。宙7；)〉(3—玉)，為了消掉參數(shù)，即證明：ax2Inx2-XjInxx>3(x2-xJ-eClnx2-Inx,),于是只需函數(shù)g(x)=x\nx+elnx-3x在區(qū)間(1,+8)上遞增！求導(dǎo)易證!

類型2.利用同構(gòu)包裝極值點(diǎn)偏移這一類問(wèn)題就是利用同構(gòu)將函數(shù)或者最后的偏移不等式包裝的復(fù)雜，丑陋，乍一看可能無(wú)從下手，但是只要注意一些常見(jiàn)的指對(duì)同構(gòu)形式，適當(dāng)轉(zhuǎn)化，它就漏出真面目了！典例就是2022年甲卷21題.當(dāng)然，要玩同構(gòu)，這些基本的同構(gòu)形式必須熟悉：工 X①②2=".%③：= ；④x+lnx=ln(xe)；@^-lnx=ln—.x e xe1例3.若方程泥'—a(lnx+x)=0有兩個(gè)實(shí)根X1,/，且玉w%，證明：/""〉 XxX2證明：因?yàn)閤e'—a(lnx+x)=0,貝！Jxe'-aln(xe')=。，令/=皮>0,其中x>0,貝!)有"Qln/=O,/=(x+l)ex>0,所以，函數(shù)"xe、在(。,+。)上單調(diào)遞增，因?yàn)榉匠蘹e-a(lnx+x)=0有兩個(gè)實(shí)根玉、演，令4=書(shū)』，t2=x2e,則關(guān)于，的方程2/-aln，=0也有兩個(gè)實(shí)根，1$，且)，要證爐+必,即證為9?xe*〉e?,即證他〉建，XxX2即證ln4+ln/2〉2,(這個(gè)結(jié)論我在前面已經(jīng)證明過(guò)，這里再度證明)由已知%=aint]t2由已知%=aint]t2=。Int2所以,A+右Int,+In"整理可得其二力不妨設(shè)乙>，2>0,即證ln4+ln，2=^ln?>2,即證也出=工~~2,4—2(2 t2t^t2 ￡+1t2令5=表>1,即證Ins〉生——,其中s>l,構(gòu)造函數(shù)g(s)=lns-也——,其中s>lh 54-1 s+11 A (s—])gf^)=--—D=+—《>°，所以，函數(shù)g(s)在(l，y)上單調(diào)遞增，當(dāng)S>1時(shí),s(54-1)S(S+1)g(s)>g⑴=0,故原不等式成立.(公眾號(hào)：凌晨講數(shù)學(xué))點(diǎn)評(píng)：脫去同構(gòu)的外衣，它就是一個(gè)非常普通的極值點(diǎn)偏移!習(xí)題L已知函數(shù)/(x)=xe'-〃lnx-Q,其中々>0.(1)略；(2)令函數(shù)g(x)=/(x)—ax+〃，若存在七,42使得g(X])=g(X2)，證明:

玉e"+x2eX2>2a.證明：g（x）=/（x）-"+Q=xe“—alnx—=aln（xe'）,令/=xe"則上述函數(shù)變形為h^=t-a\nt,對(duì)于，（％）=xe=xe（0,+oo）,貝療（x）=（l+x）e'>0,即《x）=xe"在（0,+a）上單調(diào)遞增，所以若使得ga）=g（%）,則存在對(duì)應(yīng)的「和,便,2=?、/<）），使得MG=電）,證明^+4>2a.（前兩講已證，此處略去）二.習(xí)題演練習(xí)題1.（2022全國(guó)甲卷）（公眾號(hào)：凌晨講數(shù)學(xué)）已知函數(shù)f(%)=-——lnx+x-x（1）若/（x）20恒成立，求。的取值范圍；（公眾號(hào)：凌晨講數(shù)學(xué)）（2）若/（X）有兩個(gè)零點(diǎn)七,工2，證明：X1X2<1?解析：解析：(1)/(x)=-——Inx+x-a=—+]nx x解析：(1)解析：(1)/(x)=-——Inx+x-a=—+]nx xae'nI'(x—l)e' 十口-a,令，=一,貝h= -,于是t>e.于是/（%）>0等價(jià)于y=/+ln，—a在1 上恒成立，故?！辏ㄒ?,e+1].（2）由（1）可得/（x）有兩個(gè)零點(diǎn)七,9等價(jià)于y=/+ln/—〃在，Ne上有一個(gè)零點(diǎn)，即exa>e+\,此時(shí)，t=一有兩個(gè)解斗,工2，且0<%<1<%2?（凌晨）x一此時(shí)，eXx-txi;eX1-