微積分的發(fā)展

微積分的發(fā)展第1頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)學史上的豐碑

——微積分第2頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六——牛頓時代

人類數(shù)學最偉大的發(fā)明近代始于對古典時代的復興，但人們很快看到，它遠不是一場復興，而是一個嶄新的時代。微積分的創(chuàng)立第3頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六微積分的創(chuàng)立

世界進入一個嶄新階段韋斯特福爾(美,1924-1996)《近代科學的建構(gòu)》

從17世紀起科學就開始將原來以基督教為中心的文化變革成為現(xiàn)在這樣以科學為中心的文化。第4頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六人類歷史上的最偉大創(chuàng)舉變量數(shù)學時期，17世紀后期由牛頓萊布尼茲創(chuàng)立的微積分是最主要的成就微積分的誕生是全部數(shù)學史上，也是人類歷史上最偉大最有影響的創(chuàng)舉微積分導致后來一切科學和技術(shù)領域的革命離開微積分，人類將停頓前進的步伐第5頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六名稱的由來：牛頓、萊布尼茲、約翰貝努里——差的計算“calculusdifferentialis”,和的計算“calculussummatorius”,演化為“differetialcalculus”(微分學）“integralcalculus”（積分學），合稱“微積分”，英文為“calculus”。洛必達1696年的《無窮小分析》是第一本微積分著作，使微積分又叫“分析”1859年（清咸豐9年）微積分傳入中國，當時的數(shù)學家李善蘭把它翻譯為微積分，取于“不辨積微之為量，詎曉百億于大千”。第6頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六微積分產(chǎn)生的背景從埃及尼羅河沿岸每年丈量土地開始，人們就在尋求一種計算不規(guī)則圖形面積的方法許多迫切待解決的問題擺在數(shù)學家面前：描述處理運動？曲線的切線？曲線的長度？曲面的面積？曲面圍成的多面體的體積？極大極小問題？等等眾多科學家意識到其中有個“幽靈”說不清道不明，其代表人物：阿基米德，芝諾，歐道克斯，莊子，劉徽第7頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六積分發(fā)展的歷史足跡

古希臘偉大的數(shù)學家、力學家阿基米德，我國古代著名數(shù)學家劉徽，祖沖之、祖暅父子等為積分思想的形成和發(fā)展做出了重要的貢獻（他們的工作領先了歐洲數(shù)學家1000多年）。16、17世紀是微積分思想發(fā)展最為活躍的時期，其杰出的代表有伽利略（GalileoGalilei,1564-1642，意大利天文學家、力學家、哲學家），開普勒(JohannsKepler,1571-1630，德國天文學家、數(shù)學家、物理學家和哲學家)，卡瓦列里、費馬（PierredeFermat1601－1665，法國數(shù)學家），巴羅等。眾多數(shù)學家加入到這場爭論中，拉開流數(shù)術(shù)和微分法的序幕，他們的工作為牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立微積分理論奠定了基礎。無窮小分割是主要方法關(guān)于切線：笛卡兒與費爾瑪認為是兩個交點重合時的割線。羅伯瓦等認為是描繪曲線的運動在這點的方向。第8頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六極限的思想——圓周率關(guān)于圓周率的最早記錄出自公元前1650年的蘭德草卷，這是一位名叫亞米斯的埃及抄寫員的手稿。阿基米德（Archimedes,約公元前287－前212）對圓周率的計算作出新的突破。他也利用窮竭法，但不是計算多邊形的面積，而是計算多邊形的周長。他計算了兩個96邊形的周長。祖沖之（429—500）對圓周率逼近的這個記錄保持了1000年的領先地位，直到15世紀才為阿拉伯數(shù)學家卡西所超過。卡西在1429年算到了小數(shù)點后16位。16世紀荷蘭的奧托重新發(fā)現(xiàn)密率。第9頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六應該說定積分的思想最早產(chǎn)生于中國，三國時候（263年），我國科學家劉徽就提出了“割圓術(shù)”方法，他把圓的面積用正多邊形面積來近似代替，算出了（稱徽率）。劉徽所說的“割之彌細，所失彌小，割之又割，以之不可割，則與圓合體而無所失矣”。劉徽祖沖之，這正是定積分的核心思想。南北朝時我國古代數(shù)學家祖沖之（429-500）在《綴術(shù)》一書中又求得在3.1415926與3.14159927之間，比歐洲最早得出這個近似值的德人鄂圖早1100余年。第10頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六開普勒(德，1571-1630)的旋轉(zhuǎn)體體積(1615)

無窮小求和思想

1609、1619年行星運動三大定律第11頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六托里切利(意,1608-1647)關(guān)于高次拋物線和雙曲線的切線

面積比等于拋物線的冪指數(shù)比第12頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六笛卡兒(法，1596-1650)的圓法及切線構(gòu)造(1637)

光的折射

牛頓是以笛卡兒圓法為起跑點而踏上研究微積分的道路第13頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六巴羅(英,1630-1677)的特征三角形與曲線切線(1664，1669)

Δy/Δx對于決定切線的重要性第14頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六沃利斯(英,1616-1703)的分數(shù)冪積分(1656)

無窮小分析的算術(shù)化第15頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六泰勒在1715年出版的《正的和反的增量方法》中陳述了他在171年就獲得的著名定理，相當于現(xiàn)代形式的“泰勒公式”：分析時代泰勒公式在x=0時的特殊情況被麥克勞林重新得到，麥克勞林是牛頓微積分學說的竭力維護者，代表著作《流數(shù)論》。第16頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六麥克勞林,Maclaurin(1698-1746),是18世紀英國最具有影響的數(shù)學家之一。1719年Maclaurin在訪問倫敦時見到了牛頓，從此便成為了牛頓的門生。他在1742年撰寫的名著《流數(shù)論》是最早為牛頓流數(shù)方法做出了系統(tǒng)邏輯闡述的著作。他以熟練的幾何方法和窮竭法論證了流數(shù)學說，還把級數(shù)作為求積分的方法，并獨立于柯西以幾何形式給出了無窮級數(shù)收斂的積分判別法。他得到數(shù)學分析中著名的Maclaurin級數(shù)展開式，并用待定系數(shù)法給予證明。他在代數(shù)學中的主要貢獻是在《代數(shù)論》（1748，遺著）中，創(chuàng)立了用行列式的方法求解多個未知數(shù)聯(lián)立線性方程組。但書中記敘法不太好，后來由另一位數(shù)學家Gramer又重新發(fā)現(xiàn)了這個法則，所以現(xiàn)在稱為Gramer法則。Maclaurin的其他論述涉及到天文學，地圖測繪學以及保險統(tǒng)計等學科，都取得了很多創(chuàng)造性的成果。第17頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六Maclaurin之后，英國數(shù)學陷入了長期停滯的狀態(tài)。微積分發(fā)明權(quán)的爭論滋長了不列顛數(shù)學家的民族保守情緒，使他們不能擺脫牛頓微積分學說中的束縛，在海峽的另一邊，新微積分卻在萊不尼茨的后繼者們的推動下蓬勃發(fā)展起來。第18頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六18世紀微積分重大的進步是由歐拉作出的，歐拉在1748年出版的《無限小分析引論》以及他隨后發(fā)表的《微積學》和《積分學》是微積分史上里程碑的著作，同時引進了一批標準的符號，也就是現(xiàn)在常常用到的數(shù)學分析符號。第19頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六

歐拉(Euler)，瑞士數(shù)學家及自然科學家。1707年4月15出生於瑞士的巴塞爾，1783年9月18日於俄國彼得堡去逝。歐拉出生於牧師家庭，自幼受父親的教育。13歲時入讀巴塞爾大學，15歲大學畢業(yè)16歲獲碩士學位。第20頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六Euler是18世紀數(shù)學界最杰出的人物之一，他不但為數(shù)學界作出貢獻，更把數(shù)學推至幾乎整個物理的領域。他是數(shù)學史上最多產(chǎn)的數(shù)學家，平均每年寫出八百多頁的論文，還寫了大量的力學、分析學、幾何學、變分法等的課本，《無窮小分析引論》、《微分學原理》、《積分學原理》等都成為數(shù)學中的經(jīng)典著作。第21頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六Euler

13歲就進巴塞爾大學讀書，得到當時最有名的數(shù)學家約翰·伯努利（JohannBernoulli，1667-1748年）的精心指導．他從19歲開始發(fā)表論文，直到76歲，半個多世紀寫下了浩如煙海的書籍和論文．到今幾乎每一個數(shù)學領域都可以看到歐拉的名字，從初等幾何的歐拉線，多面體的歐拉定理，立體解析幾何的歐拉變換公式，四次方程的歐拉解法到數(shù)論中的歐拉函數(shù)，微分方程的歐拉方程，級數(shù)論的歐拉常數(shù)，變分學的歐拉方程，復變函數(shù)的歐拉公式等等，數(shù)也數(shù)不清．第22頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六Euler對數(shù)學分析的貢獻更獨具匠心，《無窮小分析引論》一書便是他劃時代的代表作，當時數(shù)學家們稱他為“分析學的化身”。Euler是科學史上最多產(chǎn)的一位杰出的數(shù)學家，據(jù)統(tǒng)計他那不倦的一生，共寫下了886本書籍和論文，其中分析、代數(shù)、數(shù)論占40%，幾何占18%，物理和力學占28%，天文學占11%，彈道學、航海學、建筑學等占3%，彼得堡科學院為了整理他的著作，足足忙碌了四十七年．第23頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六Euler著作的驚人多產(chǎn)并不是偶然的，他可以在任何不良的環(huán)境中工作，即使他在雙目失明以后，也沒有停止對數(shù)學的研究，在失明后的17年間，他還口述了幾本書和400篇左右的論文．19世紀偉大數(shù)學家高斯（Gauss，1777-1855年）曾說：“研究Euler的著作永遠是了解數(shù)學的最好方法．”第24頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六由于Euler的才能和異常勤奮的精神，又受到約翰·伯努利的賞識和特殊指導，當他在19歲時寫了一篇關(guān)于船桅的論文，獲得巴黎科學院的獎的獎金后，他的父親就不再反對他攻讀數(shù)學了．1725年約翰·伯努利的兒子丹尼爾·伯努利赴俄國，并向沙皇喀德林一世推薦了Euler

，這樣，在1727年5月17日Euler來到了彼得堡．1733年，年僅26歲的Euler擔任了彼得堡科學院數(shù)學教授。1735年，Euler解決了一個天文學的難題（計算慧星軌道），這個問題經(jīng)幾個著名數(shù)學家?guī)讉€月的努力才得到解決，而Euler卻用自己發(fā)明的方法，三天便完成了．第25頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六1771年彼得堡的大火災殃及Euler住宅，帶病而失明的64歲的Euler被圍困在大火中，雖然他被救了出來，他的書房和大量研究成果全部化為灰燼了．沉重的打擊，仍然沒有使Euler倒下，他發(fā)誓要把損失奪回來．Euler完全失明以后，仍然以驚人的毅力與黑暗搏斗，憑著記憶和心算進行研究，直到逝世，竟達17年之久．Euler的記憶力和心算能力是罕見的，他能夠復述年青時代筆記的內(nèi)容，心算并不限于簡單的運算，高等數(shù)學一樣可以用心算去完成．有一個例子足以說明他的本領，Euler的兩個學生把一個復雜的收斂級數(shù)的17項加起來，算到第50位數(shù)字，兩人相差一個單位，Euler為了確定究竟誰對，用心算進行全部運算，最后把錯誤找了出來．Euler在失明的17年中；還解決了使牛頓頭痛的月離問題和很多復雜的分析問題．

第26頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六Euler的風格是很高的，拉格朗日是稍后于Euler的大數(shù)學家，從19歲起和Euler通信，討論等周問題的一般解法，這引起變分法的誕生．等周問題是Euler多年來苦心考慮的問題，拉格朗日的解法，博得Euler的熱烈贊揚，1759年10月2日Euler在回信中盛稱拉格朗日的成就，并謙虛地壓下自己在這方面較不成熟的作品暫不發(fā)表，使年青的拉格朗日的工作得以發(fā)表和流傳，并贏得巨大的聲譽。他晚年的時候，歐洲所有的數(shù)學家都把他當作老師，著名數(shù)學家拉普拉斯（Laplace）曾說過：“Euler是我們的導師．”Euler充沛的精力保持到最后一刻，1783年9月18日下午，Euler為了慶祝他計算氣球上升定律的成功，請朋友們吃飯，那時天王星剛發(fā)現(xiàn)不久，Euler寫出了計算天王星軌道的要領，還和他的孫子逗笑，喝完茶后，突然疾病發(fā)作，煙斗從手中落下，口里喃喃地說：“我死了”，Euler終于“停止了生命和計算”．Euler的一生，是為數(shù)學發(fā)展而奮斗的一生，他那杰出的智慧，頑強的毅力，孜孜不倦的奮斗精神和高尚的科學道德，永遠是值得我們學習的．Euler還創(chuàng)設了許多數(shù)學符號，例如π（1736年），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tan（1753年），△x（1755年），Σ（1755年），f(x)（1734年）等。第27頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六微積分的創(chuàng)立者已經(jīng)接觸了微商和重積分的概念，但將微積分算法推廣到多元函數(shù)而建立了偏導數(shù)論和多重微積分理論的主要是18世紀的數(shù)學家，如匿古拉.伯努利(1687-1759)、Euler

、拉各朗日等。第28頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六分析時代的兩個巨人萊布尼茨(德，1646-1716年)第29頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六(德，1646-1716年)1661年進入萊比錫大學法學博士、外交官1672-1676年留居巴黎數(shù)學家科學家哲學家萊布尼茲第30頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六第一篇發(fā)表的微分學論文:《一種求極大與極小值和求切線的新方法》(1684)

“凡熟悉微分學的人都能像本文這樣魔術(shù)般做到的事情，卻曾使其他淵博的學者百思不解。”第一篇發(fā)表的積分學論文:《深奧的幾何與不可分量及無限的分析》(1686)第31頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六萊布尼茲（GottfriendWilhelmLeibniz,1646-1716）是17、18世紀之交德國最重要的數(shù)學家、物理學家和哲學家，一個舉世罕見的科學天才。他博覽群書，涉獵百科，對豐富人類的科學知識寶庫做出了不可磨滅的貢獻。Leibniz出生于德國東部萊比錫的一個書香之家，父親是萊比錫大學的道德哲學教授，母親出生在一個教授家庭。萊布尼茲的父親在他年僅6歲時便去世了，給他留下了豐富的藏書。Leibniz因此得以廣泛接觸古希臘羅馬文化，閱讀了許多著名學者的著作，由此而獲得了堅實的文化功底和明確的學術(shù)目標。15歲時，他進了萊比錫大學學習法律，一進校便跟上了大學二年級標準的人文學科的課程，還廣泛閱讀了培根、開普勒、伽利略等人的著作，并對他們的著述進行深入的思考和評價。在聽了教授講授歐幾里德的《幾何原本》的課程后，Leibniz對數(shù)學產(chǎn)生了濃厚的興趣。17歲時他在耶拿大學學習了短時期的數(shù)學，并獲得了哲學碩士學位。一、生平事跡第32頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六

20歲時，Leibniz轉(zhuǎn)入阿爾特道夫大學。這一年，他發(fā)表了第一篇數(shù)學論文《論組合的藝術(shù)》。這是一篇關(guān)于數(shù)理邏輯的文章，其基本思想是出于想把理論的真理性論證歸結(jié)于一種計算的結(jié)果。這篇論文雖不夠成熟，但卻閃耀著創(chuàng)新的智慧和數(shù)學才華。

Leibniz在阿爾特道夫大學獲得博士學位后便投身外交界。從1671年開始，他利用外交活動開拓了與外界的廣泛聯(lián)系，尤以通信作為他獲取外界信息、與人進行思想交流的一種主要方式。在出訪巴黎時，Leibniz深受帕斯卡事跡的鼓舞，決心鉆研高等數(shù)學，并研究了笛卡兒、費爾馬、帕斯卡等人的著作。1673年，Leibniz被推薦為英國皇家學會會員。此時，他的興趣已明顯地朝向了數(shù)學和自然科學，開始了對無窮小算法的研究，獨立地創(chuàng)立了微積分的基本概念與算法，和牛頓并蒂雙輝共同奠定了微積分學。1676年，他到漢諾威公爵府擔任法律顧問兼圖書館館長。1700年被選為巴黎科學院院士，促成建立了柏林科學院并任首任院長。

1716年11月14日，Leibniz在漢諾威逝世，終年70歲。第33頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六二、始創(chuàng)微積分然而關(guān)于微積分創(chuàng)立的優(yōu)先權(quán)，數(shù)學上曾掀起了一場激烈的爭論。實際上，牛頓在微積分方面的研究雖早于Leibniz

，但Leibniz成果的發(fā)表則早于牛頓。Leibniz在1684年10月發(fā)表的《教師學報》上的論文，“一種求極大極小的奇妙類型的計算”，在數(shù)學史上被認為是最早發(fā)表的微積分文獻。牛頓在1687年出版的《自然哲學的數(shù)學原理》的第一版和第二版也寫道：“十年前在我和最杰出的幾何學家G、WLeibniz的通信中，我表明我已經(jīng)知道確定極大值和極小值的方法、作切線的方法以及類似的方法，但我在交換的信件中隱瞞了這方法，……這位最卓越的科學家在回信中寫道，他也發(fā)現(xiàn)了一種同樣的方法。他并訴述了他的方法，它與我的方法幾乎沒有什么不同，除了他的措詞和符號而外。”（但在第三版及以后再版時，這段話被刪掉了。）因此，后來人們公認牛頓和Leibniz是各自獨立地創(chuàng)建微積分的。第34頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六牛頓從物理學出發(fā)，運用集合方法研究微積分，其應用上更多地結(jié)合了運動學，造詣高于Leibniz

。Leibniz則從幾何問題出發(fā)，運用分析學方法引進微積分概念、得出運算法則，其數(shù)學的嚴密性與系統(tǒng)性是牛頓所不及的。Leibniz認識到好的數(shù)學符號能節(jié)省思維勞動，運用符號的技巧是數(shù)學成功的關(guān)鍵之一。因此，他發(fā)明了一套適用的符號系統(tǒng)，如，引入dx表示x的微分，∫表示積分，dnx表示n階微分等等。這些符號進一步促進了微積分學的發(fā)展。1713年，Leibniz發(fā)表了《微積分的歷史和起源》一文，總結(jié)了自己創(chuàng)立微積分學的思路，說明了自己成就的獨立性萊布尼茨在漢諾威（圣文森特，1991）第35頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六萊布尼茲在數(shù)學方面的成就是巨大的，他的研究及成果滲透到高等數(shù)學的許多領域。他的一系列重要數(shù)學理論的提出，為后來的數(shù)學理論奠定了基礎。萊布尼茲曾討論過負數(shù)和復數(shù)的性質(zhì)，得出復數(shù)的對數(shù)并不存在，共扼復數(shù)的和是實數(shù)的結(jié)論。在后來的研究中，萊布尼茲證明了自己結(jié)論是正確的。他還對線性方程組進行研究，對消元法從理論上進行了探討，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理論。此外，萊布尼茲還創(chuàng)立了符號邏輯學的基本概念，發(fā)明了能夠進行加、減、乘、除及開方運算的計算機和二進制，為計算機的現(xiàn)代發(fā)展奠定了堅實的基礎。三、高等數(shù)學上的眾多成就萊布尼茨和圖解（德國，1996）第36頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六Leibniz的物理學成就也是非凡的。他發(fā)表了《物理學新假說》，提出了具體運動原理和抽象運動原理，認為運動著的物體，不論多么渺小，他將帶著處于完全靜止狀態(tài)的物體的部分一起運動。他還對笛卡兒提出的動量守恒原理進行了認真的探討，提出了能量守恒原理的雛型，并在《教師學報》上發(fā)表了“關(guān)于笛卡兒和其他人在自然定律方面的顯著錯誤的簡短證明”，提出了運動的量的問題，證明了動量不能作為運動的度量單位，并引入動能概念，第一次認為動能守恒是一個普通的物理原理。他又充分地證明了“永動機是不可能”的觀點。他也反對牛頓的絕對時空觀，認為“沒有物質(zhì)也就沒有空見，空間本身不是絕對的實在性”，“空間和物質(zhì)的區(qū)別就象時間和運動的區(qū)別一樣，可是這些東西雖有區(qū)別，卻是不可分離的”。在光學方面，Leibniz也有所建樹，他利用微積分中的求極值方法，推導出了折射定律，并嘗試用求極值的方法解釋光學基本定律?？梢哉fLeibniz的物理學研究一直是朝著為物理學建立一個類似歐氏幾何的公理系統(tǒng)的目標前進的。四、豐碩的物理學成果第37頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六Leibniz對中國、的科學、文化和哲學思想十分關(guān)注，是最早研究中國文化和中國哲學的德國人。他向耶酥會來華傳教士格里馬爾迪了解到了許多有關(guān)中國的情況，包括養(yǎng)蠶紡織、造紙印染、冶金礦產(chǎn)、天文地理、數(shù)學文字等等，并將這些資料編輯成冊出版。他認為中西相互之間應建立一種交流認識的新型關(guān)系。在《中國近況》一書的緒論中，Leibniz寫道：“全人類最偉大的文化和最發(fā)達的文明仿佛今天匯集在我們大陸的兩端，即匯集在歐洲和位于地球另一端的東方的歐洲——中國?！薄爸袊@一文明古國與歐洲相比，面積相當，但人口數(shù)量則已超過。”“在日常生活以及經(jīng)驗地應付自然的技能方面，我們是不分伯仲的。我們雙方各自都具備通過相互交流使對方受益的技能。在思考的縝密和理性的思辯方面，顯然我們要略勝一籌”，但“在時間哲學，即在生活與人類實際方面的倫理以及治國學說方面，我們實在是相形見拙了?！痹谶@里，Leibniz不僅顯示出了不帶“歐洲中心論”色彩的虛心好學精神，而且為中西文化雙向交流描繪了宏偉的藍圖，極力推動這種交流向縱深發(fā)展，是東西方人民相互學習，取長補短，共同繁榮進步。五、中西文化交流之倡導者第38頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六1697年萊布尼茨著《中國新事萃編》(NovissimaSinica)“我們從前誰也不信這世界上有比我們的倫理更美滿，立身處事之道更進步的民族存在，現(xiàn)在從東方的中國，給我們以一大覺醒！東西雙方比較起來，我覺得在工藝技術(shù)上，彼此難分高低；關(guān)于思想理論方面，我們雖優(yōu)于東方一籌，而在實踐哲學方面，實在不能不承認我們相形見拙?！?859年李善蘭和偉烈亞歷譯《代微積拾級》“我國康熙(1654-1722年)時，西國來本之、奈瑞創(chuàng)微分、積分二術(shù)?！卑l(fā)現(xiàn)易圖結(jié)構(gòu)可以用二進制數(shù)學予以解釋，用二進制數(shù)學來理解古老的中國文化，收藏了關(guān)于中國的書籍50多冊，200多封信件中談到中國。第一位全面認識東方文化尤其是中國文化的西方學者。萊布尼茲為促進中西文化交流做出了畢生的努力，產(chǎn)生了廣泛而深遠的影響。他的虛心好學、對中國文化平等相待，不含“歐洲中心論”偏見的精神尤為難能可貴，值得后世永遠敬仰、效仿。第39頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六從世界開始到牛頓生活年代的全部數(shù)學中，牛頓的工作超過了一半。

——萊布尼茲自然和自然的規(guī)律沉浸在一片混沌之中，上帝說，生出牛頓，一切都變得明朗。

——英國著名詩人波普牛頓（越南，1985）巨人牛頓NatureandNature'slawslayhidinnight;Godsaid,letNewtonbe!andallwaslight.第40頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六如果我看得更遠些，那是因為我站在巨人的肩膀上。我不知道在別人看來，我是什么樣的人；但在我自己看來，我不過就象是一個在海濱玩耍的小孩，為不時發(fā)現(xiàn)比尋常更為光滑的一塊卵石或比尋常更為美麗的一片貝殼而沾沾自喜，而對于展現(xiàn)在我面前的浩瀚的真理的海洋，卻全然沒有發(fā)現(xiàn)。

——牛頓蘋果和《自然哲學的數(shù)學原理》（英國，1987）牛頓(英，1642-1727年)第41頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六作為科學的巨人，牛頓把一生都獻給了科學事業(yè)。據(jù)他的助手回憶，牛頓往往一天伏案工作18小時左右，仆人常常發(fā)現(xiàn)送到書房的午飯和晚飯一口未動。偶爾去食堂用餐，出門便陷入思考，兜個圈子又回到住所?；萃栐凇稓w納科學史》中寫道：“除了頑強的毅力和失眠的習慣，牛頓不承認自己與常人有什么區(qū)別”。行星的橢圓運動（英國，1987）第42頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六“在繁雜的農(nóng)務中埋沒這樣一位天才，對世界來說將是多么巨大的損失?！?661年進入劍橋大學三一學院1665年夏至1667年春:牛頓科學生涯的黃金歲月第一個創(chuàng)造性成果：二項定理(1665)及無窮級數(shù)(1666)1669-1701年任盧卡斯教授1699年倫敦造幣局局長1703年皇家學會會長1705年封爵第43頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六第一篇微積分文獻:《流數(shù)簡論》(1666)（fluxion)

“我把時間看作是連續(xù)流動或增長,其他量則隨時間而連續(xù)增長,我從時間的流動性出發(fā),把所有其他增長速度稱為流數(shù)。”首末比方法:求函數(shù)自變量與因變量變化之比的極限符號:令o=0第44頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六1687年力學名著《自然哲學的數(shù)學原理》出版。運用微積分工具，嚴格證明了包括開普勒行星運動三大定律、萬有引力定律在內(nèi)的一系列結(jié)果，將其應用于流體運動、聲、光、潮汐、彗星及至宇宙體系，充分顯示了這一新數(shù)學工具的威力。第45頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六導論：定義、基本定理和定律，及相關(guān)的說明（絕對時空概念、運動合成法則、運動三定律、力的合成與分解法則、伽利略相對性原理）第一篇：解決引力問題第二篇：討論物體在介質(zhì)中的運動第三篇：論宇宙體系《原理》由導論和三篇組成第46頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六1643年1月4日，在英格蘭林肯郡小鎮(zhèn)沃爾索浦的一個自耕農(nóng)家里，牛頓誕生了。牛頓出生前三個月父親便去世了。在他兩歲時，母親改嫁給一個牧師,把牛頓留在外祖母身邊撫養(yǎng)。大約從五歲開始，牛頓被送到公立學校讀書。少年時的牛頓并不是神童，他資質(zhì)平常，成績一般，但他喜歡讀書，喜歡看一些介紹各種簡單機械模型制作方法的讀物，并從中受到啟發(fā)，自己動手制作些奇奇怪怪的小玩意，如風車、木鐘、折疊式提燈等等。11歲時，母親的后夫去世，母親帶著和后夫所生的一子二女回到牛頓身邊。牛頓自幼沉默寡言，性格倔強，這種習性可能來自它的家庭處境。牛頓12歲時進了離家不遠的格蘭瑟姆中學。牛頓的母親原希望他成為一個農(nóng)民，但牛頓本人卻無意于此，而酷愛讀書。隨著年歲的增大，牛頓越發(fā)愛好讀書，喜歡沉思，做科學小實驗。他在格蘭瑟姆中學讀書時，曾經(jīng)寄宿在一位藥劑師家里，使他受到了化學試驗的熏陶。牛頓在中學時代學習成績并不出眾，只是愛好讀書，對自然現(xiàn)象由好奇心，例如顏色、日影四季的移動，尤其是幾何學、哥白尼的日心說等等。他還分門別類的記讀書筆記，又喜歡別出心裁的作些小工具、小技巧、小發(fā)明、小試驗。一、少年牛頓第47頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六1661年，19歲的牛頓以減費生的身份進入劍橋大學三一學院，靠為學院做雜務的收入支付學費.1664年成為獎學金獲得者.1665年獲學士學位。1665～1666年嚴重的鼠疫席卷了倫敦，劍橋離倫敦不遠，為恐波及，學校因此而停課，牛頓于1665年6月離校返鄉(xiāng)。1667年10月1日牛頓被選為三一學院的仲院侶(初級院委).1668年3月16日獲得碩士學位，同時成為正院侶(高級院委)。1669年10月27日，巴羅為了提攜牛頓而辭去了教授之職，26歲的牛頓晉升為數(shù)學教授，并擔任盧卡斯講座的教授。第48頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六17世紀中葉，劍橋大學的學院出現(xiàn)了新氣象，盧卡斯創(chuàng)設了一個獨辟蹊徑的講座，規(guī)定講授自然科學知識，如地理、物理、天文和數(shù)學課程。講座的第一任教授伊薩克·巴羅是個博學的科學家。這位學者獨具慧眼，看出了牛頓具有深邃的觀察力、敏銳的理解力。于是將自己的數(shù)學知識，包括計算曲線圖形面積的方法，全部傳授給牛頓，并把牛頓引向了近代自然科學的研究領域。當時，牛頓在數(shù)學上很大程度是依靠自學。他學習了歐幾里得的《幾何原本》、笛卡兒的《幾何學》、沃利斯的《無窮算術(shù)》、巴羅的《數(shù)學講義》及韋達等許多數(shù)學家的著作。其中，對牛頓具有決定性影響的要數(shù)笛卡兒的《幾何學》和沃利斯的《無窮算術(shù)》，它們將牛頓迅速引導到當時數(shù)學最前沿～解析幾何與微積分。1664年，牛頓被選為巴羅的助手，第二年，劍橋大學評議會通過了授予牛頓大學學士學位的決定。牛頓的萬有引力（摩納哥，1987）二、求學歲月第49頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六1665年初，牛頓創(chuàng)立級數(shù)近似法,以及把任意冪的二項式化為一個級數(shù)的規(guī)則；同年11月，創(chuàng)立正流數(shù)法(微分)；次年1月，用三棱鏡研究顏色理論；5月，開始研究反流數(shù)法(積分)。這一年內(nèi)，牛頓開始想到研究重力問題，并想把重力理論推廣到月球的運動軌道上去。他還從開普勒定律中推導出使行星保持在它們的軌道上的力必定與它們到旋轉(zhuǎn)中心的距離平方成反比。牛頓見蘋果落地而悟出地球引力的傳說，說的也是此時發(fā)生的軼事。1667年復活節(jié)后不久，牛頓返回到劍橋大學，10月1日被選為三一學院的仲院侶(初級院委)，翌年3月16日獲得碩士學位，同時成為正院侶(高級院委)。1669年10月27日，巴羅為了提攜牛頓而辭去了教授之職，26歲的牛頓晉升為數(shù)學教授，并擔任盧卡斯講座的教授。巴羅為牛頓的科學生涯打通了道路，如果沒有牛頓的舅父和巴羅的幫助，牛頓這匹千里馬可能就不會馳騁在科學的大道上。巴羅讓賢，這在科學史上一直被傳為佳話。第50頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六在牛頓的全部科學貢獻中，數(shù)學成就占有突出的地位。他數(shù)學生涯中的第一項創(chuàng)造性成果就是發(fā)現(xiàn)了二項式定理。據(jù)牛頓本人回憶，他是在1664年和1665年間的冬天，在研讀沃利斯博士的《無窮算術(shù)》時，試圖修改他的求圓面積的級數(shù)時發(fā)現(xiàn)這一定理的。求微分相當于求時間和路程關(guān)系得在某點的切線斜率。一個變速的運動物體在一定時間范圍里走過的路程，可以看作是在微小時間間隔里所走路程的和，這就是積分的概念。求積分相當于求時間和速度關(guān)系的曲線下面的面積。牛頓從這些基本概念出發(fā)，建立了微積分。三、建立微積分第51頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六微積分的創(chuàng)立是牛頓最卓越的數(shù)學成就。牛頓為解決運動問題，才創(chuàng)立這種和物理概念直接聯(lián)系的數(shù)學理論的，牛頓稱之為“流數(shù)術(shù)"。它所處理的一些具體問題，如切線問題、求積問題、瞬時速度問題以及函數(shù)的極大和極小值問題等，在牛頓前已經(jīng)得到人們的研究了。但牛頓超越了前人，他站在了更高的角度，對以往分散的努力加以綜合，將自古希臘以來求解無限小問題的各種技巧統(tǒng)一為兩類普通的算法——微分和積分，并確立了這兩類運算的互逆關(guān)系，從而完成了微積分發(fā)明中最關(guān)鍵的一步，為近代科學發(fā)展提供了最有效的工具，開辟了數(shù)學上的一個新紀元。劍橋大學三一學院牛頓的蘋果樹第52頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六牛頓沒有及時發(fā)表微積分的研究成果，他研究微積分可能比萊布尼茨早一些，但是萊布尼茨所采取的表達形式更加合理，而且關(guān)于微積分的著作出版時間也比牛頓早。在牛頓和萊布尼茨之間，為爭論誰是這門學科的創(chuàng)立者的時候，竟然引起了一場悍然大波，這種爭吵在各自的學生、支持者和數(shù)學家中持續(xù)了相當長的一段時間，造成了歐洲大陸的數(shù)學家和英國數(shù)學家的長期對立。英國數(shù)學在一個時期里閉關(guān)鎖國，囿于民族偏見，過于拘泥在牛頓的“流數(shù)術(shù)”中停步不前，因而數(shù)學發(fā)展整整落后了一百年。應該說，一門科學的創(chuàng)立決不是某一個人的業(yè)績，它必定是經(jīng)過多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎上，最后由某個人或幾個人總結(jié)完成的。微積分也是這樣，是牛頓和萊布尼茨在前人的基礎上各自獨立的建立起來的。第53頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六1707年，牛頓的代數(shù)講義經(jīng)整理后出版，定名為《普遍算術(shù)》。他主要討論了代數(shù)基礎及其(通過解方程)在解決各類問題中的應用。書中陳述了代數(shù)基本概念與基本運算，用大量實例說明了如何將各類問題化為代數(shù)方程，同時對方程的根及其性質(zhì)進行了深入探討，引出了方程論方面的豐碩成果，如，他得出了方程的根與其判別式之間的關(guān)系，指出可以利用方程系數(shù)確定方程根之冪的和數(shù)，即“牛頓冪和公式”。牛頓對解析幾何與綜合幾何都有貢獻。他在1736年出版的《解析幾何》中引入了曲率中心，給出密切線圓(或稱曲線圓)概念，提出曲率公式及計算曲線的曲率方法。并將自己的許多研究成果總結(jié)成專論《三次曲線枚舉》，于1704年發(fā)表。此外，他的數(shù)學工作還涉及數(shù)值分析、概率論和初等數(shù)論等眾多領域。第54頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六牛頓并不善于教學，他在講授新近發(fā)現(xiàn)的微積分時，學生都接受不了。但在解決疑難問題方面