序列Z變換與反變換

序列Z變換與反變換第1頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六z變換的定義及符號表示

z變換

z反變換物理意義：將離散信號分解為不同頻率復(fù)指數(shù)esTk的線性組合C為X(z)的收斂域(ROC)中的一閉合曲線正變換：X(z)=Z{x(n)}反變換：x(n)

=Z-1{X(z)}或符號表示第2頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六z變換定義及收斂域充要條件:序列z變換的定義為能夠使上式收斂的z值集合稱為z變換的收斂域(ROC)收斂域(ROC):R-<|z|<R+絕對可和

第3頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六解：例：求下列信號的Z變換及收斂域。不同的序列可能對應(yīng)著相同的z變換表達(dá)式，但收斂域卻不同。只有當(dāng)兩者均相同時，才能說兩序列相等。第4頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六(1)有限長序列幾種不同序列z變換的ROCROC也可能包含0或∞點第5頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六(2)右邊序列幾種不同序列z變換的ROC因果序列的ROC包含∞點第6頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六(3)左邊序列幾種不同序列z變換的ROC第7頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六(4)雙邊序列幾種不同序列z變換的ROC第8頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六z反變換C為X(z)的ROC中的一閉合曲線留數(shù)法部分分式法長除法第9頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六c為環(huán)形解析域內(nèi)環(huán)繞原點的一條逆時針閉合圍線.0c1.留數(shù)法羅朗級數(shù)公式：z反變換第10頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六為計算圍線積分，由留數(shù)定理可知： 為c內(nèi)的第k個極點， 為c外的第m個極點，Res[]表示極點處的留數(shù)。使用第二式的條件是分母多項式中的z次數(shù)比分子多項式高二次以上。Z反變換第11頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六(2)當(dāng)Zr為l階(多重)極點時的留數(shù)留數(shù)的求法：Z反變換(1)當(dāng)Zr為一階極點時的留數(shù)第12頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六例：已知1）當(dāng)n≥-1時, 在z=0處不會構(gòu)成極點，此時C內(nèi)只有一個一階極點 。，求z反變換。0c1/44第13頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六2）當(dāng)n≤-2時，X(z)zn-1在z=0處有多重極點。因此C內(nèi)有極點：z=1/4(一階),z=0為(n+1)階極點；而在C外的無窮遠(yuǎn)處沒有極點，僅有z=4這個一階極點；且此時分母中z的次數(shù)大于分子中z的次數(shù)二次以上:因此，Z反變換第14頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六部分分式展開法基本思想將X(z)分解成一些簡單而常見的部分分式之和，然后分別求出各部分分式的反變換，最后將各反變換相加即得x(n)。第15頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六部分分式展開法計算過程Bn是X(z)整式部分系數(shù)；zk是X(z)的單階極點；zi是X(z)的r階重極點。第16頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六部分分式展開法計算過程根據(jù)上述系數(shù)，表達(dá)式收斂域，確定x(n)。第17頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六例：已知X(z)的極點為z1=-1,z2=2，展成部分分式為的收斂域分別為(1)|z|>2(2)|z|<1(3)1<|z|<2,分別求其所對應(yīng)的原序列。第18頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六例：已知的收斂域分別為(1)|z|>2(2)|z|<1(3)1<|z|<2,分別求其所對應(yīng)的原序列。(1)收斂域為|z|>2時,x(n)為因果序列，(2)收斂域為|z|<1時,x(n)為反因果序列，(3)當(dāng)收斂域為1<|z|<2時第19頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六冪級數(shù)展開法基本原理在給定的收斂域內(nèi)，把X(z)展成冪級數(shù)，其系數(shù)即為x(n)。具體過程自學(xué)！第20頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六雙邊Z變換的主要性質(zhì)1.線性特性注：若線性組合過程中出現(xiàn)某些零點和極點相互抵消時，收斂域會擴大！第21頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六例：已知

求其z變換。第22頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六雙邊Z變換的主要性質(zhì)2．位移特性x[n-m]z-mX(z)ROC=Rx對雙邊序列而言，序列位移不改變其收斂域！第23頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六例求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z變換。組合后，z=1既是零點，又是極點，出現(xiàn)零極點相抵消，收斂域擴大。第24頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六雙邊Z變換的主要性質(zhì)3.指數(shù)加權(quán)特性4.線性加權(quán)(Z域微分特性)第25頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六雙邊Z變換的主要性質(zhì)5.共軛序列6.時間翻轉(zhuǎn)(timereversal)第26頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六雙邊Z變換的主要性質(zhì)7.初值定理8.終值定理因果序列x(n)=0,n<0,有X(n)為因果序列，且X(z)的極點處于單位圓以內(nèi)(單位圓上最多在z=1處有一階極點)，則第27頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六雙邊Z變換的主要性質(zhì)9.有限項累加特性因果序列x(n)=0,n<0，其z變換為第28頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六雙邊Z變換的主要性質(zhì)時域的卷積和對應(yīng)于Z域是乘積關(guān)系10.序列卷積和ROC包含Rx1∩Rx211.序列相乘(Z域復(fù)卷積定理)時域的乘積對應(yīng)于Z域是復(fù)卷積關(guān)系第29頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六雙邊Z變換的主要性質(zhì)

12.Parseval定理第30頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六理想抽樣信號Z變換與Laplace變換的關(guān)系的Laplace變換第31頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六抽樣序列Z變換與Laplace變換的關(guān)系的z變換，抽樣序列的z變換等于理想抽樣信號的Laplace變換。第32頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六理想抽樣信號拉氏變換與抽樣序列Z變換關(guān)系的實質(zhì)建立起s(域)平面與z(域)平面之間的的一一對應(yīng)關(guān)系！Z變換與Laplace變換的關(guān)系第33頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六

σ=0,即S平面的虛軸映射到Z平面單位圓(r=1)；

σ<0,即S左半平面映射到Z平面單位圓內(nèi)(r<1)；σ>0,即S右半平面映射到Z平面單位圓外(r>1)。r與σ的對應(yīng)關(guān)系jΩ00σjIm[Z]Re[Z]第34頁，共36頁，2023年，2月20日，星期六ω與Ω的關(guān)系（ω=ΩT）0jIm[Z]Re[Z]ω

Ω=0對應(yīng)于ω=0；Ω=Ω0對應(yīng)于ω=Ω0T；對應(yīng)于的整個z平面第35