我的計(jì)算能力很差

我的計(jì)算能力很差1第1頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六“數(shù)感”這一術(shù)語的提出傳遞了一個清晰的信息：發(fā)展數(shù)感成為小學(xué)數(shù)學(xué)最重要的教學(xué)目標(biāo).關(guān)于數(shù)的教學(xué)要超越“計(jì)算訓(xùn)練”，讓學(xué)生在數(shù)的學(xué)習(xí)過程中獲得更豐富的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn),學(xué)到到更好的數(shù)學(xué)！“數(shù)感”的提出，涉及到對小學(xué)數(shù)學(xué)進(jìn)行全面的改革：教學(xué)的目標(biāo)、內(nèi)容、教學(xué)策略與評價方法等等。

2第2頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六

（一）

什么？為什么？3第3頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六什么是“數(shù)感”

？簡單的回答：關(guān)于數(shù)的一種很好的直覺（包括與之有關(guān)的各種關(guān)系）．每個學(xué)生都有自己特有的“數(shù)的世界”

：概念的、直覺的與計(jì)算的．這個“數(shù)的世界”

是如此的豐富多彩，很難用“計(jì)算技能”等來表達(dá)?！皵?shù)感”一詞能更好的反映這種多樣性．具有這種直覺學(xué)生才能以一種“聰明”的方式來使用數(shù)．4第4頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六“數(shù)感”是怎樣形成的？它是在豐富多樣的實(shí)踐活動中逐漸發(fā)展起來的（包括生活經(jīng)驗(yàn)）：學(xué)校課程為學(xué)生提供了大量的實(shí)踐機(jī)會；日常經(jīng)驗(yàn)也是學(xué)生的“數(shù)感”

發(fā)展的重要資源．5第5頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六在這些實(shí)踐活動中：學(xué)生感受到數(shù)的具體存在；“看”到數(shù)的作用；用各種方法表示這些數(shù)；用數(shù)解決遇到的問題；對數(shù)進(jìn)行“計(jì)算”操作；用數(shù)進(jìn)行交流；對數(shù)的各種關(guān)系進(jìn)行探索；…等等。在這個“潤物細(xì)無聲”

的積累過程，每個學(xué)生都形成自己特有的“數(shù)的世界”

：概念的、直覺的與計(jì)算的．6第6頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六為什么強(qiáng)調(diào)“數(shù)感”？為什么在談“概念”的同時，還要強(qiáng)調(diào)“數(shù)感”的發(fā)展？一種共識，一種共同的追求：一方面數(shù)學(xué)不是“知識與計(jì)算”的簡單堆砌；數(shù)學(xué)不是“冷冰冰的鋼鐵機(jī)器”

！在學(xué)生心目中的“數(shù)”也不應(yīng)當(dāng)是一堆干巴巴的數(shù)字加上一些機(jī)械的計(jì)算程序！我們的學(xué)生也不應(yīng)當(dāng)僅僅是能進(jìn)行熟練計(jì)算的“計(jì)算器”！7第7頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六“數(shù)感”的提出反映了我們的追求：期望學(xué)生能夠?qū)W到更好的數(shù)學(xué)！學(xué)到有意義（他們能領(lǐng)會）的數(shù)學(xué)！對“數(shù)感”的強(qiáng)調(diào)，正反映了這種追求：數(shù)是一個復(fù)雜的概念.關(guān)于數(shù)的教學(xué)應(yīng)當(dāng)超越數(shù)的計(jì)算訓(xùn)練，使學(xué)生發(fā)展對數(shù)的更豐富的體驗(yàn)與認(rèn)識，包括形成更靈活的關(guān)于數(shù)的直覺。

8第8頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六

（二）例子

“數(shù)感”有哪些具體表現(xiàn)?我們的教師能從行為與言談中,敏銳的發(fā)現(xiàn)學(xué)生們對于數(shù)的理解,了解學(xué)生是如何把握數(shù)的．

9第9頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六學(xué)生對數(shù)的“感悟”

會以各種方式表現(xiàn)出來，是處處”可見”的：既見之于解決數(shù)學(xué)問題的過程,也表現(xiàn)在日常行為中.

計(jì)算技能仍然是”數(shù)感”

的構(gòu)成要素之一，但僅僅是“之一”而已。學(xué)生的”數(shù)感”，他們的“數(shù)世界”遠(yuǎn)比這要豐富。重要的是從各種不同角度來認(rèn)識數(shù),感受數(shù),形成關(guān)于數(shù)的更豐滿的體驗(yàn).10第10頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六例1

女孩數(shù)數(shù)。(H.Freudenthal)一個學(xué)前女孩學(xué)習(xí)寫數(shù).她寫下1,2,3,…9,(這時需要幫一下)10,11,12,…19,(這時又可能需要幫一下)

…

…

90,…

…

99(這時需要幫一下)100,…

…

109110,…

…199

…

…

…寫到1024.到此,她不愿再寫下去了,說道:就這樣繼續(xù)下去!11第11頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六

您對這個活動有何評論？這個女孩學(xué)到了什么？您的評價有什么依據(jù)？12第12頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六這是很了不起的！“就這樣繼續(xù)下去！”就是數(shù)學(xué)．對人類來講，對這個女孩來講，她正在創(chuàng)造自己最早的數(shù)學(xué)，而且是偉大而又重要的數(shù)學(xué)，還是最深奧的數(shù)學(xué)。

13第13頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六依據(jù)：表面上看，寫在紙上的數(shù)列還在繼續(xù)，但準(zhǔn)確的講，這是數(shù)的記號在繼續(xù)。

這個女孩突然發(fā)現(xiàn)了寫出所有數(shù)的，非常簡單的原理：0的后繼是1，…。（后繼）

她也知道，這可以無限的進(jìn)行下去。由此可以斷言，她已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了無限。

這在數(shù)學(xué)上是了不起的。這正是數(shù)學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)的歸宿。14第14頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六“就這樣繼續(xù)下去”的原理貫穿于全部算術(shù)，無論是時間的無限，還是空間的無限，都靠這個原則去把握?！薄盁o論從歷史的，發(fā)生學(xué)的還是從系統(tǒng)的角度看，數(shù)的序列都是數(shù)學(xué)的基石。可以說，沒有數(shù)的序列就沒有數(shù)學(xué)?！眴栴}：你如何解釋這一觀點(diǎn)?！八袩o限過程，如…都是想象為時間上的無窮無盡，”

15第15頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六發(fā)現(xiàn)學(xué)生----H.佛羅登塔的分析對我們的啟示熱情教師應(yīng)當(dāng)以巨大智慧與的熱情和，“如數(shù)家珍”似的鑒賞學(xué)生的工作：從平凡中發(fā)現(xiàn)偉大，發(fā)現(xiàn)具有潛在價值的“苗子”。問題如何發(fā)現(xiàn)學(xué)生活動的價值？這樣分析的依據(jù)是什么？智慧－這就是數(shù)感！從數(shù)學(xué)本身的角度----后繼與無限；序數(shù)；從學(xué)生發(fā)展的角度看---頓悟？16第16頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六例２睡蓮問題17第17頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六

睡蓮問題湖面有一片睡蓮,它的覆蓋面積每天要擴(kuò)大一倍.到第28天,這片睡蓮恰好蓋滿湖面.問:這片睡蓮要用幾天才能蓋滿該湖面的一半?18第18頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六四個蘇格蘭14歲的學(xué)生在討論一道題,他們的老師站在一邊看著.并用錄象將談話記錄下來,然后再整理之.

學(xué)生:A,B,C和D;

教師:T

問題:

從下面所提供的這個活動，您觀察到什么關(guān)注什么信息?19第19頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六A嗨,這題有點(diǎn)意思!B那還不變臭啦.C睡蓮活不了28天!A怪題.D1天,1平方寸.

加倍,2平方寸,4,8,16,32,64,128B可我們不知道池塘有多大.D我知道,它在28天蓋滿池塘.246.C不!256.D你是對的;312,不412,不512,不,錯了…2048,8002.20第20頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六B你干什么呢?A他錯了.B我跟你想的不一樣.它要你求多長,沒問你有多大.A那你也得知道有多大…(這時其他人都在計(jì)算,并且對2的冪的得數(shù),

直到16384)D現(xiàn)在我們做到15了.C現(xiàn)在該做什么了?B還得繼續(xù)請求它的大小,我們還沒有求出要用多長時間(繼續(xù)求數(shù))21第21頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六T再讀一遍題.B哈,27個晚上…沒意思.…我懂了…真傻!…太容易了!其他人:太明顯了.

（活動結(jié)束）22第22頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六

6553665536131072

327683276865536

409640968412

1638416384327681248163264128256512102420434096818210384327086553613101227個晚上

(可COPY)蓮（6）23第23頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六

問題從以上活動，您注意到什么？學(xué)生的解題過程大致有什么特點(diǎn)？他們遇到了什么困難？他們使用的策略是什么？學(xué)生是如何使用數(shù)的？當(dāng)學(xué)生以小組形式進(jìn)行探究(問題解決)活動時，數(shù)學(xué)教師還關(guān)心什么？每個學(xué)生的工作方式有何特點(diǎn)？他們怎么合作的？每個人的作用是什么？24第24頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六

（三）

“菜單”

能把“數(shù)感”所包含的內(nèi)容說得更具體些嗎？你能開一張“菜單”嗎？25第25頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六”數(shù)感”

應(yīng)當(dāng)包括如下成分:理解數(shù)的意義；用多種方法表示數(shù)；能在具體情景中把握數(shù)的大??；用數(shù)表達(dá)和交流信息；為解決問題而選擇適當(dāng)?shù)乃惴?；能估?jì)運(yùn)算的結(jié)果;能對結(jié)果的合理性做出解釋。其他？26第26頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六

對”數(shù)的意義”

的理解

重要的是認(rèn)識與感受

”數(shù)”的意義，特別是“數(shù)”

所包含的模式.從可感知的現(xiàn)實(shí)背景,理解數(shù)的實(shí)際含義：一朵花有六個花瓣,而那朵花也有六個花瓣。而后數(shù)

“六”

成為抽象的獨(dú)立事物.這就是模式!我們不是孤立的看數(shù).例1中的那個女孩，她感受到了”繼續(xù)下去”,知道“0的后面是1”，“1的后面是2”，….發(fā)現(xiàn)了”后繼數(shù)”!這就是最重要的模式或規(guī)律..

27第27頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六學(xué)生抽象思維的發(fā)展可能會存在巨大的差異.

例如,有的學(xué)生可能很難把分?jǐn)?shù)”1/2”

與具體的”西瓜””蛋糕”

分開.

我們應(yīng)當(dāng)允許學(xué)生在不同的抽象水平理解數(shù),等待并創(chuàng)造機(jī)會使這些學(xué)生逐步越上新的思維水平28第28頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六l

用符號表示數(shù)

人們發(fā)明了各種符號表示數(shù).學(xué)生要經(jīng)歷與體驗(yàn)關(guān)于數(shù)的符號的發(fā)生過程,理解”位值”

(各種進(jìn)位法)這一重要的表示法.多種表示

例1中的那個女孩正是從數(shù)的符號中,看到了某種模式.29第29頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六l

計(jì)算與估算計(jì)算本身就是”數(shù)系”的一個有機(jī)部分.根據(jù)規(guī)則對數(shù)（數(shù)學(xué)符號）進(jìn)行操作,這是“數(shù)感”

的重要內(nèi)容.但計(jì)算應(yīng)當(dāng)是有意義的活動,而不是”符號游戲”!

例2

學(xué)生D

擅長計(jì)算,他最后算出了215!但對筆下的215意味著什么,卻麻木不仁.

學(xué)生B卻能一種“聰明”的方式來使用數(shù).

30第30頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六l

數(shù)之間的關(guān)系（如大小關(guān)系）

”數(shù)系”的另一個有機(jī)部分是數(shù)之間的關(guān)系,（例如大小關(guān)系）.

計(jì)算也是揭示數(shù)之間關(guān)系的重要手段.除了根據(jù)“算法”，可以對數(shù)做精確的比較外，還能憑直覺的感知，判斷這個數(shù)很大，那個數(shù)比較小。在

例2中，當(dāng)學(xué)生們把28天和睡蓮聯(lián)系起來后，便得出推論：睡蓮活不了這么久，會變腐爛的！但是，例3中的學(xué)生們顯然不能想象“一百萬粒黃豆”有多少！

31第31頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六l

交流

在交流中，恰當(dāng)?shù)挠脭?shù)表達(dá)和解釋信息

這涉及到觀察，對現(xiàn)實(shí)事物中的數(shù)具有敏銳感知，也涉及到用數(shù)來描述周邊的事物（例如，事物的大小、門牌號數(shù)等）。

交流是雙向的：會講“會聽”：當(dāng)他人的講述用到數(shù)來交流信息時，能根據(jù)背景理解數(shù)的含義，并能進(jìn)行交流。

32第32頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六l

解決問題

對于遇到的問題(包括生活中問題),能有應(yīng)用數(shù)的意識,并能恰當(dāng)?shù)倪x擇數(shù)及算法。綜合:

進(jìn)行觀察;

提出問題;

做出判斷;

構(gòu)造假設(shè);

做出選擇;實(shí)施計(jì)劃;性

自我監(jiān)督;

合作交流;

計(jì)算結(jié)果的預(yù)測;

評價反思。

數(shù)

33第33頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六

(四)教學(xué)策略

如何培養(yǎng)學(xué)生的”數(shù)感”?

34第34頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六

發(fā)展“數(shù)感”

使我們的教師擺脫了某些束縛,獲得了更大的自由,使他們能在教學(xué)方法上有更多的選擇.從新的視角認(rèn)識與揚(yáng)棄傳統(tǒng)的成功教學(xué)經(jīng)驗(yàn)。關(guān)鍵是:為了發(fā)展對數(shù)的更豐富的體驗(yàn)與認(rèn)識，包括形成更靈活的關(guān)于數(shù)的直覺(對數(shù)的駕御能力),我們不再把目光集中在狹小的

”計(jì)算訓(xùn)練”范圍.35第35頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六l

注意現(xiàn)實(shí)與數(shù)量關(guān)系的聯(lián)系小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個好傳統(tǒng)也許是：注意聯(lián)系實(shí)際。對數(shù)感的強(qiáng)調(diào)，也許能使我們更好發(fā)揚(yáng)這個傳統(tǒng),從“數(shù)感”發(fā)展的角度，設(shè)計(jì)新的實(shí)際情境.

讓學(xué)生經(jīng)歷”數(shù)學(xué)化”：

“知識形成過程，就是”數(shù)學(xué)化”的過程！這是最重要的數(shù)學(xué)思想.例1

女孩她在“機(jī)械”的數(shù)數(shù)過程中發(fā)現(xiàn)了重要的規(guī)律。她不能用語言來表達(dá)，但卻感受到寫出自然數(shù)的規(guī)律。她用這個數(shù)學(xué)思想來把握數(shù)(數(shù)學(xué)化)!對這個規(guī)律的認(rèn)識（甚至只是模糊的）也是以后掌握數(shù)的運(yùn)算的基礎(chǔ)。36第36頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六l

在數(shù)的運(yùn)算中發(fā)展數(shù)感對“數(shù)感”的強(qiáng)調(diào)，使我們反思：為什么要培養(yǎng)計(jì)算能力？應(yīng)當(dāng)重視計(jì)算能力的培養(yǎng)，因?yàn)楸匾挠?jì)算技能是建立“數(shù)感”的前提?！笆炷苌伞?/p>

---熟練的運(yùn)算有助于發(fā)展對數(shù)感的某些方面.但過分沉溺于機(jī)械化技能,追求無用的雕蟲小技,不利于“數(shù)感”的發(fā)展,反而有害?問題是:如何把握適度?在計(jì)算教學(xué)中,應(yīng)當(dāng)注意:對運(yùn)算方法的判斷;

對運(yùn)算結(jié)果的估計(jì);

對口算的訓(xùn)練;對算法多樣的倡導(dǎo).例2中的學(xué)生D就是一個例子。他非常認(rèn)真的忙于計(jì)算，但不知道自己要做什么.37第37頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六-例3

“千和萬的認(rèn)識”

---湖南一師林玲老師的一堂課

二年級下;時間:2006年5月25日教師出示用透明塑料口袋包裝的花生米,問學(xué)生:“有多少花生米?”學(xué)生回答:1千!5萬!1百萬!…38第38頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六目的：l

從時間與空間上認(rèn)識計(jì)數(shù)單位百、千和萬；l

知道相鄰兩個計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率是“10”；l

掌握個位至萬的數(shù)位順序；l

會讀寫整百、整千和整萬。

學(xué)具：花生米、杯子、大小不等的容器、計(jì)數(shù)器等。39第39頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六教學(xué)過程:1出示用透明塑料口袋包裝的花生米,問學(xué)生:“有多少花生米?”學(xué)生回答:1千,5萬,1百萬…認(rèn)識千和萬的活動

十個十是一百。選擇恰當(dāng)?shù)娜萜?，?shù)一百?；ㄉ?，裝入之；十個一百是一千。選擇恰當(dāng)?shù)娜萜?，?shù)一千?；ㄉb入之；

十個一百是一千。數(shù)一萬?；ㄉ?，選擇恰當(dāng)?shù)娜萜?，裝入之。

40第40頁，共45頁，2023年，2月20日，星期六1.

提出的問題：你能說出一些比一百大的數(shù)嗎？猜一猜，塑料袋里有多少花生米？這里有100?；ㄉ?，你能根據(jù)這100?；ㄉ加械目臻g，選擇恰當(dāng)?shù)娜萜?，裝一千?；ㄉ鷨?？

你們是用什么方法數(shù)出一千?；ㄉ?

裝一萬?；ㄉ?？

數(shù)100?；ㄉ枚嗌贂r間？（為了統(tǒng)計(jì)數(shù)花生所用的時間，可以分組活動，并適當(dāng)?shù)姆止?。）假設(shè)咪咪小組數(shù)100?；ㄉ?，用了1分鐘，問：用同