上海市寶山中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期9月月考 數(shù)學(xué)試題（解析版）

上海市寶山中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上9月月考數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.已知集合，，則___________.【答案】【解析】【分析】解分式不等式得集合，然后由交集定義計算．【詳解】，又，所以．故答案為：2.已知，其中、分別為、軸正方向單位向量，若，則的值______．【答案】0【解析】【分析】等價于，代入利用數(shù)量積運算律求解【詳解】因為，故，又、分別為、軸正方向單位向量，所以即故答案為：3.直線經(jīng)過點，其一個法向量是，則直線的一般方程是_____．【答案】【解析】【分析】設(shè)直線的方向向量，由可求得直線的斜率，利用點斜式方程寫出直線方程，整理可得一般方程.【詳解】設(shè)直線的方向向量，則，即，直線的斜率為，又過點，則直線的方程為：，則其一般方程為.故答案為：.4.已知復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位)，則________.【答案】【解析】【分析】先求出復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的模的計算公式即可求出．【詳解】，，即．故答案為：．【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則以及復(fù)數(shù)的模的計算公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5.設(shè)復(fù)數(shù)，，若，則的值等于______．【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法將復(fù)數(shù)表示為一般形式，結(jié)合題意得出其虛部為零，由此可解出實數(shù)的值.【詳解】，，，，，解得，因此，.故答案為.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)乘法運算以及復(fù)數(shù)的概念，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.6.等邊三角形邊長為，平面且，則點到邊的距離為___．【答案】30【解析】【分析】取BC的中點M，連接AM，PM，可證平面，從而，所以為到邊的距離，在直角三角形中求解.【詳解】取BC的中點M，連接AM，PM，因為三角形為等邊三角形，所以，又平面，平面，平面，所以，又平面，平面，，所以平面，又平面，所以，所以為到邊的距離，又等邊三角形邊長為，所以，在直角三角形中，，所以到邊的距離為30，故答案為：307.已知，則______．【答案】【解析】【分析】由二倍角的余弦公式化簡即可求出，代入即可得出答案.【詳解】因為，所以，解得：或，因為，所以，則，.故答案為：8.用與球心距離為1的平面去截該球，所得截面面積為π，則該球的體積_____________.【答案】【解析】【詳解】截面面積為π?截面圓半徑為1，又與球心距離為1?球的半徑是，所以根據(jù)球的體積公式知V球＝故答案為9.設(shè)，若，則的最大值為____________【答案】【解析】【分析】由指對互化對數(shù)換地公式得，再根據(jù)基本不等式得，進而得.【詳解】解：因為，所以，所以，因為，所以，故，所以故的最大值為.故答案為：.10.圓錐的底面圓直徑為2，母線長為6，若小蟲從點開始繞著圓錐表面爬行一圈到的中點，則小蟲爬行的最短距離為_____．【答案】【解析】【分析】要求小蟲爬行的最短距離，需將圓錐的側(cè)面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結(jié)果．【詳解】由題意知底面圓的直徑AB＝2，故底面周長等于.設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為，展開后扇形的弧長為根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得＝，故所以展開圖中，在中，由余弦定理得所以小蟲爬行的最短距離為.故答案為：11.將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A－BD－C，有如下四個結(jié)論：（1）AC⊥BD；（2）△ACD是等邊三角形；（3）AB與平面BCD所成的角為60°；（4）AB與CD所成的角為60°．則正確結(jié)論的序號為_______【答案】（1）（2）（4）【解析】【分析】作出此直二面角，由二面角的平面角的定義和線面垂直的判斷和性質(zhì)可判斷（1）；由等邊三角形的判斷可判斷（2）；由線面角的定義可得為所求角，可判斷（3）；取中點，的中點，連接，，，可得，所成角或補角即為所求角，計算可判斷（4）．【詳解】解：如圖，其中，是的中點，由，，可得即為此直二面角的平面角．對于命題（1），由于面，故，此命題正確；對于命題（2），在等腰直角三角形中，，故是等邊三角形，此命題正確；對于命題（3），與平面所成的線面角的平面角是，故與平面成的角不正確；對于命題（4），可取中點，的中點，連接，，，由于，是中位線，可得其長度為正方形邊長的一半，而是直角三角形的中線，其長度是的一半即正方形邊長的一半，故是等邊三角形，由此即可證得與所成的角為；綜上知（1）（2）（4）是正確的．故答案為：（1）（2）（4）12.設(shè)是定義在R上的周期為4的函數(shù)，且，記，若函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)是8個，則實數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】分別作出與直線圖像，觀察交點個數(shù)即可.【詳解】作出，的圖像如下：令，則，則函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)，即為與直線的圖像交點個數(shù)，由圖可知當(dāng)是，圖像有8個交點.故答案為：.二、選擇題（本大題共有4小題，滿分20分，每題5分）13.過點且與直線垂直的直線方程是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直的性質(zhì)求得所求直線的斜率等于-2，再由所求直線過點（0，1），利用點斜式求得所求直線的方程，并化為一般式．【詳解】∵直線的斜率等于，故所求直線的斜率等于﹣2，再由所求直線過點（0，1），利用點斜式求得所求直線的方程為y﹣1（x﹣0），即2x+y-1=0，故選A．【點睛】本題主要考查兩直線垂直的性質(zhì)，兩直線垂直斜率之積等于﹣1，用點斜式求直線方程，屬于基礎(chǔ)題．14.下列命題中，正確的是（）A.三點確定一個平面B.垂直于同一直線的兩條直線平行C.若直線與平面上的無數(shù)條直線都垂直，則D.若a、b、c是三條直線，且與c都相交，則直線a、b、c在同一平面上【答案】D【解析】【分析】利用空間點、線、面位置關(guān)系直接判斷.【詳解】A.不共線三點確定一個平面，故A錯誤；B.由墻角模型，顯然B錯誤；C.根據(jù)線面垂直的判定定理，若直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則直線與平面垂直，若直線與平面內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，則直線與平面不一定垂直，故C錯誤；D.因為，所以確定唯一一個平面，又與都相交，故直線共面，故D正確；故選：D.15.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對應(yīng)點分別為，對于下列四個式子：①，②，③，④．其中恒成立的個數(shù)是（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【解析】【分析】設(shè)，，則，，利用復(fù)數(shù)的乘法運算法則和復(fù)數(shù)的模判斷①②；利用向量數(shù)量積公式和向量的模判斷③④．【詳解】設(shè)，，則，，對于①，，，，故①錯誤；對于②，，，，，故②正確；對于③，，，，故③正確；對于④，，，，，，故④錯誤．故正確的為：②③，共2個.故選：B.16.若函數(shù)的值域為，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題知，再結(jié)合函數(shù)值值域得，再結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可得答案【詳解】解：，，令，則，因為，所以，因為函數(shù)的值域為，則所以，即，因，函數(shù)單調(diào)遞減，所以的取值范圍為故選：A三、解答題（本大題共5題，滿分76分）17.在直三棱柱中，，.（1）求異面直線與所成角的大?。唬?）若與平面所成角為，求三棱錐的體積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由，知為異面直線與所成的角；(2)由平面知為與平面所成角，根據(jù)幾何關(guān)系即可求出三棱柱的棱長.【小問1詳解】∵，∴為異面直線與所成的角(或其補角).由，，得.因此異面直線與所成角的大小為.【小問2詳解】∵平面，∴為與平面所成角，即.由，，得，于是.因此三棱錐的體積.18.關(guān)于的實系數(shù)一元二次方程．（1）若方程有一個根是，求的值；（2）當(dāng)時，方程的兩個虛根滿足，求的值．【答案】（1）9（2）【解析】【分析】（1）將代入方程，根據(jù)實部、虛部為0求得的值；（2）用求根公式直接求出兩個虛根，代入求的值．【小問1詳解】因為為方程的一根，所以，即，所以且，故，所以【小問2詳解】方程有兩個虛根，則，故，因為的兩個虛根為，所以，故，所以滿足條件.綜上：19.某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶承包一片靠岸水域.如圖，、為直線岸線，米，米，，該承包水域的水面邊界是某圓的一段弧，過弧上一點按線段和修建養(yǎng)殖網(wǎng)箱，已知.（1）求岸線上點與點之間的直線距離；（2）如果線段上的網(wǎng)箱每米可獲得40元的經(jīng)濟收益，線段上的網(wǎng)箱每米可獲得30元的經(jīng)濟收益.記，則這兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟總收益最高為多少？（精確到元）【答案】（1）米（2）55076元【解析】【分析】（1）由余弦定理計算即可；（2）先由正弦定理計算出相關(guān)長度，再計算收益表達式，最后由輔助角公式求最值.【小問1詳解】，岸線上點與點之間的直線距離為米.【小問2詳解】△中，，，，（），設(shè)兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟總收益為元，則，當(dāng)，即時，（元）所以兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟總收益最高約為55076元.20.已知復(fù)數(shù)，，（1）若，求角；（2）復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別是，其中為坐標(biāo)原點，求的取值范圍；（3）復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別是、，存在使等式成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）角（2）（3）【解析】【分析】(1)利用復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值，結(jié)合角度的范圍即可求解(2)由向量的數(shù)量積運算結(jié)合兩角差的正弦整理，再由角度的范圍求出相位范圍后即可求出的取值范圍(3)利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算進行化簡等式，轉(zhuǎn)化為和三角函數(shù)的表達式，求出三角函數(shù)的整體范圍后再計算表達式的范圍，進而求出最后結(jié)果【小問1詳解】，，由，得，，又，【小問2詳解】由復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示得，，，則，又，，當(dāng)時，取最大值為4，當(dāng)時，取最小值為，所以的取值范圍為【小問3詳解】由題意得，，，，又，，化簡得，，由小問2的結(jié)論可得，，當(dāng)，得恒成立，當(dāng)，得，或，綜合所述，的取值范圍為21.已知函數(shù)對任意的實數(shù)x滿足且，則稱為M函數(shù)．（1）判斷是否為M函數(shù)，并說明理由；（2）函數(shù)為M函數(shù)，且當(dāng)時，，求在時的解析式；（3）函數(shù)為M函數(shù)，且當(dāng)時，，則當(dāng)，關(guān)于x的方程（a為常數(shù)）有解，記該方程所有解的和為S，求S．【答案】（1）判斷見解析；（2）（3）【解析】【分析】（1）由“M函數(shù)”的定義即可判斷是不是M函數(shù)；（2）由“M函數(shù)”定義，結(jié)合函數(shù)的周期，即可得到所求函數(shù)的解析式；（3）根據(jù)已知條件得函數(shù)在上的圖象，結(jié)合圖象對稱性和周期性及值域即可求解.【小問1詳解】不是M函數(shù)；證明如下：，，所以不是M函數(shù)；【小問2詳解】因為函數(shù)對任意的實數(shù)x滿足，所以函數(shù)的周期為，，所以，因為當(dāng)時，，，所以在時的解析式為【小問3詳解】由（2）知，在時的解析式為，，，，，，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，關(guān)于x的方程（a為常數(shù)）有解等價于函數(shù)與的圖象有交點，由圖可知，當(dāng)時，方程（a為常數(shù)）有3個解，其