中考正多邊形和圓知識點

正多邊形和圓知識點學(xué)習(xí)要求：

了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓內(nèi)接正多邊形的方法，能熟練地進(jìn)行正三角形、正方形、正六邊形有關(guān)的計算.

內(nèi)容分析：

1．正多邊形的定義：

各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。

2．正多邊形與圓的有關(guān)定理

把圓分成n(n≥3)等份：

(1)依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形；

(2)經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形；

(3)任何正多邊形都有一個外接圓與一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓。

注意：①依據(jù)正多邊形與圓的有關(guān)定理(1)、(2)，只要能將一個圓分成n(n≥3)等份，就可以得到這個圓的內(nèi)接正n邊形及外切正n邊形，想一想，你能否利用直尺和圓規(guī)作已知圓的內(nèi)接(或外切)正三角形、正方形、正六邊形、正十二邊形；

②如何證明任何一個正多邊形A1A2A3……An-1An都有一個外接圓呢？

我們可過A1、A2、A3三點作一個⊙O，分別連結(jié)OA1、OA2、OA3，OA4，通過證明△OA1A2≌△OA3A4，得到OA4=OA3=OA2=OA1.

從而點A4在⊙O上，同理可證A5、A6……An-1、An其余各點也都在⊙O上，則可推出此正多邊形有一個外接圓。

想一想，在此基礎(chǔ)上如何證明⊙O的圓心O點也是其內(nèi)切圓的圓心呢？

3.正多邊形的其它性質(zhì)

(1)正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心，邊數(shù)為

偶數(shù)的正多邊形還是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心。

(2)邊數(shù)相同的正多邊形相似。

4.正多邊形的有關(guān)計算

正多邊形的外接圓(或內(nèi)切圓)的圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距，正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角。

正n邊形的有關(guān)計算公式

(1)

(2)

(3)

注意：①同一個圓的內(nèi)接正n邊形和外切正n邊形是相似形，相似比是圓的內(nèi)接正n邊形邊心距與它的半徑之比。這樣，同一個正n邊形的內(nèi)切圓和外接圓的相似比

②常用輔助線：連半徑，作邊心距，由正多邊形的半徑、邊心距和邊長構(gòu)成的直角三角形集中反映了正多邊形各元素間的關(guān)系，是解計算問題的基本圖形，并且正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形。

例題分析：

1．圓內(nèi)接正六邊形的周長為24，則該圓的內(nèi)接正三角形的周長為（）

A．12B．6C．12D．6

解：由題意知正六邊形的邊長為4，故其外接圓半徑也為4，

如圖，O為正△ABC的中心，

連接OA，則∠OAB=30°，OA=4，作OD⊥AB于D，則AD=OA·cos30°=2，

∴AB=4，周長為12，

∴選C．

2．若一個正三角形的周長與一個正六邊形的周長相等，試求這個正三角形與這個正六邊形的面積之比。

解：設(shè)正三角形的邊長為a，正六邊形的邊長為b。

則6b=3a，即

∵正三角形的面積

正六邊形的面積

∵AB=BC，∠BAP=∠BCP，

∴△ABM≌△CBP

∴BM=BP，∠ABM=∠CBP

∴∠MBP=∠MBC+∠CBP=∠ABM+∠MBC=∠ABC=60°

∴△MBP為等邊三角形

∴MP=BP

∴

（2）同（1）得，△ABM≌△CBP

∴BM=BP，∠ABM=∠CBP

∴∠MBP=∠MB