初一數(shù)學競賽專題19 最值問題

專題19

最值問題閱讀與考在實際生活與生產中們想省時間或費用取最好的效果或最高效益映數(shù)學問題上，就是求某個量的和、差、積、商的最大值和最小值，這類問題被稱之為最值問題，在現(xiàn)階段，這類問題的相關知識與基本方法有：1、通過枚舉選取2、利用完全平方式性.3、運用不等式（組）逼近求解4、借用幾何中的不等量性質、定理.解答這類問題應當包括兩個方面，一方面要說明不可能比某個值更大（或更小另一方面要舉例說明可以達到這個值，前者需要詳細說明，后者需要構造一個合適的例.例題與解【1】若為正整數(shù)且

，

，

（

c

）的最小值是.（北京市競賽試題）解思：條件中關于C的息量最多，應突出的作用，把及待求式用的代數(shù)式表.【2】知實數(shù)ab滿

a

22，4

的最小值是（）A.

18

B.0C.1D.

98解思：對

a4ab

(全國中數(shù)學競賽試題進行變形，利用完全平方公式的性質進行解.【3】果正整數(shù)

xx,滿x=xx，x的最大值.12345134515解

題

思

路：

不

妨

設

xxx125

，

由

題

中

條

件

可

知111xxxxxxxxxxx2345134545235234

=1.結題意進行分.

【4】已知

xy

都為非負數(shù)，滿足

xyxy，，的最大值與最小值（四川省競賽試題）解思：解題的關鍵是用含一個字母的代數(shù)式表示

w

.【5】某工程車從倉庫上水泥電線桿運送到離倉庫恰為米的公路邊栽立，要求沿公路的一邊向前每隔100米立線桿一根，已知工程車每次之多只能運送電線桿根，要求完成運送18根任務返倉庫工車每行駛1千耗油m在里耗油量的多少只考慮與行駛的路程有關，其他因素不計）每汽油n元求完成此項任務最低的耗油費.（湖北省競賽試題）解思：要使耗油費用最低，應當使運送次數(shù)盡可能少，最少需運5次而5次有不同運送方法，求出每種運送方法的行駛路程，比較得出最低的耗油費.【6】直三角形的兩條直角邊長分別為和，斜邊長為13P是三角形內或邊界上的一點P到三邊的距離分別為，d，d，求d+d+d的大值和最小值，并求當dd+d取最大值和11212最小值時，點位.新邀賽試題）解思：連接P點三角形各頂點，利用三角形的面積公式來.

能力訓A

級社，，滿

a

2

2

2

，那么代數(shù)式

a

2b)

的最大值是

.（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）在足

xy3,x

的條件下，

2y

能達到的最大值是

.望”邀請賽試題）已銳角三角形ABC的個內角A滿B＞用表B-C及中最小值的最大值是.

（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）已有理數(shù)，，滿＞＞，，那么

ca

的取值范圍是

.在子

x

（數(shù)學夏令營競賽試題）中，代入不同的x值得到對應的值，在這些對應的值中，最小的值是（）A.1B.2C.3若a，，，是數(shù)b是整數(shù)，且滿足大值是（）

b，么

的最A.-1B.-5C.0D.1(全初中數(shù)學聯(lián)賽試已

x,y10,

則代數(shù)式

xy22xyyzxz

的最小值是（）A.75B.80C.100D.105(江省競賽試題已xy，z為非負數(shù)，且滿足的最小值與最大值分別為（）

xy=303x，又設MxyZ

，則MA.110120B.120，C.130140D.1401509.已知非負實數(shù)

x

，

y

，

滿足

xyz234

，記

x

.求

w

的最大值和最小值望杯”邀請賽試題）

10.某童裝廠現(xiàn)有甲種布料米乙鐘布料26米現(xiàn)計劃用這種布料生產，兩型號的裝共套，已知做一套L型號的童裝需用甲種布料0.5米，乙種布料1米可獲利45元做一套M型的童裝需用甲種布料米，乙種布料0.2米可獲利元試問該廠生產的這批童裝，當型號的童裝為多少套是，能使該廠獲得利潤最大？最大利潤為多少？（江西省無錫市中考試題）例124提：a,d

專最問，原式24c例2B

提示：

b

ab

b

ab

19．4因為，以

111，從而ab244

，故0

14

91619因此0，即48

ab

9．8例3設xxx，

1

1xx

1xxx

1xxx

1xxx

1xxx

1x

1x

1x

1x

1x

=

3xxx

于是得到

xx

．

．

若xx

1

題設等式為4x

矛盾xxx時，容易找到滿足條件的數(shù)組(，1，1，，5)，所以x的最大值是．例4由

，得

，由得，yz

23時有最小值當z554

時有最大值6例5提：顯然運送次數(shù)越少，所駛的路程越短，所需郵費越少，因此18根線桿運送次行駛路程較短，這有兩種運送方法）次個4根一次2根）三次各，二次各3根（1）考慮先送2根，后送4根；先送根，后送．①先送2根再4根二次共行駛：②先送4根再2根二次共駛：300（）次各送3根，所行路程為200

米；米；米故先送2根行路程最短，最短總行程為：

400

400

19000米故所用最少油費為

1mn1000

元例6如所示，在△ABC，C90，BC=5，AB=13點P到，CAAB的離分別為ddPC由三角形的面積公式知：

，連接PA，，1ddd22

.即

5136012

.顯然有

ddd312

.故

6013

2

.當

d02

時，有

d12

，即

dd12

3

取最大值時，與A重合；當

d01

時，有

d2

6013

，即

dd12

取最小值時，與C重.

A1.27

原式

3

2

2.63.15°

提示：

6

C

4.

1提b∴a2a

又

b

代入

b

中，得cc

，∴

1c1.故2a2

.5.D6.B

7.A

B9.設

z

，則

xky2,z

.∴

x,

均為非負實.∴04k+3

，解得：

23

.故

xyz

26

.∴

126，352

，所以

的最小值是，最大值是

.10.20套1800元提設生產L型的童裝套數(shù)為S301500.

則產M型的童裝為

套所得利潤

由由得

x，x

.11.最小表面積的打包方式為2×3.小表面積為17952，圖略B級1.27

當

b2,a25時的最大.2.102

提示：m190

.3.1157

提示：

8b64d

.4.BDE5.13800元

93.62百元提示：設由甲庫調運噸糧食到市，總運費為y元，則y5x

x13800

6.

提示：

abdaM

abcaa

.故1M

.7.B提：設

x，

.故

S13四邊形

x25x

.8.（）

1

2002

1

2

2

2

2002

2

2012m

.m

1

2

2012

.當

aa1

2002

或

時取最大值當

a,a,a

中恰有個1個時，取小值.（）為大于2002的最小完全平方數(shù)為452，1

2002

必為偶數(shù)，所以a1

2002

即a,,

中恰有個1978個個978個1時，m取最小值

2002

.

9.由條件得：a2

,a

a

，以上各式相加，得

2005

，故

a1

2005

.由已知a,,

,a

都是偶數(shù)，因此

aa12

2005

.另方面，當aa1

a

2005

0，a24

2004

時，符合條件，且使上式等號成立，故所求的最小值是.10.倉庫地址應選在C處假定倉庫另選一地O設

AB,,AOBOy

（單位千米定廠量為

2

廠產量為

3

廠量為

噸倉庫在O處總運費表示為

2mxmymz

；倉庫在C處總運費可表示為3ma由于x＋＋