利用輔助圓求解動點(diǎn)最值問題

利輔圓解點(diǎn)值題許多幾何問題雖然與圓無關(guān)如果能結(jié)合條件補(bǔ)作輔助圓利用圓的有關(guān)性質(zhì)、結(jié)論，將某些最值問題通過圓中的幾何模型求解筆經(jīng)過研究，歸納為以情況可考慮作輔助圓一同端出的長段例如1角梯形

ABCD

中DAB3,AB點(diǎn)E線段上動點(diǎn)

EBC

沿

翻到

連結(jié)

B點(diǎn)在AB上運(yùn)動時，分別求

B

的最小值.解析

如圖，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)B，B重當(dāng)點(diǎn)E在時，設(shè)點(diǎn)處由翻折可知

BCB所，點(diǎn)為心，半徑的圓上，運(yùn)動軌跡為弧

BF

如圖，點(diǎn)

D

在⊙

內(nèi)，延長

交⊙

于點(diǎn)

B1

當(dāng)

B

在點(diǎn)

B1

時

B

最小，最小值為

BC1

點(diǎn)在外設(shè)交于點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)B時B，最小為13

設(shè)

AD

與⊙

交點(diǎn)為

B3

，當(dāng)點(diǎn)

B

在點(diǎn)

B3

時

B

最小，最小值為

AD

點(diǎn)評當(dāng)件中有同一端點(diǎn)出發(fā)等長線段時據(jù)圓的定義以端點(diǎn)為圓心等長為半徑構(gòu)造圓，將原問題轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離問模型如，點(diǎn)

A

在⊙

O

外，

A

到⊙

O

上各點(diǎn)連線段中

AB

最短；如圖，點(diǎn)

A

在⊙

O內(nèi)到

O

上各點(diǎn)連線段中AB最短

證明在

O

上任取一點(diǎn)

，不與點(diǎn)

B

重合，連結(jié)

CA,CO

，如圖3.OCOA,,AB

得如圖4,

OCCAOC,CA

，得證.二動對線所的為值模型如,

AB

為定線段點(diǎn)

為AB外動點(diǎn)，

為定值則點(diǎn)

形成的軌跡是弧

ACB

、弧

AmB

(不含點(diǎn),B⊙

O

設(shè)⊙O為ABC的接圓，在方任取三點(diǎn)，點(diǎn)證明O上、⊙內(nèi).

D,F

分別在⊙O外AGB,AFB

當(dāng)ACB為值時，C形成的軌跡是弧、ADB(不含點(diǎn)A,1.動點(diǎn)時定線段所張的角為直角例2如形

ABCD

邊長為2

E

是正方形

ABCD

內(nèi)一動點(diǎn)90

，連結(jié)DE，DE的小值.解析

90AB

為定線段，由模型可，點(diǎn)在為徑的圓上連

OD

交⊙

O

于點(diǎn)

F

，由模型1，當(dāng)

E

在點(diǎn)

F

處時

DE

最短，最小值是

5

點(diǎn)評當(dāng)點(diǎn)對定線段所張的角直角時據(jù)直徑所對圓周角為直角定段為直徑構(gòu)造圓.2.動點(diǎn)時定線段所張的角為銳角例3

如圖

，一把直角三角形尺ABC的個頂點(diǎn),分別在OXOY

上移動，，點(diǎn)到距的大值.解析如8,

D

為

的外接圓由模型知

O

的運(yùn)動軌跡是弧

(

A,B兩點(diǎn)除外).過點(diǎn)作的線，垂足為點(diǎn)E,交AOB于F，點(diǎn)O點(diǎn)F處，O到

AB

的距離最大，即為

FE

長.XOY

10,FDAD2,DE

故

O

到

AB

距離的最大值為

2

點(diǎn)評本AB是長為定值用型2到點(diǎn)O的動軌跡是一段弧，這段弧所在的圓是一個定圓，于是原問題轉(zhuǎn)化為圓上一點(diǎn)到弦的距離問.模型如9,是⊙O的條弦C是⊙O上動(不與A,重)點(diǎn)ODEAB

，垂足為

D

交

O

于點(diǎn)

(,

在

O

兩側(cè)).點(diǎn)

在點(diǎn)

E

處時點(diǎn)

到

AB

的距離最大，即為DE長證明如，作CF足為點(diǎn),CDOCOD

，得證.

3.動點(diǎn)對定線段所張的角為鈍角例如10，正三角形邊為，射線AD//，E是射線AD上一動(不與點(diǎn)

A

重合)

AEC

外接圓交

EB

于點(diǎn)

F

，求

AF

的最小解析如10

EFCEAC60

BC

為定長點(diǎn)F

的運(yùn)動軌跡是弧

(與B,C重).過點(diǎn)作BC垂為G，弧于，點(diǎn)F在H時AF最小，最小值為

AG

23

點(diǎn)評本將動點(diǎn)E轉(zhuǎn)到動點(diǎn)F，且因?yàn)锽FC120

為定長，由模型2可知，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是弧，這段弧所在的圓是一個定于是，的小值問題轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最小值問題，由模型1即求解.三動對線所的的值例如，四邊形

ABCD

中，均有

AD//BC,BCADBC12.邊AD上是存在一點(diǎn)E，使BEC的最小?存在，求出此時BEC

的值;若不存在，請說明理解析

當(dāng)

BEC

為銳角時，

cos

隨

BEC

的增大而減小，求

cos

的值最小值，只要求最值

于是，作

中垂線交

BC

于點(diǎn)

F,

設(shè)三點(diǎn)

BC,

確定⊙

O

，則⊙

O

切

AD

于點(diǎn)

G.此時上的點(diǎn)(除

G

)都⊙

O

外，

BGC，以當(dāng)點(diǎn)在

G

處時BEC最大由題意，可知

3,

設(shè)⊙

O半為r,則

6

(4

，解得

r

33