LMI工具箱介紹-俞立

LMI工具箱介紹——俞立第一頁，共26頁。setlmis([])或setlmis(lmiso)lmisys=getlmis以getlmis結(jié)束以setlmis開始X=lmivar(type,struct)用lmivar定義矩陣變量lmiterm(…………)用lmiterm描述LMI的每項§3.1用LMI工具箱描述一個線性矩陣不等式系統(tǒng)第二頁，共26頁。(1)定義對稱塊對角結(jié)構(gòu)的矩陣變量X時，struct是r×2維矩陣，該矩陣第i行是(m,n),X=lmivar(type,struct) 用lmivar定義矩陣變量type=1；其中m是Di的階次,

1表示Di是一個滿的對稱矩陣；

0表示Di是一個數(shù)量矩陣； －1表示Di是一個零矩陣；第三頁，共26頁。例：如何定義如下矩陣變量 ①若X是一個3×3維的對稱矩陣,則用X=lmivar(1,[31])來定義。②若，其中D是5×5維對稱矩陣，d1和

d2是兩個標(biāo)量，I2是2×2維的單位矩陣，則用X=lmivar(1,[51;10;20])來定義。第四頁，共26頁。(2)定義長方型結(jié)構(gòu)的矩陣變量X時，則type=2；struct=[m,n]表示矩陣的維數(shù).例,如何定義一個2×4維的對稱矩陣變量X？X=lmivar(2,[24])(3)定義其他結(jié)構(gòu)的矩陣變量X時,X的每個元是0或±xn,

其中xn是第n個決策變量，則type=3；struct是與變量X同維的矩陣,第i行第j列是

0如果X(i,j)=0；

n如果X(i,j)=xn

； －n如果X(i,j)=－xn

；第五頁，共26頁。①%1#LMI

lmiterm([111X],1,A,'s')lmiterm([111S],C',C)lmiterm([112X],1,B)lmiterm([122S],-1,1)%2#LMIlmiterm([-211X],1,1)%3#LMIlmiterm([-311S],1,1)lmiterm([3110],1])①描述屬于第幾個不等式，不等號的小邊+，大邊－.②②描述該項所在塊的位置,0塊不描述;

對稱的塊只描述一次.③③描述該項是變量還是常數(shù).④④變量的左系數(shù)、右系數(shù).⑤可選項,只能是's',描述轉(zhuǎn)置.⑤lmiterm的格式以 為例。第六頁，共26頁。使用LMI工具箱描述其中X∈R6×6和S=DTD∈R

4×4，則定義2個矩陣變量

X=lmivar(1,[61])S=lmivar(1,[20;21])第七頁，共26頁。setlmis([])X=lmivar(1,[61])S=lmivar(1,[20;21])%1#LMIlmiterm([111X],1,A,'s')lmiterm([111S],C',C)lmiterm([112X],1,B)lmiterm([122S],-1,1)%2#LMIlmiterm([-211X],1,1)%3#LMIlmiterm([-311S],1,1)lmiterm([3110],1)lmisys=getlmis第八頁，共26頁。LMI工具箱提供了用于求解3類問題的LMI求解器.1、可行性問題尋找一個x∈RN,使得滿足LMIA(x)<B(x)相應(yīng)的求解器是feasp.一般表達形式[tmin,xfeas]=feasp(lmisys,options,target)原理：通過求解如下的輔助優(yōu)化問題

min

t

s.t.A(x)－B(x)≤tI來求解線性矩陣不等式系統(tǒng)lmisys的可行性問題.§3.2線性矩陣不等式求解器第九頁，共26頁。求解器的2個輸出量:

tmin

:前述凸優(yōu)化問題的全局最優(yōu)值：

tmin<0,則系統(tǒng)lmisys是可行的；

tmin>0,則系統(tǒng)lmisys是不可行的；

xfeas

:系統(tǒng)lmisys可行時,給出一個可行解,

用dec2mat提取出該可行解.求解器的3個輸入量:lmisys:如前所述;target:可選,為tmin設(shè)置目標(biāo)值,只要tmin<target,

優(yōu)化迭代過程就結(jié)束.target=0是默認值.options:可選量,5維向量,描述求解參數(shù),見資料.求解器feasp[tmin,xfeas]=feasp(lmisys,options,target)第十頁，共26頁。例：求滿足P>I的對稱矩陣P,使得A1TP+PA1<0,A2TP+PA2<0,A3TP+PA3<0其中解:新建feaspexample.m文件.functionmainfunctionclc;

%清屏A1=[-12;1-3];

%輸入已知矩陣A2=[-0.81.5;1.3-2.7];A3=[-1.40.9;0.7-2];setlmis([])%開始設(shè)置系統(tǒng)框架第十一頁，共26頁。P=lmivar(1,[21])%定義矩陣變量lmiterm([111P],1,A1,'s') %1#LMIlmiterm([211P],1,A2,'s') %2#LMIlmiterm([311P],1,A3,'s') %3#LMIlmiterm([-411P],1,1) %4#LMI:Plmiterm([4110],1) %4#LMI:Ilmisys=getlmis%完成系統(tǒng)框架設(shè)置[tmin,xfeas]=feasp(lmisys);%求可行解PP=dec2mat(lmisys,xfeas,P)%提取解矩陣第十二頁，共26頁。運行結(jié)果：第十三頁，共26頁。2、具有LMI約束的一個線性目標(biāo)函數(shù)的最小化問題

minxcTx

s.t.A(x)<B(x)相應(yīng)的求解器是mincx.一般表達形式[copt,xopt]=mincx(lmisys,c,options,xinit,target)求解器的2個輸出量:

copt:目標(biāo)函數(shù)值cTx的全局最優(yōu)值；

xopt

:最優(yōu)解,可用dec2mat提取相應(yīng)的矩陣變量.求解器的5個輸入量:lmisys:如前所述;c:已知向量;options:可選量,5維向量,描述求解參數(shù),見資料.第十四頁，共26頁。2、具有LMI約束的一個線性目標(biāo)函數(shù)的最小化問題

minxcTx

s.t.A(x)<B(x)相應(yīng)的求解器是mincx.一般表達形式[copt,xopt]=mincx(lmisys,c,options,xinit,target)求解器的5個輸入量:xinit:可選,最優(yōu)解xopt的一個初始猜測.當(dāng)輸入值不 是可行解時,將被忽略;否則可能加快求解過程. target:可選,是目標(biāo)函數(shù)的一個設(shè)定值,當(dāng)cTx≤target,

求解過程結(jié)束.第十五頁，共26頁。例：考慮優(yōu)化問題minXTrace(X)

s.t.ATX+XA

+XBBTX

+Q<0,其中X是一個對稱的矩陣變量，解:根據(jù)Schur補性質(zhì)，上述優(yōu)化問題等價于新建mincxexample.m文件：第十六頁，共26頁。functionmainfunctionclc;

%清屏A=[-1-21;321;1-2-1];

%輸入已知矩陣B=[1;0;1];Q=[1-10;-1-3-12;0-12-36];setlmis([])%開始設(shè)置系統(tǒng)框架X=lmivar(1,[31]);%定義矩陣變量lmiterm([111X],1,A,'s');%1#LMIlmiterm([1110],Q);lmiterm([112X],1,B);lmiterm([1220],-1);lmisys=getlmis;%完成設(shè)置系統(tǒng)框架第十七頁，共26頁。n=decnbr(lmisys);%得到lmisys系統(tǒng)變量個數(shù)c=zeros(1,n);%為變量c預(yù)設(shè)存儲空間forj=1:3

%循環(huán)命令求系數(shù)c[Xj]=defcx(lmisys,j,X);c(j)=trace(Xj);endoptions=[1e-5,0,0,0,0];

%

精度要求[copt,xopt]=mincx(lmisys,c,options);%求可行解Xopt=dec2mat(lmisys,xopt,X)

%提取解矩陣第十八頁，共26頁。運行結(jié)果：第十九頁，共26頁。第二十頁，共26頁。第二十一頁，共26頁。3、廣義特征值的最小化問題

min

l

s.t.

C(x)<D(x)0<B(x)A(x)<lB(x)相應(yīng)的求解器是gevp.一般表達式如下[lopt,xopt]=gevp(lmisys,nlfc,options,linit,xinit,target)求解器的2個輸出量:

lopt:優(yōu)化問題的全局最優(yōu)值；

xopt

:最優(yōu)解,可用dec2mat提取相應(yīng)的矩陣變量.求解器的6個輸入量:lmisys:l=1時的約束條件,如前所述;nlfc:含l的約束的個數(shù)已知向量;第二十二頁，共26頁。3、廣義特征值的最小化問題

min

l

s.t.

C(x)<D(x)0<B(x)A(x)<lB(x)相應(yīng)的求解器是gevp.一般表達式如下[lopt,xopt]=gevp(lmisys,nlfc,options,linit,xinit,target)求解器的6個輸入量:options:可選量,5維向量,描述求解參數(shù),見資料.

linit,xinit:可選,初始猜測linit=l0,xinit=x0不是可行解時,將被忽略;否則可能加快求解過程. target:可選,只要可行解(l,x)滿足l≤target,結(jié)束.第二十三頁，共26頁。調(diào)用求解器gevp是須遵循以下規(guī)則確定包含l的LMIA(x)<B