數學解題的錯例分析

數學解題的錯例分析

本文談解題錯誤分析中的兩個主要問題：錯誤的類型和分析的做法，并輔以案例來做具體的說明。一、解題錯誤的主要類型有一種簡單化的認識，以為錯誤都是知識不過關造成的，其實，解題錯誤的類型不止一個，在知識過關的情況下也會出現差錯。既然成功的解題有知識因素，能力因素，經驗因素和情感因素，那么不成功或失敗的解題也會與這些因素相關，我們總結為：知識性錯誤，邏輯性錯誤，策略性錯誤，心理性錯誤。1.知識性錯誤知識性錯誤主要指由于數學知識上的缺陷所造成的錯誤。如誤解題意、概念不清、記錯法則、用錯定理，不考慮范圍使用方法等。核心是所涉及的內容是否符合數學事實。例1能與數軸上的點構成一一對應的數集是()。（單項選擇題）A。整數集B.有理數集C。無理數集D.實數集解：因為實數與數軸上的點構成一一對應，所以選D。評析：這正是命題者的預設答案，但是命題者忘了，無理數集與實數集之間存在一一對應關系，這是無窮集合的特性：本身可以與其真子集一一對應（盡管中學生不太清楚這一點），所以，無理數集也能與數軸上的點構成一一對應，選擇C、D都成立。這樣一來，題目又與單項選擇題“有且只有一項正確”矛盾。在這里既有錯解又有錯題，既有知識缺陷又有邏輯矛盾，但最根本的還是知識問題，由知識性錯誤導致命題的邏輯性錯誤。例2把一個邊長為1的正方形分割成面積相等的4部分，使得其中的一部分內存在3個點，以它們?yōu)轫旤c可以組成一個邊長大于1的等邊三角形，滿足上述性質的分割為()。A．不存在B.恰有一種C.有大于1的有限多種D.有無限多種解法1：假設存在邊長大于1的等邊三角形，則等邊三角形所在部分的面積大于，又4部分面積相等，其總和大于，超過了正方形的面積，這是不可能的，故選A。評析：從解答的書寫看，方向明確，推理嚴謹，應是無懈可擊的。但真正的答案卻為D。錯誤的原因是誤解題意了，題目只要求三角形的“頂點”屬于同一部分，并不要求三角形的全體屬于同一部分，甚至還不要求每一部分都是連通的。解法1默認了三角形的全體屬于同一部分，得出“等邊三角形所在部分的面積大于”不對。在性質上，首先是知識性錯誤，同時也有心理性錯誤。圖1解法2：如圖1，先在單位正方形ABCD內作一個等邊△PAB，然后分別以A、B為頂點作一個邊長為的正方形，再居中作一個包括點P的邊長為的正方形，以這三個陰影正方形組成的一部分，面積恰為。以正方形的中心O為旋轉中心，將陰影正方形旋轉180°得記號為S的正方形組成分割的第二部分。剩余部分亦保持中心對稱的特征，過O任作一條直線l平分剩余部分，這就把“正方形分割成面積相等的4部分”，在三個陰影正方形內可以分別取3點，使組成一個邊長大于1的等邊三角形。由直線l的任意性知，這樣的分割有無限多種，故選D。2.邏輯性錯誤邏輯性錯誤主要指由于違反邏輯規(guī)則所產生的推理上或論證上的錯誤。如虛假論據，不能推出，偷換概念，循環(huán)論證等，常常表現為四種命題的混淆，充要條件的錯亂，反證法反設不真等。核心是所進行的推理論證是否符合邏輯規(guī)則。知識性錯誤與邏輯性錯誤既有聯系又有區(qū)別。(1)知識性錯誤與邏輯性錯誤有聯系。由于數學知識與邏輯規(guī)則常常是相依共存的，從廣義上說，我們也不能把邏輯知識排除在數學知識之外，所以，邏輯性錯誤與知識性錯誤經常同時存在，從哪個角度進行分析取決于比重的大小與教學的需要。在上面的例子中我們已經看到，當我們說它有知識性錯誤時并不排除它也有邏輯性錯誤；同樣，當我們說它有邏輯性錯誤時也不排除它還有知識性錯誤。(2)知識性錯誤與邏輯性錯誤又有區(qū)別。知識性錯誤主要指涉及的命題是否符合事實（是否符合定義、法則、定理等），核心是命題的真假性；邏輯性錯誤主要指所進行的推理論證是否符合邏輯規(guī)則，核心是推理論證的有效性。雖然，數學命題的事實真假性與推理論證的邏輯有效性是有聯系的，但是數學畢竟不是邏輯，數學畢竟比邏輯大得多，我們依然應該在知識盲點的基本位置和主要趨勢上區(qū)分知識性錯誤與邏輯性錯誤。圖2圖3評析：這是1990年全國初中數學聯賽題（有課本的背景），一開始給出的答案正是B，相對于圖2沒有任何知識錯誤，但是這個結論默認了“點D在BC內”。如圖3，當“點D在BC外”時，則有∠BAC＜90°，后來答案改為D就對了。此處，由于默認“點D在BC內”得出了一個假命題，當然有知識性錯誤；分類不全又有邏輯性錯誤；而“默認”本身還可能有心理原因——潛在假設，但從錯誤的基本位置上看，主要還是分類不全造成的，吸取的主要教訓也應該是：注意三角形的垂足可以在邊上、也可以在邊的延長線上。例4在四邊形ABCD中，AB大于其余三邊，BC小于其余三邊，則∠BAD、∠BCD的關系為()。A.∠BAD＜∠BCDB.∠BAD=∠BCDC.∠BAD＞∠BCDD.不能確定圖4圖5解法2：如圖6，取一個平行四邊形ABCD，使△CBD為等腰直角三角形，作△CBD的外接圓O，以D為圓心、以DC為半徑，畫弧交AB延長線于E，圖6評析：解法1“默認四邊形為凸四邊形”，得出了一個假命題，有知識性錯誤，對四邊形分類不全又有邏輯性錯誤，而“默認”本身還可能有心理原因，但從錯誤的基本位置上看，主要還是對四邊形分類不全造成的，所找出的反例主要是考慮了四邊形的多種情況。3.策略性錯誤這主要指由于解題方向上的偏差，造成思維受阻或解題長度過大。對于考試而言，即使做對了，若費時費事，也會造成潛在丟分或隱含失分，存在策略性錯誤。在解題探求中，思維受阻或思路曲折是不可避免的，因而，探索階段的策略性錯誤是很難完全消除的。在“分析解題過程的操作”一文的例3中（已知凹四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠D=45°，求證AC=BD），解法1作了復雜的輔助線，用了眾多相等角以及相似、四點共圓、內心、勾股定理等大批知識，而解法2只用到一次全等，兩相比較，解法1的解題長度過大，存在解題方向上的偏差。例5三角形的內接正三角形有多少個？講解：《數學通訊》2000年第9期載文談“三角形內接正三角形的個數問題”，用了整整兩頁（兩三千字）的篇幅得出：內接正三角形有無數個。這個麻煩的解法，沒有把握住問題的本質，很容易中途出錯，反映了思路探求的曲折性。證明：如圖7，在△ABC的BA邊內取一點D，在BC邊內取一點E，以ED為邊作正△DEF，使F與B分居DE的兩側。連接BF交AC于C，過G作GH∥FD交BA于H，過G作GI∥FE交BC于I，則△GHI與正△FDE為位似三角形，從而△GHI為△ABC的內接正三角形。由點D、E選取的任意性知，這樣的正三角形有無窮個。圖7評析：從幾千字到只有一個位似作圖，是對策略性錯誤的糾正，反思是糾正策略性錯誤的一個好方法。4.心理性錯誤這主要指解題主體雖然具備了解決問題的必要知識與技能，但由于某些心理原因而產生的解題錯誤。如順序心理、滯留心理、潛在假設，以及看錯題、抄錯題、書寫丟三落四等。例6下面各行數字中，哪一行既含有某個整數的平方，又含有另一個整數的立方()。（單項選擇題）A.7,2,5,4,6B.3,8,6,9,7C.5,4,3,8,2D.9,5,7,3,6E.5,6,3,7,4解：在所出現的數字2，3，4，5，6，7，8，9中，只有8是整數的立方，4，9是整數的平方，故不含8的A、D、E首先可以排除。又C中4是2的平方，8是2的立方，“平方”“立方”都是2，與“含有某個整數的平方，又含有另一個整數的立方”不符，故選B.評析：這是美國主管入學考試出題部門(ETS)出的一道試題，預設答案正是B，但是命題者忘了，-2的平方也等于4.所以，選擇B、C都成立。這樣一來，題目又與單項選擇題“有且只有一項正確”矛盾。是命題專家缺少負數的知識嗎？是命題專家不知道-2的平方等于4嗎？最根本的恐怕還是心理原因造成潛在假設或丟三落四。例7如果時鐘上的時針、分針和秒針都是勻速地轉動，那么從3時整(3∶00)開始，在1分鐘的時間內，3根針中，出現一根針與另外兩根針所組成的角相等的情況有().A.1次B.2次C.3次D.4次［江蘇省第十九屆（2005年）初中一年級數學競賽題］講解：什么是“一根針與另兩根針所成的角相等”？從4個選項和答案定為D可以猜測，命題者把“一根針與另兩根針所成的角相等”看成“一根針平分另兩根針所成的角”。這是命題者的潛在假設。其實，當秒針與時針重合時，分針與這兩針的夾角也相等，因而出現一根針與另外兩根針所成角相等的情況有5次，這還沒考慮3時整的情況。不應認為命題專家缺少時鐘常識，主要還是心理上的潛在假設。二、錯誤分析的基本做法進行錯例分析的根本目的是改正錯誤，為了能有針對性地改正錯誤，當然要對錯誤的性質和原因弄清楚，要對改正的辦法和步驟想明白，同時，還應該對錯誤有一個積極的態(tài)度，不要一味看成是達到正確目標的攔路虎，錯誤是越過障礙、達到目標的必經階段，錯誤是接受洗禮、走向成熟的必要磨煉。沒有誰在真正的問題面前不是摸索前進、從不走彎路的。1.錯誤分析的應有態(tài)度(1)解題錯誤的產生總有其內在的合理性。解題分析首先要對合理成分作充分的理解，因為任何真正的認識都是以主體已有的知識經驗為基礎的主動建構，因此，盡管相應思想可能是錯誤的或幼稚的，但卻仍有一定的合理性，我們不應對此采取簡單否定的態(tài)度，而應作出認真的努力去理解錯誤的性質、產生的客觀原因，只有這樣，我們才有可能采取有針對性的適當措施去幫助學生，并最終實現改進的目的。(2)要通過反例或啟發(fā)等途徑暴露矛盾，引發(fā)當事者自，我反省。直接奉送正確答案的做法未必能達到預期的效果，畢竟學生不是一張可以任意涂上各種顏色的白紙，不是一個空的、可以直接塞進各種真理的容器。(3)要正面指出錯誤的地方，具體分析錯誤的性質。使得當事者不僅知道“最后結果”錯了，而且知道從哪一步開始出錯，是錯在知識上、邏輯上，還是心理上。籠統地歸結為知識不過關未必恰當，埋怨的情緒或過激的言辭更不可取。(4)盡可能直接在原解法的基礎上進行完善。作為對錯解的對比、補救或糾正，給出正確解法是絕對必要的，提供優(yōu)秀解法更好。但別忘了還要盡可能直接在原解法的基礎上進行完善，使學生體會并學會“怎樣改正錯誤”。2.案例分析例8若方程|x