計(jì)算機(jī)知識(shí)點(diǎn)第一章矢量分析

第一章矢量分析

1.1矢量代數(shù)1.2三種常用的正交曲線坐標(biāo)系1.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度1.4矢量場(chǎng)的通量與散度1.5矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋度1.6無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)1.7拉普拉斯運(yùn)算與格林定理1.8亥姆霍茲定理1.1矢量代數(shù)1.1.1標(biāo)量和矢量

標(biāo)量:只有大小而無(wú)方向的物理量(如電壓u，電荷Q，質(zhì)量m等)。

矢量：既有大小又有方向的物理量（如力、速度、電場(chǎng)強(qiáng)度E、磁場(chǎng)強(qiáng)度H等）。1.1.2單位矢量（1.1.1）（1.1.2）1.1.3矢量表示法A＝exAx＋eyAy

＋ezAz（1.1.3）（1.1.4）圖1.1.1矢量及其表示法

（1.1.6）（1.1.7）（1.1.8）令（1.1.5）1.1.4矢徑r＝exx＋eyy＋ezz（1.1.9）（1.1.10）（1.1.11）（1.1.12）（1.1.13）（1.1.14）題1:已知求：

題2:求點(diǎn)P′（－3，1，4）到點(diǎn)P（2，－2，3）的距離矢量R及R的單位矢量。1.1.5矢量的代數(shù)運(yùn)算1.矢量相等（1.2.1）2.矢量加法（1.2.2）交換律（1.2.3）結(jié)合律（1.2.4）3.矢量減法（1.2.5）（1.2.6）（1.2.7）4.矢量與標(biāo)量的乘積（1.2.9）5.矢量的標(biāo)量積（1.2.10）（1.2.11）（1.2.14）（1.2.15）A·B=AxBx+AyBy+AzBz

交換律分配律（1.2.12）（1.2.13）ex·ey=ey·ez=

ex·ez=0ex·ex=ey·ey=ez·ez=1（1.2.16）（1.2.17）（1.2.19）6.矢量的矢量積（1.2.20）（1.2.21）（1.2.24）（1.2.25）

圖1.2.5矢量積的圖示及右手螺旋

(a)矢量積(b)右手螺旋eeee

如果兩個(gè)不為零的矢量的叉積等于零，則這兩個(gè)矢量必然相互平行，或者說(shuō)，兩個(gè)相互平行矢量的叉積一定等于零。矢量的叉積不服從交換律，但服從分配律，即

A×B=-B×A

A×(B+C)=A×B+A×C

(分配律)

直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式：

ex×ey=ez,ey×ez=ex,ez×ex=eyex×ex=ey×ey=ez×ez=0

在直角坐標(biāo)系中，矢量的叉積還可以表示為

=ex(AyBz-AzBy)+ey(AzBx-AxBz)+ez(AxBy-AyBx)矢量的標(biāo)量積與矢量積之間的差別：

A·B=AxBx+AyBy+AzBz

A×B=ex(AyBz－AzBy)+ey(AzBx－AxBz)+ez(AxBy－AyBx)

標(biāo)量三重積A·（B×C）運(yùn)算：

A·（B×C）=B·（C

×A）＝

C·（A

×B）矢量三重積A×（B×C）運(yùn)算：

A×（B×C）=B（A

·C）－C

（A

·B）(A×B)×C=－C

×（A×

B）

=－A（C

·

B）＋B（C

·

A

）＝B（A

·C）－A

（B

·C）

三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過(guò)三條相互正交曲線的交點(diǎn)來(lái)確定。1.2三種常用的正交曲線坐標(biāo)系

在電磁場(chǎng)與電磁波波理論中，三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。

三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為正交曲線坐標(biāo)系；三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱為坐標(biāo)變量。1.直角坐標(biāo)系

位置矢量面元矢量線元矢量（位移元）體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量

點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標(biāo)系

x

yz直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元

odzdydx222.圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量（位移元）體積元面元矢量圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系（半平面）（圓柱面）（平面）3.球坐標(biāo)系坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量（位移元）體積元面元矢量球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元球坐標(biāo)系（半平面）（圓錐面）（球面）4.坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系

直角坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)系1.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度

如果在某一空間區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定的值，則稱在此區(qū)域內(nèi)確定了該物理量的一個(gè)場(chǎng)。標(biāo)量場(chǎng)：若該物理量是標(biāo)量，則該場(chǎng)稱為標(biāo)量場(chǎng)或標(biāo)量函數(shù)；矢量場(chǎng)：若該物理量是矢量，則該場(chǎng)稱為矢量場(chǎng)或矢量函數(shù)；靜態(tài)場(chǎng)：若該物理量與時(shí)間無(wú)關(guān)，則該場(chǎng)稱為靜態(tài)場(chǎng)；時(shí)變場(chǎng)：該物理量與時(shí)間有關(guān)，則該場(chǎng)稱為動(dòng)態(tài)場(chǎng)或稱為時(shí)變場(chǎng)；常數(shù)：若標(biāo)量場(chǎng)中各點(diǎn)標(biāo)量值的大小相同，則場(chǎng)中物理量是常數(shù)；常矢：若矢量場(chǎng)中各點(diǎn)矢量的大小和方向相同，則物理量是常矢。1.3.2標(biāo)量場(chǎng)與矢量場(chǎng)1.3.2標(biāo)量場(chǎng)的等值面

在研究物理系統(tǒng)中溫度、壓力、密度等在一定空間的分布狀態(tài)時(shí)，數(shù)學(xué)上只需用一個(gè)代數(shù)變量來(lái)描述，這些代數(shù)變量(即標(biāo)量函數(shù))所確定的場(chǎng)稱為標(biāo)量場(chǎng)，如溫度場(chǎng)T(x,y,z)、電位場(chǎng)φ(x,y,z)等。設(shè)在某空間區(qū)域定義了一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)（1.3.1）則標(biāo)量場(chǎng)u(x,y,z)的等值面方程為

標(biāo)量場(chǎng)u(x,y,z)的等值面有如下特點(diǎn):①等值面族(值不同,等值面不同);②標(biāo)量場(chǎng)的等值面族充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間;③標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交。（1.3.2）標(biāo)量場(chǎng)的等值面

例1.3.1

求標(biāo)量場(chǎng)u=(x+y)2-z通過(guò)點(diǎn)M(1,0,1)的等值面方程?；?/p>

解：點(diǎn)M的坐標(biāo)是xM=1,yM=0,zM=1，則該點(diǎn)的標(biāo)量場(chǎng)值為u=(xM+yM)2-zM=0。其等值面方程為1.3.3標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)Δl圖1.3.1方向?qū)?shù)的定義

PP′△l

設(shè)P是標(biāo)量場(chǎng)u=u(x，y，z)中的一個(gè)已知點(diǎn)，從P出發(fā)沿某一方向引一條射線l,在l上P的鄰近取一點(diǎn)P′

，PP′=Δl，如圖1.3.1所示。若當(dāng)

P′趨于P時(shí)(即Δl趨于零時(shí))，的極限存在，則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)P處沿l方向的方向?qū)?shù)，記為

從以上定義可知，方向?qū)?shù)是標(biāo)量場(chǎng)在點(diǎn)P處沿l方向?qū)嚯x的變化率。

標(biāo)量場(chǎng)沿l方向增加

標(biāo)量場(chǎng)沿l方向無(wú)變化

標(biāo)量場(chǎng)沿l方向減小

方向?qū)?shù)的定義是與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)的，但方向?qū)?shù)的具體計(jì)算公式與坐標(biāo)系有關(guān)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，在直角坐標(biāo)系中

設(shè)l方向的方向余弦cosα、cosβ、cosγ，即

則得到直角坐標(biāo)系中方向?qū)?shù)的計(jì)算公式為

該方向上的單位矢量為 （1.3.4）（1.3.5）

例1.3.2

求標(biāo)量場(chǎng)在點(diǎn)P(1,0,1)處沿l=ex+2ey+2ez方向的方向?qū)?shù)。解：1.3.4標(biāo)量場(chǎng)的梯度

標(biāo)量場(chǎng)u在點(diǎn)M處的梯度是一個(gè)矢量，它的方向沿場(chǎng)量u變化率最大的方向，大小等于其最大變化率，并記作gradu，即

（1.3.6）（1.3.7）（1.3.8）（1.3.9）在直角坐標(biāo)系中，梯度的表達(dá)式為梯度用哈密頓微分算子的表達(dá)式為（1.3.10）（1.3.11）標(biāo)量場(chǎng)的梯度具有以下特性：①標(biāo)量場(chǎng)u的梯度是個(gè)矢量場(chǎng)，通常稱▽u為標(biāo)量場(chǎng)所產(chǎn)生的梯度場(chǎng)；②標(biāo)量場(chǎng)u中每一點(diǎn)的梯度，垂直于過(guò)該點(diǎn)的等值面，且指向u增加的方向。從右圖可見物理量從P點(diǎn)沿l2方向比l1方向的變化率大;③標(biāo)量場(chǎng)u中，在給定點(diǎn)沿任意方向l的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影。

1.3.5梯度的基本公式（1.3.13）（1.3.14）（1.3.15）（1.3.16）（1.3.17）

例1.3.3

已知證明

其中：表示對(duì)的x、y、z的運(yùn)算，

解

：（1）將代入梯度表達(dá)式，得（2）將代入梯度表達(dá)式，得1.4矢量場(chǎng)的通量與散度圖矢量場(chǎng)的矢量線

1.4.1矢量場(chǎng)的矢量線和通量1、矢量場(chǎng)的矢量線對(duì)于矢量場(chǎng)F（r），可用一些有向曲線來(lái)形象地描述矢量在空間的分布，這些有向曲線稱為矢量線。矢量線的疏密表征矢量場(chǎng)的大小,矢量線上每點(diǎn)的切向代表該處矢量場(chǎng)的方向，如圖右所示。

2、矢量場(chǎng)的通量

將曲面的一個(gè)面元用矢量dS來(lái)表示，其方向取為面元的法線方向，其大小為dS，即en是面元法線方向的單位矢量。

en的指向有兩種情況：對(duì)開曲面上的面元，設(shè)這個(gè)開曲面是由封閉曲線l所圍成的，則選定繞行l(wèi)的方向后，沿繞行方向按右手螺旋的拇指方向就是en的方向，如圖1.4.1(a)所示；另一種情形是

dS為閉合曲面上的一個(gè)面元，則一般取en的方向?yàn)殚]曲面的外法線方向，如圖1.4.1(b)

。圖1.4.1法線方向的取法

將曲面S各面元上的A·dS相加，它表示矢量場(chǎng)A穿過(guò)整個(gè)曲面S的通量，也稱為矢量A在曲面S上的面積分：如果曲面是一個(gè)封閉曲面，則

正通量源負(fù)通量源無(wú)通量源1.4.2矢量場(chǎng)的散度

稱此極限為矢量場(chǎng)A在某點(diǎn)的散度，記為divA，即散度的定義式為

由散度的定義可知，divA表示在點(diǎn)P處的單位體積內(nèi)散發(fā)出來(lái)的矢量A的通量，所以divA描述了通量源的密度。簡(jiǎn)單說(shuō)，散度為單位體積的通量。（1.4.3）1.4.3散度定理

矢量場(chǎng)F的散度在體積V上的積分等于矢量場(chǎng)F在限定該體積的閉合面S上的面積分，是矢量散度的體積分與該矢量閉合曲面積分之間的變換關(guān)系。例題1.4.2（P20）1.5矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度

矢量場(chǎng)A沿場(chǎng)中的一條閉合路徑l的曲線積分，即

1.5.1矢量場(chǎng)的環(huán)量

稱為矢量場(chǎng)A沿閉合路徑l的環(huán)量。其中dl是路徑上的線元矢量，其大小為

dl

、方向沿路徑l的切線方向，如圖1.5.1所示。（1.5.1）環(huán)流面密度：

1.5.2矢量場(chǎng)的旋度

（1.5.2）

已知給定矢量場(chǎng)A，若空間某給定點(diǎn)P處存在這樣一個(gè)矢量，它的大小等于該點(diǎn)最大的環(huán)量密度，它的方向?yàn)槿樽畲蟓h(huán)量密度的那塊小面積△V的法線方向，則這個(gè)矢量稱為矢量A在P點(diǎn)的旋度，記為