2017屆湖北省孝感市高三上學期第一次統(tǒng)一考試數(shù)學（理）試題

2017屆湖北省孝感市高三上學期第一次統(tǒng)一考試數(shù)學（理）試題數(shù)學（理）試題第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數(shù)滿足，則在復平面內(nèi)表示復數(shù)的點位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限2.函數(shù)的定義域是（）A．B．C．D．3.若，則（）A．B．1C．D．4.已知雙曲線的離心率等于，且點在雙曲線上，則雙曲線的方程為（）A．B．C.D．5.某程序框圖如圖所示，若輸入輸出的分別為3和1,則在圖中空白的判斷框中應填入的條件可以為（）A．B．C.D．6.設，則的大小關系為（）A．B．C.D．7.一個樣本容量為8的樣本數(shù)據(jù)，它們按一定順序排列可以構成一個公差不為0的等差數(shù)列，若，且成等比數(shù)列，則此樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．6B．7C.8D．98.若曲線的一條切線為，其中為正實數(shù)，則的取值范圍是（）A．B．C.D．9.已知二項式的展開式中的系數(shù)為，則的值為（）A．B．C.D．10.將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，所得圖象關于對稱，則的最小值為（）A．B．C.D．11.記不等式組表示的平面區(qū)域為，過區(qū)域中任意一點作圓的兩條切線，切點分別為，則的最大值為（）A．B．C.D．12.定義域在上的奇函數(shù)，當時，，則關于的方程所有根之和為，則實數(shù)的值為（）A．B．C.D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知兩向量與滿足，且，則與的夾角為．14.《九章算術》中有一個“兩鼠穿墻”問題：“今有垣(墻，讀音)厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日（第一天）一尺，小鼠也日（第一天）一尺.大鼠日自倍（以后每天加倍）,小鼠日自半（以后每天減半）.問何日相逢，各穿幾何？”在兩鼠“相逢”時，大鼠與小鼠“穿墻”的“進度”之比是：．15.在銳角中，已知，其面積，則的外接圓面積為．16.設為數(shù)列的前項和，且滿足，則；．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.（本小題滿分12分）設正項等比數(shù)列的前項和為，且滿足，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設數(shù)列，求的前項和.18.（本小題滿分12分）某用“10分制”調(diào)查本校學生對教師教學的滿意度，現(xiàn)從學生中隨機抽取16名，以下莖葉圖記錄了他們對該校教師教學滿意度的分數(shù)(以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉)：（Ⅰ）若教學滿意度不低于9.5分，則稱該生對教師的教學滿意度為“極滿意”.求從這16人中隨機選取3人，至少有1人是“極滿意”的概率；（Ⅱ）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個的總體數(shù)據(jù)，若從該校所有學生中(學生人數(shù)很多)任選3人，記表示抽到“極滿意”的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望.19.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐的底面為直角梯形，，平面底面，為的中點，為正三角形，是棱上的一點(異于端點).（Ⅰ）若為中點，求證：平面；（Ⅱ）是否存在點，使二面角的大小為30°.若存在，求出點的位置；若不存在，說明理由.20.（本小題滿分12分）橢圓的左、右焦點分別為，離心率，過作軸垂直的直線交橢圓于兩點，的面積為3,拋物線以橢圓的右焦點為焦點.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）如圖，點為拋物線的準線上一點，過點作軸的垂線交拋物線于點，連接并延長交拋物線于點，求證：直線過定點.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（Ⅰ）若函數(shù)在處取得極值，求實數(shù)的值；（Ⅱ）在(Ⅰ)的條件下，函數(shù)(其中為函數(shù)的導數(shù))的圖像關于直線對稱，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）在(Ⅱ)的條件下，若對任意的，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，圓的極坐標方程為：.（Ⅰ）將極坐標方程化為普通方程；（Ⅱ）若點在圓上，求的取值范圍.23.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（Ⅰ）解方程；（Ⅱ）若關于的不等式解集為空集，求實數(shù)的取值范圍.試卷答案一、選擇題1-5:DBADA6-10:ACCBB11、12：DB二、填空題13.120°14.59:2615.16.三、解答題17.（Ⅰ）設正項等比數(shù)列的公比為，則由已知有，即∴故或（舍）∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知：故當時，∴當時，當時，18.（Ⅰ）設表示所取得人中有個人是“極滿意”，至少有一人是“極滿意”記為事件，則（Ⅱ）的可能取值為0，1，2，3，由已知得∴∴的分布列為：19.(Ⅰ)證明：如圖，連接交與點，連接由題意知且，故四邊形為平行四邊形∴為中點∴在中，又由為中點有：又面，面∴平面（Ⅱ）連接，則由題意易知平面故以為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，則設，則∴記平面的法向量，平面的法向量，則由有令可得又由有，即故存在點滿足，且為棱上靠近端點的四等分點（其它方法酌情給分）20.（Ⅰ）設，由有∴橢圓的方稱為：令，代入的方程有：∴∴，故，即∴拋物線的方稱為：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，則直線的方稱為，代入拋物線的方程有：當時，∴直線的方程為：，即∴此時直線過定點當時，直線的方稱為：，此時仍過點即證直線過定點21.由有

因為在處取得極值，故∴

經(jīng)檢驗：當時，符合題意，故

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：∵的圖像關于直線對稱，故函數(shù)為偶函數(shù)

又∴，解得∴∴

令有或

令有或

∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

在區(qū)間上單調(diào)遞減

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，對任意的，都有恒成立可轉(zhuǎn)化為在上恒成立

易