2022湖南省婁底市高三上學期期末教學質量檢測數(shù)學試題（解析版）

2022屆湖南省婁底市高三上學期期末教學質量檢測數(shù)學試題一、單選題1．集合，，則（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】解方程組，結合交集的定義可得結果.【詳解】聯(lián)立，解得，則，故選：C．2．已知，，若向量，共線，且，則實數(shù)的取值為（

）．A．1 B． C．3 D．【答案】B【分析】由向量，共線，即可求出實數(shù)的值.【詳解】因為向量，共線，所以，所以或，因為，所以實數(shù)的取值為．故選：B.3．復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（

）．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】由復數(shù)乘法法則計算出，然后可得其對應點的坐標，得所在象限．【詳解】∵，∴z在復平面內(nèi)對應的點為，位于第一象限．故選：A．4．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)函數(shù)奇偶性排除D，再結合排除BC得答案.【詳解】解：因為函數(shù)，所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖像關于y軸對稱，所以排除D，又，排除B，C，故選：A.5．若，則（

）．A．9 B． C．405 D．【答案】C【分析】寫出二項式展開式的通項公式，根據(jù)為第三項的系數(shù)，即可求得答案.【詳解】因為，所以,故選：C.6．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若在上單調(diào)遞減，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得，由可求得，結合函數(shù)的單調(diào)性可得出關于的不等式，由此可得出的最大值.【詳解】將的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象.因為，所以，因為在上單調(diào)遞減，所以，，所以的最大值為.故選：B.7．已知雙曲線的左焦點為，M為C右支上任意一點，D的坐標為，則的最大值為（

）．A．3 B．1 C． D．【答案】D【分析】，計算即可求得結果.【詳解】雙曲線的實半軸長為，右焦點為，所以，當且僅當M，，D三點共線時取等號．故選：D.8．若，，，則a，b，c的大小關系為（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】利用對數(shù)運算的性質將化簡為，從而和c比較大小，同理比較a,c的大小關系，再根據(jù)兩個指數(shù)冪的大小結合對數(shù)的運算性質可比較a,b大小，即可得答案.【詳解】由題意：，，故．又，即，所以，即，因為，所以．因為，故，即，所以，所以，所以，所以，故選：B.二、多選題9．2017年3月，由國家信息中心“一帶一路”大數(shù)據(jù)中心等編寫的《“一帶一路”貿(mào)易合作大數(shù)據(jù)報告（2017）》發(fā)布，呈現(xiàn)了我國與“一帶一路”沿線國家的貿(mào)易成果現(xiàn)狀報告．貿(mào)易順差額=貿(mào)易出口額-貿(mào)易進口額．由數(shù)據(jù)分析可知，在2011年到2016年這六年中（

）．中國與“一帶一路”沿線國家出口額和進口額（億美元）A．2016年中國與沿線國家貿(mào)易進口額最小B．中國與沿線國家貿(mào)易進口額的中位數(shù)為4492億美元C．中國與沿線國家貿(mào)易出口額逐年遞增D．中國與沿線國家貿(mào)易順差額逐年遞增【答案】AB【分析】每一個選項根據(jù)題中的信息進行分析即可判斷.【詳解】對于A，2011年中國與沿線國家貿(mào)易出口額最小，進口額最小的是2016年，所以A正確；對于B，由已知圖中的數(shù)據(jù)可得進口額的中位數(shù)為4492，B正確；對于C，2014年到2016年的出口額為6370.4，6145.8，5874.8，所以C錯誤；對于D，又2011年至2016年的貿(mào)易順差額依次為：142.9，428.6，976.8，1536.8，2262.4，2213.7，2016年開始下降，所以D錯誤．故選：AB10．已知數(shù)列滿足，，為數(shù)列的前n項和，則（

）．A．B．是關于n的單調(diào)遞增數(shù)列C．可以取到的任意一個值D．若對一切正整數(shù)n都成立，則【答案】BD【分析】令時，可得，利用與的關系，可求，根據(jù)裂項求和可得，從而可判斷選項BCD.【詳解】當時，，即，當時，，所以，當時，，也滿足，所以，所以A不正確；，故，因為關于n為單調(diào)遞增，所以B正確；所以，但n只能取正整數(shù)，所以不可以取到的任意一個值，所以C不正確；若對一切正整數(shù)n都成立，則，所以D正確．故選：BD11．在三棱錐中，已知，，，平面平面ABC，且，則（

）．A．B．平面平面ABCC．三棱錐的體積為D．三棱錐的外接球的表面積為【答案】ABC【分析】通過證明平面來判斷AB選項的正確性；通過計算三棱錐的體積來判斷C選項的正確性；求出三棱錐的外接球的表面積來判斷D選項的正確性.【詳解】因為，，所以，所以，過D作于E．因為平面平面ABC，平面平面，所以平面ABC，所以，假設DB，DE不重合，因為，所以平面DBC，所以，這樣與矛盾，所以假設不成立，所以DB，DE重合，即平面ABC，所以，由于平面，所以平面平面ABC，所以A，B正確；三棱錐的體積為，所以C正確；設三角形ABC的外心為F，外接圓半徑為，過F作平面ABC，設O為外接球的球心，則，，所以，所以，解得，所以外接球的半徑為，所以三棱錐的外接球的表面積為，所以D不正確．故選：ABC12．已知函數(shù)，若關于x的方程有3個不同的實數(shù)根，則t的取值可以為（

）．A． B． C． D．3【答案】AB【分析】先借助導數(shù)方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，進而作出圖象，然后設，問題轉化為討論方程根的個數(shù)，最后求得答案.【詳解】當時，，單調(diào)遞減，當時，，，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以在時，取得最小值，，畫出的圖象，令，則方程為，要想方程有3個不同的實數(shù)根，結合的圖象可知需要滿足：有兩個不同的實數(shù)根，，滿足：且或滿足：且.令，則，即，當時，另外一個根為，不符合且；當且時，必須，所以.綜上，．故選：AB．【點睛】本題的破解點在于設，這樣問題可以轉化為一元二次方程根的分布問題，結合函數(shù)的圖象解決問題.三、填空題13．已知a，b為正實數(shù)，且，則的最小值為______．【答案】6【分析】利用已知化簡可得，根據(jù)基本不等式計算即可.【詳解】由已知條件得，，當且僅當，即，時取等號．故答案為：6.14．已知拋物線的焦點為F，拋物線上的點到焦點的距離，則點M的坐標為______．【答案】【分析】由拋物線的定義求出p，進而求出點的坐標.【詳解】點F的坐標為，拋物線的準線方程為，由拋物線的定義可得，所以．所以拋物線方程為，將代入方程，可得（負值舍去），所以點M坐標為．故答案為：.15．設分別為邊長為2的的三邊的中點，從這6個點中任意取出三個不共線的點，則這三點構成的三角形面積為的概率為______．【答案】【分析】運用組合相關知識計算得到全部三角形的個數(shù)，再算出滿足題意的三角形個數(shù)，即可計算出概率.【詳解】任選三個點組合，減去三種共線的情況，得到全部三角形個數(shù)為個.邊長為2的面積為，所以三角形面積為為一個小三角形的面積，有;,共10個.所以三角形的面積為的概率為．故答案為：16．若四棱錐的各頂點都在同一個球O的表面上，底面ABCD，，，，，則球O的體積為______．【答案】【分析】設球心O到平面ABCD的距離為h，AD，BC的中點分別為F，E，由已知條件得，四邊形ABCD所在的截面圓的圓心G必在線段EF的延長線上，平面，然后由直角三角形、直角梯形中求得球半徑，得球體積．【詳解】設球心O到平面ABCD的距離為h，AD，BC的中點分別為F，E，由已知條件得，四邊形ABCD所在的截面圓的圓心G必在線段EF的延長線上，平面，，因為，所以，所以，解得，，因為，所以，因為，所以，所以球O的半徑為，所以球O的體積為．故答案為：．四、解答題17．在等差數(shù)列中，已知，是一元二次方程的兩個根．(1)求，；(2)求的通項公式．【答案】(1)，或，(2)或【分析】（1）求出方程的根即可.（2）由（1）可解出等差數(shù)列的公差即可.(1)因為，所以或14，所以，；或，．(2)設公差為d，若，，得，所以通項公式為；若，，則，所以通項公式為．故的通項公式：或.18．在中，已知，．(1)若，求的面積；(2)若，求的周長．（參考數(shù)據(jù)：．）【答案】(1)(2)【分析】（1）首先利用正弦定理得到，再利用面積公式求解即可.（2）首先設，，利用余弦定理得到，再求周長即可.(1)在中，由正弦定理得，，所以，所以三角形面積為.(2)因為，所以可設，，在中，由余弦定理得，，因為，，所以，解得，所以三角形的周長為．19．某機構對于某地區(qū)的戶家庭中的年可支配收入的調(diào)查中，獲得如下的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：的家庭將年可支配收入購買銀行結構性存款，的家庭將年可支配收入存入銀行，其余家庭將年可支配收入用于風險投資．又已知銀行結構性存款獲得的年收益率為的概率為，獲得的年收益率為的概率為，存入銀行的年收益率為，風險投資的平均收益率為，以下把頻率當概率．假設該地區(qū)的每個家庭的年可支配收入為萬元．(1)求家庭的可支配收入不存入銀行的概率；(2)設年可支配收入為萬元獲得的年收益為，求的分布列和數(shù)學期望．【答案】(1)；(2)分布列見解析，（萬元）.【分析】（1）利用對立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）計算出隨機變量的可能取值，列舉出隨機變量的分布列，進一步可計算得出的值.(1)解：由已知得，家庭的可支配收入不存入銀行的概率為.(2)解：由已知得，的值分別為，，，所以的分布列為：所以數(shù)學期望為（萬元）．20．如圖，在長方體中，，．若平面APSB與棱，分別交于點P，S，且，Q，R分別為棱，BC上的點，且．(1)求證：平面平面；(2)設平面APSB與平面所成銳二面角為，探究：是否成立？請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)成立，理由見解析【分析】（1）由已知及正方體性質先證線面垂直，再證面面垂直.（2）建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求二面角對應兩平面的法向量，進而可以判斷是否成立.(1)在長方體中，因為平面，平面，所以，在和中，因為，,，所以，,所以，因為，所以平面，因為平面，所以平面．(2)以D為坐標原點，射線DA，DC，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，，，，所以，，設平面的法向量為，所以，不妨設，其中，由（1）得，平面的法向量為，因為，，所以，則，若，則，解得，因為，所以成立．21．已知橢圓C的標準方程為，右焦點為F，離心率為，橢圓C上一點為．直線AB的方程為，交橢圓C于A，B兩點，M為AB中點．(1)求橢圓C的標準方程；(2)過F且與AB垂直的直線與直線OM交于P點，過O點作一條與AB平行的直線l，過F作與MO垂直的直線m，設，求證：直線軸．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)離心率為，橢圓C上一點為這兩個條件即可求橢圓的標準方程；（2）根據(jù)平行或垂直關系求出相關直線，再根據(jù)直線的聯(lián)立分別求出點的橫坐標即可證明.(1)依題意得，解得，所以橢圓C的方程為．(2)聯(lián)立橢圓C的方程，與直線AB的方程，消去y得，，設，，得，，設，所以，，所以直線MO的斜率為，MO的方程為，F(xiàn)的坐標為，過F且與AB垂直的直線方程為，由與聯(lián)立消去y得，P點的橫坐標為4，直線m的方程為，直線l的方程為，由與聯(lián)立消去y得，Q點的橫坐標也為4，所以直線軸．22．已知函數(shù)．(1)證明：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的極大值點；(2)判斷函數(shù)在上的極值點的個數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)證明見解析(2)2個【分析】（1）求出導函數(shù)，確定在給定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，由零點存在定理得唯一零點，從而可得證結論；（2）對，在上，恒成立，無極值點，在上，設，再求導，由零點存在定理得存在唯一零點，然后確定，即的正負、零點，得函數(shù)的單調(diào)性、極值點．(1)因為，所以，因為時，，分別單調(diào)遞減，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，因為，所以，因為，所以，根據(jù)零點存在定理可得，存在唯一零點，使得，所以當時，，當，，即在上遞增