等腰三角形的性質(zhì)定理

等腰三角形的性質(zhì)定理第1頁/共24頁將一把三角尺和一個重錘如圖放置，就能檢查一根橫梁是否水平.你知道為什么嗎？第2頁/共24頁1知識點等邊對等角任意畫一個等腰三角形，通過折疊、測量等方式，探索它的內(nèi)角之間有什么關(guān)系.你發(fā)現(xiàn)了什么？(請與你的同伴交流）知1－導(dǎo)問

題第3頁/共24頁

已知:在△ABC中，AB=AC求證:∠C=∠BACBD“等腰三角形的兩個底角相等”

探究新知第4頁/共24頁ACB已知：如圖，?ABC中，AB=AC求證：∠C=∠BD證明：如圖，作?ABC的角平分線ADAB=AC(已知）

∠BAD=∠CAD（角平分線的定義）

AD=AD(公共邊）∴?ABD≌?ACD

∴∠B=∠C（全等三角形對應(yīng)角相等）∵(SAS)在?ABD和?ACD中等腰三角形的兩個底角相等第5頁/共24頁

等腰三角形的性質(zhì)定理1等腰三角形的兩個底角相等.也可以說成“在同一個三角形中,等邊對等角”用符號語言可表示為：在△ABC中∵

AB=AC∴∠B=∠CACB運用等腰三角形性質(zhì)定理可以進行簡單的計算、推理、判斷、……..第6頁/共24頁

（2）等腰三角形的一個底角是70°，則其頂角是_________________

（3）如果等腰三角形的一個內(nèi)角等于70°那么它的底角度數(shù)____________.（1）

如圖，在△ABC中，AB=AC，外角∠ACD=100°，則∠B=______

ABCD100°（4）如果等腰三角形中一個角是另一個角的兩倍，那么它的底角是__________度小結(jié)：當(dāng)?shù)妊切沃杏觥敖恰钡挠嬎銌栴}，需對各種可能的情況分類討論80°40°70°或55o72或45°試一試第7頁/共24頁ACB

推論

等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60o

解：∵△ABC是等邊三角形∴AB=BC=AC∴∠C=∠A=∠B（同一個三角形中等邊對等角）

推論也可以和定理、定義、性質(zhì)、基本事實一樣作為推理、論證的依據(jù)

∴∠A=∠B=∠C=180o÷3=60°如何求等邊三角形ABC的內(nèi)角度數(shù)？∵∠A+∠B+∠C=180°再探新知第8頁/共24頁求證:等腰三角形兩底角的平分線相等.如圖,在△ABC中，AB=AC,BD和CE是△ABC的兩條角平分線.求證:BD=CE.知1－講導(dǎo)引：【例1】

要證明BD=CE,只需證明△BCE≌△CBD(或ABD≌△ACE）因為BC是△BCE和△CBD的公共邊，所以只需證明∠ABC=∠ACB，∠BCE=∠CBD.這可由已知AB=AC，BD和CE是△ABC的兩條角平分線得到.（來自《教材》）第9頁/共24頁知1－講上述從所求出發(fā)的分析思路可以簡明地表示成下圖第10頁/共24頁知1－講證明：如圖.∵

AB=AC(已知），∴

∠ABC=∠ACB(等腰三角形的兩個底角相等).∵BD，CE分別是∠ABC，∠ACB的平分線，∴∠CBD=∠ABC，∠BCE=∠ACB(角平分線的定義），∴∠CBD=∠BCE.又∵BC=CB(公共邊），∴△BCE≌△CBD(ASA).∴BD=CE. (全等三角形的對應(yīng)邊相等）.第11頁/共24頁“等腰三角形兩腰上的中線_____”“等腰三角形兩腰上的高線_____”“等腰三角形兩底角的平分線相等嗎”？相等相等∟∟再回首第12頁/共24頁如圖，在ΔABC中，AB=AC，P為BC的中點，

點D,E分別在AB,AC上，AD=AE求證：PD=PE.ABCPDE小結(jié)：等腰三角形的性質(zhì)定理------兩個底角相等（或等邊對等角）為兩個角相等又增加了一種證明方法強化新知第13頁/共24頁等腰三角形的主要特征②從角看-------------①從邊看----------③從“三線”看-----------④從整體看---------分類思想--------在解決等腰三角形問題中有著重要的作用總結(jié)反思兩邊相等兩個底角相等兩腰上的中線相等兩腰上的高線相等兩底角平分線相等是軸對稱圖形第14頁/共24頁

新知提升（1）已知等腰三角形ABC中，∠A=70°求∠B的度數(shù)第15頁/共24頁ABCF

（2）已知△ABC中，AB=AC,且BC=BF=AF求∠A的度數(shù)13解：∵BF=AFBF=BC2∵∠3+∠2+∠C=180°

∵AB=AC

∴∠1=∠A∠2=∠C

∴∠ABC=∠C∴α+2α+2α=180°設(shè)∠A=α則∠1=α

∴∠2=∠1+∠A=2α

∠3=2α-α=α∴∠A=α=36°

∠C=∠ABC=2α

（等邊對等角）（等邊對等角）第16頁/共24頁ABCABCABCFF(1)FA=FB

BC=BF

(2)FA=FB

CB=CF(3)FA=FB

FB=FCF結(jié)論：∠A=36°∠A=αα2α2α3αα2α2ααα（3）從等腰三角形紙片的底角頂點出發(fā)，將其剪成兩個等腰三角形，求原等腰三角形紙片的頂角度數(shù)5α=180°7α=180°頂角提示：等腰三角形，遇到邊不確定時要分類討論第17頁/共24頁問題延伸2：從等腰三角形紙片的頂點出發(fā)，將其剪成兩個等腰三角形，求出此等腰三角形紙片的頂角度數(shù)課后再思考：第18頁/共24頁ABC（2）在△ABC中，AB=AC，AB的中垂線與AC所在的直線相交所得的銳角是42°，求∠BEFABCEF∠B=66°∠B=24°在沒有明確等腰三角形的具體形狀時，我們要考慮頂角是銳角，直角或鈍角的情形。42°42°等腰三角形的頂角的外角等于底角的2倍知識提升二：第19頁/共24頁請你判斷ABCDE

(1)

如

圖（1），若AD=AE,則∠C=∠B

（）

(2)如圖（2），若AE=EC，則BE平分∠ABC(

)ABCE（1）（2）××

“等邊對等角”是指“在同一個三角形中，相等的邊所對的角相等”(3)如圖（3)在△ABC中，BC=BA,則∠A=∠C（）√（3）CAB第20頁/共24頁

將一把等腰三角尺和一個重錘如圖１放置，就能檢查一根講臺邊沿是否水平，你知道為什么嗎？請你思考第21頁/共24頁等腰三角形一條腰上的高與另一條腰的夾角是50°，試求出它頂角的度數(shù)挑戰(zhàn)自己：提示：等腰三角形遇“高線”問題中，要考慮高線在三角形內(nèi)部和外部兩種情形。50°50°頂角140°頂角是40°第22頁/共24頁幫你歸納1）等腰三角形一個性質(zhì)定理