最基礎(chǔ)最全張量分析

最基礎(chǔ)最全張量分析第1頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六i—指標(biāo)——取值范圍為小于或等于n的所有正整數(shù)n—維數(shù)

數(shù)變量指標(biāo)符號(hào)第2頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六一、求和約定和啞指標(biāo)

§A-1指標(biāo)符號(hào)A張量分析約定求和指標(biāo)與所用的字母無(wú)關(guān)指標(biāo)重復(fù)只能一次指標(biāo)范圍用拉丁字母表示3維，希臘字母表2維第3頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六§A-1指標(biāo)符號(hào)代表27項(xiàng)的和式一、求和約定和啞指標(biāo)

雙重求和第4頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、自由指標(biāo)

筒寫為

j——啞指標(biāo)i——自由指標(biāo)，在每一項(xiàng)中只出現(xiàn)一次，一個(gè)公式中必須相同§A-1指標(biāo)符號(hào)第5頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六三、Kronecker-符號(hào)和置換符號(hào)(Ricci符號(hào))Kronecker-符號(hào)定義§A-1指標(biāo)符號(hào)第6頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六三、Kronecker-符號(hào)和置換符號(hào)(Ricci符號(hào))Kronecker-符號(hào)定義§A-1指標(biāo)符號(hào)第7頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六直角坐標(biāo)系的基矢量

第8頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六三、Kronecker-符號(hào)和置換符號(hào)(Ricci符號(hào))Ricci符號(hào)定義§A-1指標(biāo)符號(hào)偶次置換奇次置換第9頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六三、Kronecker-符號(hào)和置換符號(hào)(Ricci符號(hào))Ricci符號(hào)定義§A-1指標(biāo)符號(hào)第10頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第11頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第12頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六Kronecker-和Ricci符號(hào)的關(guān)系第13頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六§A-2矢量的基本運(yùn)算

在三維空間中,任意矢量都可以表示為三個(gè)基矢量的線性組合

ai為矢量a在基矢量ei下的分解系數(shù),也稱矢量的分量

一、矢量點(diǎn)積

A張量分析第14頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六§A-2矢量的基本運(yùn)算

一、矢量點(diǎn)積

二、矢量叉積

A張量分析第15頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六§A-2矢量的基本運(yùn)算

二、矢量叉積

A張量分析證明第16頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六§A-2矢量的基本運(yùn)算

二、矢量叉積

A張量分析第17頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六三、矢量的混合積

§A-2矢量的基本運(yùn)算

Ricci符號(hào)A張量分析第18頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六四、矢量的并乘(并矢)

§A-2矢量的基本運(yùn)算

A張量分析并乘第19頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六§A-3

坐標(biāo)變換與張量的定義

A張量分析第20頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六坐標(biāo)變換式§A-3

坐標(biāo)變換與張量的定義

A張量分析第21頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六互逆、正交矩陣基矢量變換式任意向量變換式A張量分析§A-3

坐標(biāo)變換與張量的定義

坐標(biāo)變換系數(shù)第22頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六張量的定義——在坐標(biāo)系變換時(shí),滿足如下變換關(guān)系的量稱為張量

張量的階——自由指標(biāo)的數(shù)目不變性記法

A張量分析§A-3

坐標(biāo)變換與張量的定義

第23頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六一、加(減)法

二、矢量與張量的點(diǎn)積(點(diǎn)乘)

左點(diǎn)乘

A張量分析§A-3

坐標(biāo)變換與張量的定義

矢量與張量點(diǎn)乘的結(jié)果仍為張量,新張量b比原張量T的階數(shù)降低一階

第24頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六§A-4

張量的代數(shù)運(yùn)算

右點(diǎn)乘

對(duì)稱張量?jī)烧卟畔嗟華張量分析第25頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六三、矢量與張量的叉積

§A-4

張量的代數(shù)運(yùn)算

左叉乘

A張量分析矢量與張量叉乘的結(jié)果仍為張量,新張量與原張量同階

第26頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六右叉乘

三、矢量與張量的叉積

§A-4

張量的代數(shù)運(yùn)算

A張量分析第27頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六四、兩個(gè)張量的點(diǎn)積

§A-4

張量的代數(shù)運(yùn)算

A張量分析兩個(gè)張量點(diǎn)積的結(jié)果仍為張量。新張量的階數(shù)是原兩個(gè)張量的階數(shù)之和減

2

兩個(gè)二階張量點(diǎn)積的結(jié)果為一個(gè)新的二階張量,這相當(dāng)于矩陣相乘

第28頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六五、張量的雙點(diǎn)積

§A-4

張量的代數(shù)運(yùn)算

A張量分析兩個(gè)張量點(diǎn)積的結(jié)果仍為張量。新張量的階數(shù)是原兩個(gè)張量的階數(shù)之和減4

第29頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六六、張量的雙叉乘§A-4

張量的代數(shù)運(yùn)算

A張量分析第30頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六七、張量的縮并§A-4

張量的代數(shù)運(yùn)算

A張量分析在張量的不變性記法中,將某兩個(gè)基矢量點(diǎn)乘,其結(jié)果是一個(gè)較原張量低二階的新張量,這種運(yùn)算稱為縮并

第31頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六八、指標(biāo)置換§A-4

張量的代數(shù)運(yùn)算

A張量分析若對(duì)該張量的分量中任意兩個(gè)指標(biāo)交換次序,得到一個(gè)與原張量同階的新張量

第32頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六九、對(duì)稱化和反對(duì)稱化§A-4

張量的代數(shù)運(yùn)算

A張量分析若張量的任意兩個(gè)指標(biāo)經(jīng)置換后所得的張量與原張量相同,則稱該張量關(guān)于這兩個(gè)指標(biāo)為對(duì)稱,若與原張量相差一符號(hào),則稱該張量關(guān)于這兩個(gè)指標(biāo)為反稱。有6個(gè)獨(dú)立分量

有3個(gè)獨(dú)立分量

第33頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六九、對(duì)稱化和反對(duì)稱化§A-4

張量的代數(shù)運(yùn)算

A張量分析

對(duì)稱化：對(duì)已知張量的N個(gè)指標(biāo)進(jìn)行N!次不同的置換,并取所得的N!個(gè)新張量的算術(shù)平均值的運(yùn)算。其結(jié)果張量關(guān)于參與置換的指標(biāo)為對(duì)稱。將指標(biāo)放在圓括弧內(nèi)表示對(duì)稱化運(yùn)算。第34頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六九、對(duì)稱化和反對(duì)稱化§A-4

張量的代數(shù)運(yùn)算

A張量分析

反稱化:

對(duì)已知張量的N個(gè)指標(biāo)進(jìn)行N!次不同的置換,并將其中指標(biāo)經(jīng)過(guò)奇次置換的新張量取反號(hào),再求算術(shù)平均值,這種運(yùn)算稱張量的反稱化,其結(jié)果張量關(guān)于參與置換的指標(biāo)為反稱。將指標(biāo)放在方括弧內(nèi)表示反稱運(yùn)算。

第35頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六十、商法則若在某坐標(biāo)系中按某規(guī)律給出33=27個(gè)數(shù)A(ijk),且A(ijk)bk=Cij,其中bk

是與A(ijk)無(wú)關(guān)的任意矢量,

Cij是張量,那么,A(ijk)必為比Cij高一階的張量。

§A-4

張量的代數(shù)運(yùn)算

A張量分析用于判定某些量的張量性！第36頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六§A-5

二階張量（仿射量）A張量分析B的作用如同一個(gè)算子,它使空間內(nèi)每一個(gè)向量變換為另一個(gè)向量,或者說(shuō)B能把一個(gè)向量空間映射為另一向量空間。

第37頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六§A-5

二階張量（仿射量）A張量分析一、仿射量的轉(zhuǎn)置BT

對(duì)稱張量

反對(duì)稱張量

第38頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六§A-5

二階張量（仿射量）A張量分析一、仿射量的轉(zhuǎn)置BT

α和b為任意向量

第39頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六A張量分析§A-5

二階張量（仿射量）一、仿射量的逆B-1

第40頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六A張量分析§A-5

二階張量（仿射量）三、對(duì)稱仿射量的主向和主值

對(duì)于仿射量B,若存在三個(gè)相互垂直的方向i,j,k,其映象

B·i,B·j,B·k也相互垂直,則稱該三個(gè)方向?yàn)锽的主向。對(duì)稱仿射量T必存在三個(gè)主向和三個(gè)相應(yīng)的主值。主值S滿足如下特征方程。第41頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六A張量分析§A-5

二階張量（仿射量）三、對(duì)稱仿射量的主向和主值

第42頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六A張量分析§A-5

二階張量（仿射量）三、對(duì)稱仿射量的主向和主值

第43頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六三、對(duì)稱仿射量的主向和主值

笛卡兒坐標(biāo)

A張量分析§A-5

二階張量（仿射量）第44頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六A張量分析§A-5

二階張量（仿射量）四、各向同性張量

各向同性張量——在坐標(biāo)任意變換時(shí),各分量保持不變的張量

零階張量(標(biāo)量)總是各向同性的。一階張量(即矢量)總不是各向同性的。對(duì)于對(duì)稱二階張量T,如果其三個(gè)主值相等,即S1=S2=S3=λ,則是各向同性的。

第45頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六§A-5

二階張量（仿射量）四、各向同性張量

證明：(1)4個(gè)指標(biāo)都相同的分量有3個(gè)第46頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六§A-5

二階張量（仿射量）四、各向同性張量

證明：(2)4個(gè)指標(biāo)有3個(gè)相同的分量有24個(gè)以A1112為例。如繞x2轉(zhuǎn)1800，坐標(biāo)變換系數(shù)為第47頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六要使新坐標(biāo)的分量A1112與原坐標(biāo)中的分量A1112

相等，A1112

。必為零。第48頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六所以A1123=0。其它都為零。(3)4個(gè)指標(biāo)中有2個(gè)相同的分量有36個(gè)以A1123為例。坐標(biāo)仍繞x2轉(zhuǎn)1800，坐標(biāo)變換系數(shù)同上，則第49頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六將此三類分量用統(tǒng)一形式表示為：(3)4個(gè)指標(biāo)中有2對(duì)指標(biāo)重復(fù)的分量有18個(gè)?？煞譃?類，每6個(gè)分量相等。第50頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六在空間所論域內(nèi),每點(diǎn)定義的同階張量,構(gòu)成了張量場(chǎng)。一般張量場(chǎng)中被考察的張量隨位置而變化。研究張量場(chǎng)因位置而變化的情況使我們從張量代數(shù)的領(lǐng)域進(jìn)入張量分析的領(lǐng)域。笛卡兒坐標(biāo)系中的張量分析。

A-6張量分析第51頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

一、哈密頓(Hamilton)算子(梯度算子)

設(shè)有標(biāo)量場(chǎng)(x),

當(dāng)位置點(diǎn)r(x)變到r(x+dx)時(shí),的增量d命為

梯度算子,矢量算子

A-6張量分析第52頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

一、哈密頓(Hamilton)算子(梯度算子)

A-6張量分析1.標(biāo)量場(chǎng)的梯度2.矢量場(chǎng)u的散度

第53頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

一、哈密頓(Hamilton)算子(梯度算子)

A-6張量分析3.矢量的旋度

第54頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、張量場(chǎng)的微分

A-6張量分析1.張量A的梯度

左梯度

右梯度

張量的梯度為比原張量高一階的新張量第55頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、張量場(chǎng)的微分

A-6張量分析1.張量A的散度

左散度

右散度

張量的散度為比原張量低一階的新張量第56頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、張量場(chǎng)的微分

A-6張量分析3.張量A的旋度

左旋度

第57頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、張量場(chǎng)的微分

A-6張量分析3.張量A的旋度

右旋度

第58頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六三、散度定理

A-6張量分析高斯積分公式為

第59頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六三、散度定理

A-6張量分析高斯積分公式為——任意階張量第60頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六A-7曲線坐標(biāo)下的張量分析

一般討論的張量,都是在笛卡兒坐標(biāo)系下進(jìn)行的,在解決具體問(wèn)題時(shí),往往要求更復(fù)雜的坐標(biāo)系。

一、曲線坐標(biāo)在笛卡兒坐標(biāo)系,空間任一點(diǎn)P的向徑是設(shè)在三維空間某連通區(qū)域,給定了笛氏坐標(biāo)的三個(gè)連續(xù)可微的單值函數(shù)

反函數(shù)第61頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六A-7曲線坐標(biāo)下的張量分析

第62頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六A-7曲線坐標(biāo)下的張量分析

若函數(shù)不是線性函數(shù),則稱其為曲線坐標(biāo)系

用于編排指標(biāo)i’的次序第63頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第64頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六A-7曲線坐標(biāo)下的張量分析

二、局部基矢量

在笛卡兒坐標(biāo)系,空間任意向量(張量)都可以在基上分解。這種做法可進(jìn)行兩種不同的解釋:(l)空間里只有一個(gè)固定在原點(diǎn)的基ei,先將向量(張量)平行移至原點(diǎn),然后在這基上分解。(2)在定義區(qū)域內(nèi)每點(diǎn)都有一個(gè)與ei相同的基,即局部基,向量(張量)在本作用點(diǎn)的局部基上就地分解。

在曲線坐標(biāo)系,如果只用一個(gè)固定基的做法,就會(huì)使曲線坐標(biāo)的引人成為無(wú)的放矢。我們采用第二種做法,在空間每一點(diǎn)都建立局部基。

第65頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六A-7曲線坐標(biāo)下的張量分析

第66頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六A-7曲線坐標(biāo)下的張量分析

二、局部基矢量

取一點(diǎn)處坐標(biāo)曲線的切向量

自然基

度量張量

第67頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六A-7曲線坐標(biāo)下的張量分析

二、局部基矢量

求圓柱坐標(biāo)系的自然基gi

和度量張量gij第68頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六A-7曲線坐標(biāo)下的張量分析

二、局部基矢量

求圓柱坐標(biāo)系的自然基gi

和度量張量gij第69頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六A-7曲線坐標(biāo)下的張量分析

二、局部基矢量

笛卡兒坐標(biāo)系中關(guān)于張量的定義和張量的運(yùn)算等,可以推廣到曲線坐標(biāo)系,區(qū)別只在于這時(shí)的基矢量gi及變換系數(shù)i’i是空間點(diǎn)位置的函數(shù)。如張量A在曲線坐標(biāo)系可以寫成

由于在曲線坐標(biāo)系并非所有坐標(biāo)都具有長(zhǎng)度量綱,例如,圓柱坐標(biāo)中的。因此,相對(duì)應(yīng)的自然基矢量就不是無(wú)量綱的單位矢量。具有一定物理意義的向量(張量)在這樣的基上的各分量并不具有物理量綱,從而給直接的物理解釋帶來(lái)不便。第70頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期六A-7曲線坐標(biāo)下的張量分析

二、局部基矢量

為了使張量在每個(gè)具體坐標(biāo)系里能取得具有物理量綱的分量,在正交曲線坐標(biāo)系,取切于坐標(biāo)曲線的無(wú)量綱單位矢量作為基矢量,即正交單位標(biāo)架為物理標(biāo)架,或稱物理基