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文檔簡(jiǎn)介
近世代數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)初等代數(shù)、高等代數(shù)和線性代數(shù)都稱為經(jīng)典代數(shù)(
Classicalalgebra
),它的研究對(duì)象主要是代數(shù)方程和線性方程組)。近世代數(shù)(modernalgebra)又稱為抽象代數(shù)(abstractalgebra),它的研究對(duì)象是代數(shù)系,所謂代數(shù)系,是由一個(gè)集合和定義在這個(gè)集合中的一種或若干種運(yùn)算所構(gòu)成的一個(gè)系統(tǒng)。近世代數(shù)主要包括:群論、環(huán)論和域論等幾個(gè)方面的理論,其中群論是基礎(chǔ)。下面,我們首先簡(jiǎn)要回顧一下集合、映射和整數(shù)等方面的基礎(chǔ)知識(shí),然后介紹本文需要用到的近世代數(shù)的相關(guān)知識(shí)。3.1 集合、映射、二元運(yùn)算和整數(shù)3.1.1
集合集合是指一些對(duì)象的總體,這些對(duì)象稱為
集合的元或元素?!霸?/p>
a是集合
A的元”記作“
x
A”,反之,“
a
A”表示“
x不是集合
A的元”。設(shè)有兩個(gè)集合
A和
B,若對(duì)
A中的任意一個(gè)元素
a(記作
a
A)均有
a
B,則稱
A是
B的子集,記作
A
B。若
A
B且B
A,即
A和
B有完全相同的元素,則稱它們相等,記作
A
B。若
A
B,但
A
B,則稱
A是
B的真子集,或稱
B真包含
A,記作
A
B。不含任何元素的集合叫 空集,空集是任何一個(gè)集合的子集。集合的表示方法通常有兩種:一種是直接列出所有的元素,另一種是規(guī)定元素所具有的性質(zhì)。例如:A a,b,c;xp(x),其中p(x)表示元素x具有的性質(zhì)。本文中常用的集合及記號(hào)有:整數(shù)集合Z0,1,2,3,;非零整數(shù)集合ZZ01,2,3,;正整數(shù)(自然數(shù))集合Z1,2,3,;有理數(shù)集合Q,實(shí)數(shù)集合R,復(fù)數(shù)集合C等。一個(gè)集合A的元素個(gè)數(shù)用A表示。當(dāng)A中有有限個(gè)元素時(shí),稱為有限集,否則稱為無(wú)限集。用A
表示A是無(wú)限集, A
表示A是有限集。3.1.2 映射映射是函數(shù)概念的推廣,它描述了兩個(gè)集合的元素之間的關(guān)系。定義1 設(shè)A,B為兩個(gè)非空集合,若存在一個(gè) A到B的對(duì)應(yīng)關(guān)系 f,使得對(duì) A中的每一個(gè)元素 x,都有B中唯一確定的一個(gè)元素 y與之對(duì)應(yīng),則稱 f是A到B的一個(gè)映射,記作y=f(x) 。y稱為x的像,x稱為y的原像,A稱為f的定義域,B稱為f 的定值域。定義2 設(shè)f是A到B的一個(gè)映射(1)若x1,x2A和x1x2均有f(x1)f(x2),則稱f是一個(gè)單射。(2)若yB均有xA使f(x)y,則稱f是滿射。(3)若f既是單射又是滿射,則稱f是雙射。3.1.3二元運(yùn)算3.1.3.1集合的笛卡兒積由兩個(gè)集合可以用如下方法構(gòu)造一個(gè)新的集合。定義3設(shè)A,B是兩個(gè)非空集合,由A的一個(gè)元素a和B的一個(gè)元素b可構(gòu)成一個(gè)有序的元素對(duì)(a,b),所有這樣的元素對(duì)構(gòu)成的集合,稱為A與B的笛卡兒積,記作AB,即AB(a,b)aA,bB。用笛卡兒積還可定義一個(gè)集合中的運(yùn)算。定義4設(shè)S是一個(gè)非空集合,若有一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則f,對(duì)S中每一對(duì)元素a和b都規(guī)定了一個(gè)唯一的元素cS與之對(duì)應(yīng),即f是SSS的一個(gè)映射,則此對(duì)應(yīng)規(guī)則就稱為S中的一個(gè)二元運(yùn)算,并表示為 a?b c,其中“?”表示運(yùn)算符,若運(yùn)算“ ?”是通常的加法或乘法,a?b就分別記作a b或ab。由定義可見,一個(gè)二元運(yùn)算必須滿足:(1) 封閉性:a?b S;唯一性:a?b是唯一確定的。定義5設(shè)S是一個(gè)非空集合,若在S中定義了一種運(yùn)算?(或若干種運(yùn)算+,?,等),則稱S是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng),記作(S,?)或(S,+,?)等。3.1.3.2 二元關(guān)系我們經(jīng)常需要研究?jī)蓚€(gè)集合元素之間的關(guān)系或者一個(gè)集合內(nèi)元素間的關(guān)系。定義6設(shè)A,B是兩個(gè)集合,若規(guī)定一種規(guī)則R:使對(duì)aA和對(duì)bB均可確定a和b是否適合這個(gè)規(guī)則,若適合這個(gè)規(guī)則,就說a和bRaRb,否則就說有二元關(guān)系,記作a和b沒有二元關(guān)系RaRb。,記作3.1.2.3等價(jià)關(guān)系和等價(jià)類等價(jià)關(guān)系是集合中一類重要的二元關(guān)系。定義7設(shè)~是集合A上的一個(gè)二元關(guān)系,滿足以下條件:(1)對(duì)aA,有a~a;(反身性)(2)對(duì)a,bA,有a~bb~a;(對(duì)稱性)(3)對(duì)a,b,cA,有a~b和b~ca~c。(傳遞性)則稱~為A中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。子集axxA,x~a即所有與a等價(jià)的元素的集合,稱為a所在的一個(gè)等價(jià)類,a稱為這個(gè)等價(jià)類的代表元。例如:設(shè)n是一取定的正整數(shù),在整數(shù)集合Z中定義一個(gè)二元關(guān)系(modn)如下:ab(modn)n(ab),這個(gè)二元關(guān)系稱為模n的同余(關(guān)系),a與b模n同余指a和b分別用n來(lái)除所得的余數(shù)相同。同余關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系, 每一個(gè)等價(jià)類記作 a xx Z,x a(modn)稱為一個(gè)同余類或剩余類。3.1.4 整數(shù)在近世代數(shù)中整數(shù)是最基本的代數(shù)系。這里僅重述有關(guān)整數(shù)的基本性質(zhì)和常用概念。3.1.4.1 整數(shù)的運(yùn)算整數(shù)的運(yùn)算包括加、減、乘、除、開方、乘方、取對(duì)數(shù)等,這些運(yùn)算及其性質(zhì)這里不再贅述。在整數(shù)運(yùn)算中有以下兩個(gè)基本的定理:帶余除法定理 設(shè)a,b Z,b 0,則存在唯一的整數(shù)
q,r
滿足:a qb
r,
0
r
b。當(dāng)r 0時(shí),稱a能被b整除,或b整除a,記作ba;當(dāng)r 0時(shí),稱a不能被b整除。只能被 1和它本身整除的正整數(shù)稱為 素?cái)?shù);除1和本身外,還能被其它整數(shù)整除的正整數(shù)稱為合數(shù)。算術(shù)基本定理
每一個(gè)不等于
1的正整數(shù)
a可以分解為素?cái)?shù)的冪之積:a p1
1p2
2
ps
s
,其中
p1,p2,
,ps為互不相同的素?cái)?shù),
i
Z,(i
1,2,
s)
。除因子的次序外分解式是唯一的。此分解式稱為整數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式。3.1.4.2最大公因子和最小公倍數(shù)設(shè)a,bZ,不全為0,它們的正最大公因子記作(a,b),正最小公倍數(shù)記作a,b。設(shè)a,bZ,由算術(shù)基本定理可將它們表示為:apx1px2pxs,12sbp1y1p2y2psys,其中p1,p2,,ps為互不相同的素?cái)?shù),xi,yi(i1,2,,s)為非負(fù)整數(shù),某些可以等于0。令:iminxi,yi(i1,2,,s),imaxxi,yi(i1,2,,s),則(a,b)p11p22pss,a,bp1p22ps,1s且有ab(a,b)?a,b。最大公因子還有以下重要性質(zhì):最大公因子定理設(shè)a,bZ,a,b不全為0,d(a,b),則存在p,qZ使paqbd。3.1.4.3互素若a,bZ,滿足(a,b)1,則稱a與b互素。關(guān)于整數(shù)間的互素關(guān)系有以下性質(zhì):(1)(a,b) 1 p,q Z,使pa qb 1。(2)abc且(a,b)1ac。(3)設(shè)a,bZ,p為素?cái)?shù),則有:pabpa或pb。(4)(a,b)1,(a,c)1(a,bc)1。(5)ac,bc且(a,b)1abc。歐拉函數(shù):設(shè)n為正整數(shù),(n)為小于n并與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù),小于n并與n互素的正整數(shù)的集合記為: Pn 1,r2, ,r(n)。若n的標(biāo)準(zhǔn)分解式為:np1p2ps,12s則(n)n(11)(11)(11)。p1p2ps3.2 群近世代數(shù)的研究對(duì)象是代數(shù)系,最簡(jiǎn)單的代數(shù)系是在一個(gè)集合中只定義一種運(yùn)算,群是由一個(gè)集合和一個(gè)二元運(yùn)算構(gòu)成的代數(shù)系,它在近世代數(shù)中是最基本的一個(gè)代數(shù)系。3.2.1 群的基本概念定義1 設(shè)G是一個(gè)非空集合,若在 G上定義一個(gè)二元運(yùn)算 ?滿足:(1)結(jié)合律:對(duì) a,b,c G,有(a?b)?c a?(b?c)。則稱G是一個(gè)半群,記作(G,?)。若(G,?)還滿足:(2)存在單位元e使對(duì)aG,有e?aa?ea;(3)對(duì)aG有逆元a1,使a1?aa?a1e,則稱(G,?)是一個(gè)群。當(dāng)二元運(yùn)算“ ?”為通常的加法時(shí), (G,?)稱為加法群或加群;當(dāng)二元運(yùn)算“ ?”為通常的乘法時(shí), (G,?)稱為乘法群或乘群。定義中條件(2)可改為:有一個(gè)左單位元 eL(或右單位元 eR),使eL?a a(或a?eRa),對(duì)aG成立。因?yàn)橛纱丝赏瞥鰁LeL?eReR。定義中條件(3)可改為:對(duì)aG,有一個(gè)左逆元aL1(或右逆元aR1),使aL1?ae(或a?aR1e)成立。因?yàn)橛纱丝赏瞥鯽L1aL1?eaL1?(a?aR1)(aL1?a)?aR1e?aR1aR1。定理1半群(G,?)是群的充要條件是:對(duì)a,bG,方程axb和yab在G中均有解。定理2 半群(G,?)是群的充要條件是左、右消去律都成立:a 0,ax ay x y,a 0,xa ya x y。如果半群中含有單位元,則稱為 含幺半群。如果群(G,?)適合交換律:對(duì) a,b G,有a?b b?a,則稱G為可換群或阿貝爾(Abel)群。通常把群的定義概括為四點(diǎn):封閉性、結(jié)合律、單位元和逆元。如果一個(gè)群 G是個(gè)有限集,則稱 G是有限群,否則稱為無(wú)限群。G的元素個(gè)數(shù) G稱為群的階。元素的倍數(shù)和冪定義為:na a a a,n個(gè)aan a?a? ?a,n個(gè)an為正整數(shù),并規(guī)定 a0 e。且有:(na)b a(nb) nab,anam anm,(an)m anm,當(dāng)ab ba時(shí)有(ab)n anbn。滿足a2 a的元素稱為冪等元,滿足an 0,n Z 的元素稱為冪零元。例1:Zn 0,1,2, ,n 1是整數(shù)模 n的同余類集合,在 Zn中定義加法(稱為模 n的加法)為a b a b。由于同余類的代表元有不同的選擇,我們必須驗(yàn)證以上定義的運(yùn)算結(jié)果與代表元的選擇無(wú)關(guān)。設(shè)a1a2,b1b2,則有n(a1a2),n(b1b2)n(a1a2)(b1b2)n(a1b1)(a2b2)a1b1a2b2所以模n的加法是Zn中的一個(gè)二元運(yùn)算。顯然,單位元是0,kZn,k的逆元是nk。所以(Zn,)是群。例2:設(shè)ZnkkZn,(k,n)1,在Zn中定義乘法(稱為模n的乘法)為a?bab。對(duì)這個(gè)運(yùn)算不僅需要檢驗(yàn)它的唯一性,而且要檢驗(yàn)它的封閉性,因?yàn)橛蒩Zn,Zn得出abZn并不明顯。先證封閉性:因?yàn)橛?bZn(,)1和(b,n)1(ab,n)1,所以aanabZn。再證唯一性:設(shè)a1a2,b1b2,則有n(a1a2),n(b1b2)n(a1a2)?(b1b2)n(a1b1a2b2a1b2a2b1)n[(a1b1a2b2)(a2a1)b2a2(b2b1)]n(a1b1a2b2)a1b1a2b2所以模n的乘法是Zn中的一個(gè)二元運(yùn)算。結(jié)合律顯然滿足。單位元是1。對(duì)aZn,由(a,n)1知p,qZ,使paqn1,因而有pa1(modn),即p?apa1,所以a1p,即Zn中每一元素均有逆元。綜上,Zn對(duì)模n的乘法構(gòu)成群。Zn的階數(shù)為 (n)—?dú)W拉函數(shù):小于 n并與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)。3.2.2 群的基本性質(zhì)群中單位元是唯一的證明:設(shè)G中有兩個(gè)單位元 e1和e2,則有:e1 e1?e2 e2,所以單位元是唯一的。在不致混淆的情況下,單位元簡(jiǎn)記為 1。群中每個(gè)元素的逆元是唯一的證明:設(shè)aG,a有兩個(gè)逆元a11G和a21G,則有:a11a11ea11(aa21)(a11a)a21ea21a21,所以a的逆元是唯一的。的逆元有以下性質(zhì):(1)(a1)1a;(2)若a,b可逆,則ab也可逆,且有(ab)1b1a1;(3)若a可逆,則an也可逆,且有(an)1(a1)nan。3.2.3 子群定義2 設(shè)S是群G的一個(gè)非空子集, 若S對(duì)G的運(yùn)算也構(gòu)成群,則稱S是G的一個(gè)子群,并記作:S G。當(dāng)S G且S G時(shí),稱S是G的真子群,記作 S G。定理3 設(shè)S是群G的一個(gè)非空子集,則以下三個(gè)命題互相等價(jià):(ⅰ)S是G的子群;(ⅱ)對(duì)a,bS,有abS和a1S;(ⅲ)對(duì)a,bS,有ab1S。3.2.4元素的階定義3設(shè)G是有限群,aG,可以證明一定存在最小的正整數(shù)n使:ane(1)成立,n稱為a的階或周期,記作o(a)。若沒有這樣的正整數(shù)存在,則稱a的階是無(wú)限的。由定義3可知,單位元的階是 1。在加群中,式 (1)變?yōu)椋簄a0(2)定理4設(shè)G是群,aG,則:am 1 o(a)m。關(guān)于元素的階還有以下重要結(jié)果:有限群中每一個(gè)元素的階是有限的;(2)設(shè)G是群,a,bG,o(a)m,o(b)n,若(m,n)1和abba,則o(ab)mn;(3)設(shè)G是群,若除單位元外其它元素都是2階元,則G是Abel群。3
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