近世代數(shù)的基礎(chǔ)知識

近世代數(shù)的基礎(chǔ)知識初等代數(shù)、高等代數(shù)和線性代數(shù)都稱為經(jīng)典代數(shù)（

Classicalalgebra

），它的研究對象主要是代數(shù)方程和線性方程組）。近世代數(shù)（modernalgebra）又稱為抽象代數(shù)（abstractalgebra），它的研究對象是代數(shù)系，所謂代數(shù)系，是由一個集合和定義在這個集合中的一種或若干種運算所構(gòu)成的一個系統(tǒng)。近世代數(shù)主要包括：群論、環(huán)論和域論等幾個方面的理論，其中群論是基礎(chǔ)。下面，我們首先簡要回顧一下集合、映射和整數(shù)等方面的基礎(chǔ)知識，然后介紹本文需要用到的近世代數(shù)的相關(guān)知識。3．1 集合、映射、二元運算和整數(shù)3．1．1

集合集合是指一些對象的總體，這些對象稱為

集合的元或元素。“元素

a是集合

A的元”記作“

x

A”，反之，“

a

A”表示“

x不是集合

A的元”。設(shè)有兩個集合

A和

B，若對

A中的任意一個元素

a（記作

a

A）均有

a

B，則稱

A是

B的子集，記作

A

B。若

A

B且B

A，即

A和

B有完全相同的元素，則稱它們相等，記作

A

B。若

A

B，但

A

B，則稱

A是

B的真子集，或稱

B真包含

A，記作

A

B。不含任何元素的集合叫 空集，空集是任何一個集合的子集。集合的表示方法通常有兩種：一種是直接列出所有的元素，另一種是規(guī)定元素所具有的性質(zhì)。例如：A a,b,c；xp(x)，其中p(x)表示元素x具有的性質(zhì)。本文中常用的集合及記號有：整數(shù)集合Z0,1,2,3,；非零整數(shù)集合ZZ01,2,3,；正整數(shù)（自然數(shù)）集合Z1,2,3,；有理數(shù)集合Q，實數(shù)集合R，復(fù)數(shù)集合C等。一個集合A的元素個數(shù)用A表示。當(dāng)A中有有限個元素時，稱為有限集，否則稱為無限集。用A

表示A是無限集， A

表示A是有限集。3．1．2 映射映射是函數(shù)概念的推廣，它描述了兩個集合的元素之間的關(guān)系。定義1 設(shè)A，B為兩個非空集合，若存在一個 A到B的對應(yīng)關(guān)系 f，使得對 A中的每一個元素 x，都有B中唯一確定的一個元素 y與之對應(yīng)，則稱 f是A到B的一個映射，記作y=f(x) 。y稱為x的像，x稱為y的原像，A稱為f的定義域，B稱為f 的定值域。定義2 設(shè)f是A到B的一個映射(1)若x1,x2A和x1x2均有f(x1)f(x2)，則稱f是一個單射。(2)若yB均有xA使f(x)y，則稱f是滿射。(3)若f既是單射又是滿射，則稱f是雙射。3．1．3二元運算3．1．3．1集合的笛卡兒積由兩個集合可以用如下方法構(gòu)造一個新的集合。定義3設(shè)A，B是兩個非空集合，由A的一個元素a和B的一個元素b可構(gòu)成一個有序的元素對（a,b），所有這樣的元素對構(gòu)成的集合，稱為A與B的笛卡兒積，記作AB，即AB(a,b)aA,bB。用笛卡兒積還可定義一個集合中的運算。定義4設(shè)S是一個非空集合，若有一個對應(yīng)規(guī)則f，對S中每一對元素a和b都規(guī)定了一個唯一的元素cS與之對應(yīng)，即f是SSS的一個映射，則此對應(yīng)規(guī)則就稱為S中的一個二元運算，并表示為 a?b c，其中“?”表示運算符，若運算“ ?”是通常的加法或乘法，a?b就分別記作a b或ab。由定義可見，一個二元運算必須滿足：(1) 封閉性：a?b S；唯一性：a?b是唯一確定的。定義5設(shè)S是一個非空集合，若在S中定義了一種運算?（或若干種運算+，?，等），則稱S是一個代數(shù)系統(tǒng)，記作（S，?）或（S，+，?）等。3．1．3．2 二元關(guān)系我們經(jīng)常需要研究兩個集合元素之間的關(guān)系或者一個集合內(nèi)元素間的關(guān)系。定義6設(shè)A，B是兩個集合，若規(guī)定一種規(guī)則R：使對aA和對bB均可確定a和b是否適合這個規(guī)則，若適合這個規(guī)則，就說a和bRaRb，否則就說有二元關(guān)系，記作a和b沒有二元關(guān)系RaRb。，記作3．1．2．3等價關(guān)系和等價類等價關(guān)系是集合中一類重要的二元關(guān)系。定義7設(shè)～是集合A上的一個二元關(guān)系，滿足以下條件：(1)對aA，有a～a；（反身性）(2)對a,bA，有a～bb～a；（對稱性）(3)對a,b,cA，有a～b和b～ca～c。（傳遞性）則稱～為A中的一個等價關(guān)系。子集axxA,x~a即所有與a等價的元素的集合，稱為a所在的一個等價類，a稱為這個等價類的代表元。例如：設(shè)n是一取定的正整數(shù)，在整數(shù)集合Z中定義一個二元關(guān)系(modn)如下：ab(modn)n(ab)，這個二元關(guān)系稱為模n的同余（關(guān)系），a與b模n同余指a和b分別用n來除所得的余數(shù)相同。同余關(guān)系是一個等價關(guān)系， 每一個等價類記作 a xx Z,x a(modn)稱為一個同余類或剩余類。3．1．4 整數(shù)在近世代數(shù)中整數(shù)是最基本的代數(shù)系。這里僅重述有關(guān)整數(shù)的基本性質(zhì)和常用概念。3．1．4．1 整數(shù)的運算整數(shù)的運算包括加、減、乘、除、開方、乘方、取對數(shù)等，這些運算及其性質(zhì)這里不再贅述。在整數(shù)運算中有以下兩個基本的定理：帶余除法定理 設(shè)a,b Z，b 0，則存在唯一的整數(shù)

q，r

滿足：a qb

r,

0

r

b。當(dāng)r 0時，稱a能被b整除，或b整除a，記作ba；當(dāng)r 0時，稱a不能被b整除。只能被 1和它本身整除的正整數(shù)稱為 素數(shù)；除1和本身外，還能被其它整數(shù)整除的正整數(shù)稱為合數(shù)。算術(shù)基本定理

每一個不等于

1的正整數(shù)

a可以分解為素數(shù)的冪之積：a p1

1p2

2

ps

s

，其中

p1,p2,

,ps為互不相同的素數(shù)，

i

Z,(i

1,2,

s)

。除因子的次序外分解式是唯一的。此分解式稱為整數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式。3．1．4．2最大公因子和最小公倍數(shù)設(shè)a,bZ，不全為0，它們的正最大公因子記作(a,b)，正最小公倍數(shù)記作a,b。設(shè)a,bZ，由算術(shù)基本定理可將它們表示為：apx1px2pxs，12sbp1y1p2y2psys，其中p1,p2,,ps為互不相同的素數(shù)，xi，yi(i1,2,,s)為非負(fù)整數(shù)，某些可以等于0。令：iminxi,yi(i1,2,,s)，imaxxi,yi(i1,2,,s)，則(a,b)p11p22pss，a,bp1p22ps，1s且有ab(a,b)?a,b。最大公因子還有以下重要性質(zhì)：最大公因子定理設(shè)a,bZ，a,b不全為0，d(a,b)，則存在p,qZ使paqbd。3．1．4．3互素若a,bZ，滿足(a,b)1，則稱a與b互素。關(guān)于整數(shù)間的互素關(guān)系有以下性質(zhì)：(1)(a,b) 1 p,q Z，使pa qb 1。(2)abc且(a,b)1ac。(3)設(shè)a,bZ，p為素數(shù)，則有：pabpa或pb。(4)(a,b)1，(a,c)1(a,bc)1。(5)ac，bc且(a,b)1abc。歐拉函數(shù)：設(shè)n為正整數(shù)，(n)為小于n并與n互素的正整數(shù)的個數(shù)，小于n并與n互素的正整數(shù)的集合記為： Pn 1,r2, ,r(n)。若n的標(biāo)準(zhǔn)分解式為：np1p2ps，12s則(n)n(11)(11)(11)。p1p2ps3．2 群近世代數(shù)的研究對象是代數(shù)系，最簡單的代數(shù)系是在一個集合中只定義一種運算，群是由一個集合和一個二元運算構(gòu)成的代數(shù)系，它在近世代數(shù)中是最基本的一個代數(shù)系。3．2．1 群的基本概念定義1 設(shè)G是一個非空集合，若在 G上定義一個二元運算 ?滿足：(1)結(jié)合律：對 a,b,c G，有(a?b)?c a?(b?c)。則稱G是一個半群，記作(G,?)。若(G,?)還滿足：(2)存在單位元e使對aG，有e?aa?ea；(3)對aG有逆元a1，使a1?aa?a1e，則稱(G,?)是一個群。當(dāng)二元運算“ ?”為通常的加法時， (G,?)稱為加法群或加群；當(dāng)二元運算“ ?”為通常的乘法時， (G,?)稱為乘法群或乘群。定義中條件(2)可改為：有一個左單位元 eL（或右單位元 eR），使eL?a a（或a?eRa），對aG成立。因為由此可推出eLeL?eReR。定義中條件(3)可改為：對aG，有一個左逆元aL1（或右逆元aR1），使aL1?ae（或a?aR1e）成立。因為由此可推出aL1aL1?eaL1?(a?aR1)(aL1?a)?aR1e?aR1aR1。定理1半群(G,?)是群的充要條件是：對a,bG，方程axb和yab在G中均有解。定理2 半群(G,?)是群的充要條件是左、右消去律都成立：a 0,ax ay x y，a 0,xa ya x y。如果半群中含有單位元，則稱為 含幺半群。如果群(G,?)適合交換律：對 a,b G，有a?b b?a，則稱G為可換群或阿貝爾(Abel)群。通常把群的定義概括為四點：封閉性、結(jié)合律、單位元和逆元。如果一個群 G是個有限集，則稱 G是有限群，否則稱為無限群。G的元素個數(shù) G稱為群的階。元素的倍數(shù)和冪定義為：na a a a，n個aan a?a? ?a，n個an為正整數(shù)，并規(guī)定 a0 e。且有：(na)b a(nb) nab，anam anm，(an)m anm，當(dāng)ab ba時有(ab)n anbn。滿足a2 a的元素稱為冪等元，滿足an 0,n Z 的元素稱為冪零元。例1：Zn 0,1,2, ,n 1是整數(shù)模 n的同余類集合，在 Zn中定義加法（稱為模 n的加法）為a b a b。由于同余類的代表元有不同的選擇，我們必須驗證以上定義的運算結(jié)果與代表元的選擇無關(guān)。設(shè)a1a2，b1b2，則有n(a1a2)，n(b1b2)n(a1a2)(b1b2)n(a1b1)(a2b2)a1b1a2b2所以模n的加法是Zn中的一個二元運算。顯然，單位元是0，kZn，k的逆元是nk。所以(Zn,)是群。例2：設(shè)ZnkkZn,(k,n)1，在Zn中定義乘法（稱為模n的乘法）為a?bab。對這個運算不僅需要檢驗它的唯一性，而且要檢驗它的封閉性，因為由aZn，Zn得出abZn并不明顯。先證封閉性：因為由,bZn(,)1和(b,n)1(ab,n)1，所以aanabZn。再證唯一性：設(shè)a1a2，b1b2，則有n(a1a2)，n(b1b2)n(a1a2)?(b1b2)n(a1b1a2b2a1b2a2b1)n[(a1b1a2b2)(a2a1)b2a2(b2b1)]n(a1b1a2b2)a1b1a2b2所以模n的乘法是Zn中的一個二元運算。結(jié)合律顯然滿足。單位元是1。對aZn，由(a,n)1知p,qZ，使paqn1，因而有pa1(modn)，即p?apa1，所以a1p，即Zn中每一元素均有逆元。綜上，Zn對模n的乘法構(gòu)成群。Zn的階數(shù)為 (n)—歐拉函數(shù)：小于 n并與n互素的正整數(shù)的個數(shù)。3．2．2 群的基本性質(zhì)群中單位元是唯一的證明：設(shè)G中有兩個單位元 e1和e2，則有：e1 e1?e2 e2，所以單位元是唯一的。在不致混淆的情況下，單位元簡記為 1。群中每個元素的逆元是唯一的證明：設(shè)aG，a有兩個逆元a11G和a21G，則有：a11a11ea11(aa21)(a11a)a21ea21a21，所以a的逆元是唯一的。的逆元有以下性質(zhì)：(1)(a1)1a；(2)若a,b可逆，則ab也可逆，且有(ab)1b1a1；(3)若a可逆，則an也可逆，且有(an)1(a1)nan。3．2．3 子群定義2 設(shè)S是群G的一個非空子集， 若S對G的運算也構(gòu)成群，則稱S是G的一個子群，并記作：S G。當(dāng)S G且S G時，稱S是G的真子群，記作 S G。定理3 設(shè)S是群G的一個非空子集，則以下三個命題互相等價：(ⅰ)S是G的子群；(ⅱ)對a,bS，有abS和a1S；(ⅲ)對a,bS，有ab1S。3．2．4元素的階定義3設(shè)G是有限群，aG，可以證明一定存在最小的正整數(shù)n使：ane(1)成立，n稱為a的階或周期，記作o(a)。若沒有這樣的正整數(shù)存在，則稱a的階是無限的。由定義3可知，單位元的階是 1。在加群中，式 (1)變?yōu)椋簄a0(2)定理4設(shè)G是群，aG，則：am 1 o(a)m。關(guān)于元素的階還有以下重要結(jié)果：有限群中每一個元素的階是有限的；(2)設(shè)G是群，a,bG，o(a)m，o(b)n，若(m,n)1和abba，則o(ab)mn；(3)設(shè)G是群，若除單位元外其它元素都是2階元，則G是Abel群。3