通信原理 第3節(jié)-第3章-1 通信原理

通信原理第3章隨機(jī)過(guò)程.第3章隨機(jī)過(guò)程3.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念什么是隨機(jī)過(guò)程？隨機(jī)過(guò)程是一類(lèi)隨時(shí)間作隨機(jī)變化的過(guò)程，它不能用確切的時(shí)間函數(shù)描述?？蓮膬煞N不同角度看：角度1：對(duì)應(yīng)不同隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的時(shí)間過(guò)程的集合。

隨機(jī)過(guò)程與通信系統(tǒng)的關(guān)系?通信系統(tǒng)中的信號(hào)和噪聲具有一定的隨機(jī)性介入系統(tǒng)的干擾和噪聲、信道特性的起伏也是隨機(jī)變化的在移動(dòng)通信中，電磁波的傳播路徑不斷變化，接收信號(hào)也是隨機(jī)變化的通信中的信源、噪聲、信號(hào)傳輸特性都可以使用隨機(jī)過(guò)程來(lái)描述.第3章隨機(jī)過(guò)程【例】n臺(tái)示波器同時(shí)觀測(cè)并記錄這n臺(tái)接收機(jī)的輸出噪聲波形樣本函數(shù)i(t)：隨機(jī)過(guò)程的一次實(shí)現(xiàn)，是確定的時(shí)間函數(shù)。隨機(jī)過(guò)程：

(t)={1(t),2(t),…,n(t)} 是全部樣本函數(shù)的集合。n臺(tái)接收機(jī)性能完全相同工作條件也相同.第3章隨機(jī)過(guò)程角度2：隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)變量概念的延伸。在任一給定時(shí)刻t1上，每一個(gè)樣本函數(shù)i(t)都是一個(gè)確定的數(shù)值i(t1)，但是每個(gè)i(t1)都是不可預(yù)知的。在一個(gè)固定時(shí)刻t1上，不同樣本的取值{i(t1),i=1,2,…,n}是一個(gè)隨機(jī)變量，記為

(t1)。換句話(huà)說(shuō)，隨機(jī)過(guò)程在任意時(shí)刻的值是一個(gè)隨機(jī)變量。因此，我們又可以把隨機(jī)過(guò)程看作是在時(shí)間進(jìn)程中處于不同時(shí)刻的隨機(jī)變量的集合。這個(gè)角度更適合對(duì)隨機(jī)過(guò)程理論進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)描述。.第3章隨機(jī)過(guò)程角度1：對(duì)應(yīng)不同隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的時(shí)間過(guò)程的集合。角度2：隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)變量概念的延伸。深度剖析：角度1是每臺(tái)整個(gè)時(shí)間為單位打包出一個(gè)結(jié)果，然后延伸到n臺(tái)角度2為固定一個(gè)時(shí)間內(nèi)，n臺(tái)結(jié)果對(duì)應(yīng)n個(gè)固定值，然后延伸到整個(gè)時(shí)間t圖示.第3章隨機(jī)過(guò)程3.1.1隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)設(shè)

(t)表示一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，則它在任意時(shí)刻t1的值

(t1)是一個(gè)隨機(jī)變量，其統(tǒng)計(jì)特性可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來(lái)描述。隨機(jī)過(guò)程

(t)的一維分布函數(shù)：隨機(jī)過(guò)程

(t)的一維概率密度函數(shù)： 若上式中的偏導(dǎo)存在的話(huà)。.第3章隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程

(t)的二維分布函數(shù)：隨機(jī)過(guò)程

(t)的二維概率密度函數(shù)： 若上式中的偏導(dǎo)存在的話(huà)。隨機(jī)過(guò)程

(t)的n維分布函數(shù)：隨機(jī)過(guò)程

(t)的n維概率密度函數(shù)：為什么要引入二維?一維無(wú)法描述兩個(gè)不同時(shí)間的關(guān)系.第3章隨機(jī)過(guò)程3.1.2隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征均值（數(shù)學(xué)期望）： 在任意給定時(shí)刻t1的取值

(t1)是一個(gè)隨機(jī)變量，其均值 式中f(x1,t1)－

(t1)的概率密度函數(shù) 由于t1是任取的，所以可以把t1

直接寫(xiě)為t，x1改為x，這樣上式就變?yōu)橐晃兜南氪_定隨機(jī)過(guò)程中的n維分布函數(shù)或分布是十分困難的，通信系統(tǒng)中只需要一些特殊的數(shù)字特征就足夠使用。.第3章隨機(jī)過(guò)程

(t)的均值是時(shí)間的確定函數(shù)，常記作a(t)，它表示隨機(jī)過(guò)程的n個(gè)樣本函數(shù)曲線(xiàn)的擺動(dòng)中心:a(t).第3章隨機(jī)過(guò)程方差 方差常記為2(t)。這里也把任意時(shí)刻t1直接寫(xiě)成了t。 因?yàn)? 所以，方差等于均方值與均值平方之差，它表示隨機(jī)過(guò)程在時(shí)刻t對(duì)于均值a(t)的偏離程度。均方值均值平方.第3章隨機(jī)過(guò)程相關(guān)函數(shù)

式中，

(t1)和

(t2)分別是在t1和t2時(shí)刻觀測(cè)得到的隨機(jī)變量?？梢钥闯?，R(t1,t2)是兩個(gè)變量t1和t2的確定函數(shù)。協(xié)方差函數(shù) 式中a(t1

)a(t2

)－在t1和t2時(shí)刻得到的

(t)的均值

f2(x1,x2;t1,t2)－

(t)的二維概率密度函數(shù)。.第3章隨機(jī)過(guò)程相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系 若a(t1)=a(t2)=0，則B(t1,t2)=R(t1,t2)互相關(guān)函數(shù) 式中(t)和(t)分別表示兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程。 因此，R(t1,t2)又稱(chēng)為自相關(guān)函數(shù)。隨機(jī)過(guò)程均值為0.第3章隨機(jī)過(guò)程3.2平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程3.2.1平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的定義定義： 若一個(gè)隨機(jī)過(guò)程(t)的任意有限維分布函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)，對(duì)于任意的正整數(shù)n和所有實(shí)數(shù)，有 則稱(chēng)該隨機(jī)過(guò)程是在嚴(yán)格意義下的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，簡(jiǎn)稱(chēng)嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。

.第3章隨機(jī)過(guò)程性質(zhì)： 該定義表明，平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而改變，即它的一維分布函數(shù)與時(shí)間t無(wú)關(guān)： 而二維分布函數(shù)只與時(shí)間間隔=t2–t1有關(guān)：數(shù)字特征： 可見(jiàn)，（1）其均值與t無(wú)關(guān)，為常數(shù)a； （2）自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)。.第3章隨機(jī)過(guò)程數(shù)字特征： 可見(jiàn)，（1）其均值與t無(wú)關(guān)，為常數(shù)a； （2）自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)。 把同時(shí)滿(mǎn)足（1）和（2）的過(guò)程定義為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。顯然，嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程必定是廣義平穩(wěn)的，反之不一定成立。 在通信系統(tǒng)中所遇到的信號(hào)及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。因此，研究平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程有著很大的實(shí)際意義。.第3章隨機(jī)過(guò)程3.2.2各態(tài)歷經(jīng)性問(wèn)題的提出：我們知道，隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征（均值、相關(guān)函數(shù)）是對(duì)隨機(jī)過(guò)程的所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計(jì)平均，但在實(shí)際中常常很難測(cè)得大量的樣本，這樣，我們自然會(huì)提出這樣一個(gè)問(wèn)題：能否從一次試驗(yàn)而得到的一個(gè)樣本函數(shù)x(t)來(lái)決定平穩(wěn)過(guò)程的數(shù)字特征呢?回答是肯定的。平穩(wěn)過(guò)程在滿(mǎn)足一定的條件下具有一個(gè)有趣而又非常有用的特性，稱(chēng)為“各態(tài)歷經(jīng)性”（又稱(chēng)“遍歷性”）。具有各態(tài)歷經(jīng)性的過(guò)程，其數(shù)字特征（均為統(tǒng)計(jì)平均）完全可由隨機(jī)過(guò)程中的任一實(shí)現(xiàn)的時(shí)間平均值來(lái)代替。下面，我們來(lái)討論各態(tài)歷經(jīng)性的條件。.第3章隨機(jī)過(guò)程各態(tài)歷經(jīng)性條件 設(shè)：x(t)是平穩(wěn)過(guò)程(t)的任意一次實(shí)現(xiàn)（樣本）， 則其時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)分別定義為： 如果平穩(wěn)過(guò)程使下式成立 則稱(chēng)該平穩(wěn)過(guò)程具有各態(tài)歷經(jīng)性。.第3章隨機(jī)過(guò)程“各態(tài)歷經(jīng)”的含義是：隨機(jī)過(guò)程中的任一次實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過(guò)程的所有可能狀態(tài)。因此，在求解各種統(tǒng)計(jì)平均（均值或自相關(guān)函數(shù)等）時(shí)，無(wú)需作無(wú)限多次的考察，只要獲得一次考察，用一次實(shí)現(xiàn)的“時(shí)間平均”值代替過(guò)程的“統(tǒng)計(jì)平均”值即可，從而使測(cè)量和計(jì)算的問(wèn)題大為簡(jiǎn)化。具有各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過(guò)程一定是平穩(wěn)過(guò)程，反之不一定成立。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號(hào)和噪聲，一般均能滿(mǎn)足各態(tài)歷經(jīng)條件。.第3章隨機(jī)過(guò)程

[例3-1]設(shè)一個(gè)隨機(jī)相位的正弦波為 其中，A和c均為常數(shù)；是在(0,2π)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。試討論(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。

【解】(1)先求(t)的統(tǒng)計(jì)平均值： 數(shù)學(xué)期望.第3章隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)令t2–t1=，得到可見(jiàn)，(t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)與t無(wú)關(guān)，只與時(shí)間間隔有關(guān)，所以(t)是廣義平穩(wěn)過(guò)程。.第3章隨機(jī)過(guò)程(2)求(t)的時(shí)間平均值 比較統(tǒng)計(jì)平均與時(shí)間平均，有 因此，隨機(jī)相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。.第3章隨機(jī)過(guò)程3.2.3平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的定義：同前平穩(wěn)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)—(t)的平均功率—的偶函數(shù)—R()的上界 即自相關(guān)函數(shù)R()在=0有最大值?！?t)的直流功率

表示平穩(wěn)過(guò)程(t)的交流功率。當(dāng)均值為0時(shí)，有R(0)=2。.第3章隨機(jī)過(guò)程3.2.4平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度定義：對(duì)于任意的確定功率信號(hào)f(t)，它的功率譜密度定義為式中，F(xiàn)T(f)是f(t)的截短函數(shù)fT

(t)所對(duì)應(yīng)的頻譜函數(shù).第2章確知信號(hào)2.2.4功率信號(hào)的功率譜密度定義：首先將信號(hào)s(t)截短為sT(t)，-T/2<t<T/2

sT(t)是一個(gè)能量信號(hào)，可以用傅里葉變換求出其能量譜密度|ST(t)|2，由巴塞伐爾定理有 (2.2-41)將定義為信號(hào)的功率譜密度P(f)，即.第3章隨機(jī)過(guò)程對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程(t)，可以把f(t)當(dāng)作是(t)的一個(gè)樣本；某一樣本的功率譜密度不能作為過(guò)程的功率譜密度。過(guò)程的功率譜密度應(yīng)看作是對(duì)所有樣本的功率譜的統(tǒng)計(jì)平均，故(t)的功率譜密度可以定義為.第3章隨機(jī)過(guò)程功率譜密度的計(jì)算維納-辛欽關(guān)系 非周期的功率型確知信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度是一對(duì)傅里葉變換。這種關(guān)系對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程同樣成立，即有 簡(jiǎn)記為 以上關(guān)系稱(chēng)為維納-辛欽關(guān)系。它在平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的理論和應(yīng)用中是一個(gè)非常重要的工具，它是聯(lián)系頻域和時(shí)域兩種分析方法的基本關(guān)系式。.第2章確知信號(hào)2.3.2功率信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)定義： (2.3-10)性質(zhì)：當(dāng)=0時(shí)，自相關(guān)函數(shù)R(0)等于信號(hào)的平均功率： (2.3-11)功率信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)也是偶函數(shù)。周期性功率信號(hào)：自相關(guān)函數(shù)定義：

(2.3-12)

R()和功率譜密度P(f)之間是傅里葉變換關(guān)系：.第3章隨機(jī)過(guò)程在維納-辛欽關(guān)系的基礎(chǔ)上，我們可以得到以下結(jié)論：對(duì)功率譜密度進(jìn)行積分，可得平穩(wěn)過(guò)程的總功率： 上式從頻域的角度給出了過(guò)程平均功率的計(jì)算法。各態(tài)歷經(jīng)