上海市浦東新區(qū)實驗學(xué)校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 Word版含答案

/上海實驗學(xué)校高二上期中考數(shù)學(xué)試卷2020.11一、填空題1．過點且法向量為的直線方程是．2．已知向量，，則在上的投影是．3．已知，，動點滿足，則動點的軌跡方程是．4．直線與的夾角是．5．已知方程表示一個圓的充要條件是．6．圓心在直線上，且與直線相切于點的圓的方程是．7．已知點，，直線過點且與直線有交點，則直線的斜率的取值范圍是．8．已知直線，，若直線與關(guān)于直線對稱，則直線的方程為．9．在中，，，點為內(nèi)（包括邊界）任意一點，若，則的取值范圍是．10．若恰有三組不全為0的實數(shù)對滿足關(guān)系式，則實數(shù)的所有可能的值為．二、選擇題11．“兩條直線的斜率乘積為”是“兩條直線互相垂直”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件12．已知點在圓外，則直線與圓的位置關(guān)系是（）A．相交B．相切C．相離D．不確定

13．數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖）．給出下列三個結(jié)論：①曲線恰好經(jīng)過6個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）；②曲線上任意一點到原點的距離都不超過；③曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3；其中，所有正確結(jié)論的序號是（）A．①B．②C．①②D．①②③14．已知是平面內(nèi)的三個單位向量，若，則的最小值是（）A．B．C．D．5三、解答題15．已知，，且向量與不共線．（1）若與的夾角為，求；（2）若向量與的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍．16．已知的頂點，邊上的中線所在直線的方程為，的平分線所在直線的方程為，（1）求點坐標；（2）求邊所在的直線方程．17．在中，，，，點為所在平面上一點，滿足（，且）．（1）證明：；（2）若點為的重心，求的值；（3）若點為的外心，求的值．18．（1）已知直線過點，若直線在兩坐標軸上的截距之和為12，求直線的一般式方程；（2）已知直線過點且與軸，軸的正半軸相交于兩點，求面積最小值及這時直線的一般式方程；（3）已知直線經(jīng)過點，且與第一象限的平分線，軸（原點除外）分別交于兩點，直線，射線，軸圍成的三角形的面積為12，則符合要求的直線共有幾條，并說明理由．四、附加題19．已知曲線，直線都過點且互相垂直，若曲線與直線中的至少一條相交，求實數(shù)的取值范圍．20．設(shè)，過兩定點，分別引直線和（斜率都存在），使與曲線有四個不同的交點，當這四個點共圓時，求直線和的交點的軌跡．

參考答案一、填空題1．2．23．4．5．且6．7．8．9．10．，，【第1題解析】由直線的點法向式，得，即．【第2題解析】在上的投影是．【第3題解析】動點的軌跡方程是．【第4題解析】兩直線的法向量為，，，∴兩直線的夾角．【第6題解析】由題意，圓心在過點，直線的垂線上，易得該直線的方程為，即，與聯(lián)立，可求得圓心為，半徑為與的距離，∴所求的圓的方程為．【第7題解析】直線的斜率為，直線與直線不平行即可，∴．【第8題解析】直線與直線的交點為，由可得直線的斜率，∴直線的方程為，即．【第9題解析】記，則，由等系數(shù)和線知識，當點在直線上時，，當點在點處時，由，得此時，當點在點處時，由題意，易得，此時，，，綜上，的取值范圍是．【第10題解析】條件即，表示有且僅有三條不同的直線（不過原點），使得點和點到直線的距離等于．（1）時，易得符合題意的直線為線段的垂直平分線以及直線的兩條平行線和；（2）時，有4條直線會使得點和點到它們的距離相等，注意到不過原點，∴當其中一條直線過原點時，會作為增根被舍去，①作為增根被舍去的直線，過原點和的中點，其方程為，此時，符合；②作為增根被舍去的直線，過原點且以為方向向量，其方程為，此時，符合；綜上，滿足題意的實數(shù)為，，．二、選擇題11．A12．A13．C14．B【第11題解析】必要性的反例：一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在．【第12題解析】由題意，，從而，∴直線與圓相交，選A．【第13題解析】整點僅有6個；，；“心形”區(qū)域的面積，∴①②正確，選C．【后話】所圍面積與所圍面積相等，表示橢圓，將其順指針旋轉(zhuǎn)可得其標準方程，應(yīng)用坐標旋轉(zhuǎn)公式可得標準方程為，∴，由橢圓面積公式可得；還可利用橢圓的長短軸的概念求出曲線上任意一點到原點的距離的取值范圍為．【第14題解析】設(shè)，，則，記，，，，利用共線相似構(gòu)造阿氏圓，，其中，于是，即，從而，選B．三、解答題15．（1）；（2）且與不平行，解得．16．（1）設(shè)，則中點為，∵在的平分線上，且中點在中線上，∴，解得，即點坐標為；（2），直線的斜率為，由，可得，∴邊所在的直線方程為，即．【說明】也可求出點關(guān)于直線的對稱點，直線即為所求．17．（1）；（2）若點為的重心，則，∴，解得；（3）若點為的外心，則，，，∴，即，解得．18．（1）設(shè)直線方程為，由題意，解得或，∴直線的一般式方程為或；（2）設(shè)直線方程為，由題意，由基本不等式，得，當且僅當時等號成立，∴，∴，即面積最小值為12，此時直線的一般式方程為；（3）設(shè)直線方程為，（或），易得，，則，化簡得，①時，即，無實根，②時，即，解得或（舍）∴符合題意的直線只有1條．四、附加題19．若直線中有一條斜率為0，一條斜率不存在，則顯然與其中之一（）相交．下面僅研究斜率都存在的情況，不妨設(shè)的斜率為，則的斜率為，從反面考慮，即存在，使得都與不相交．當時，由圖象可知，曲線與直線必有交點．當時，由，得，，①解得．由，得，，∴，∴，②解得或．由題意，若方程組①②無