2020年中考數(shù)學(xué)專題突破七：最短路徑-費(fèi)馬點(diǎn)問題

專題七:最短路徑一一費(fèi)馬點(diǎn)問題【導(dǎo)例引入】導(dǎo)聞：如因，于形？1獷》中，用H二：A用月為矩形內(nèi)一點(diǎn)，建將見附，PC,則A-4#+3日+周比的最小值是(E-A-4#+3日+周比的最小值是(E-【方法指引】費(fèi)爾馬，法國業(yè)余數(shù)學(xué)家..相有業(yè)余數(shù)學(xué)之王的稱號(hào)，他是解析幾何的發(fā)明者N—?費(fèi)爾馬，法國業(yè)余數(shù)學(xué)家..點(diǎn), 就是到三角九的三個(gè)頂點(diǎn)的代宮之和最小的點(diǎn)：如冕1點(diǎn)，的與F).費(fèi)爾馬的結(jié)論:(1)對(duì)于一個(gè)各角不超過124的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對(duì)各邊的張角都是120°的點(diǎn),⑵對(duì)于有一個(gè)角超過1200的三角形,費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn).下面笥苜說明如何把點(diǎn)尸使它到三個(gè)前點(diǎn)，的百南之和陽+格+干最小?這就是所清的鹿?fàn)栺R問題.圖1 圖1 圖工指引:婦醫(yī)2,把△日區(qū)繞H點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)6C°得至］4產(chǎn)C',連接印'.則△/m‘為等邊三官也，，片,產(chǎn)L=此，所以的+沙+產(chǎn)=時(shí)+傷+產(chǎn)廣.點(diǎn)?？煽闯墒切┒螡睞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)6M而得的定點(diǎn)，B?為定長(zhǎng),所以當(dāng)員巴F,D四點(diǎn)在同一亙線上時(shí)，⑸+冏+8最小.這時(shí)/上網(wǎng)=18-存'=i￡(r—er=1￡。“，二/心乙q/c=iect-匕dF戶1的”一60°=120°,丁即已日6口'一/行峭-/工心玳口。一120'-1200=1*嚴(yán)費(fèi)馬點(diǎn)的特點(diǎn)、：費(fèi)馬點(diǎn)與3個(gè)頂點(diǎn)連成的線段是溝通3點(diǎn)的最矩路線，【導(dǎo)例解析分析】招AB%繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到連接防偈AC,則另歹的長(zhǎng)即為所求.在旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△用7是等邊三角形」?.?凡=行.YPB^EF,：￥A卡B:FnPA'PF+EF..二當(dāng)/,月乃行共線時(shí),織+陽甲7的值最小.ABF.?,四邊形血9是矩形，，乙姐片90。.，tan/由=阮=了./.ZdO5=30°,AC=2AB=^.??'Z5CF=60。，/?//許90°.:（4吹）、62=2招.頡選：B.……【例題精講】類型一二與三角彩有關(guān)的費(fèi)馬點(diǎn)例1.如圖，在△4加中，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)臼，陽，PC,分別以先和4C為一邊向右作等邊三角形△陽?祥口△，⑦.【探究】求證：Fif=FC,^=PA【應(yīng)用】若用=為AC=b>4G=60。，則巧+剛后的最小值是 （用處b表示）【分析】【探究】由等邊三角形的性底得出敵=外4=6比=或Zra/=ZACD=60°,得出/山=N4@>弼△力玲△ZW,得出4矽二巧；

【應(yīng)用】連接劭J由全等三角形的性質(zhì)得出4m4屹AC=8=b)求出/80=/次拚乙位+/反方=120°，作/1交于巳則/的k90°，在Rt/kCZF中，由直角三1 1 G 1角形的性質(zhì)得出CF=EaC=苑，DF=V3CF=2b,求出BF=”Md,由勾股定理求出&=邪產(chǎn)+E產(chǎn)二舊十a(chǎn)b十戶,，即可得出結(jié)論.類型二：與四邊形有關(guān)的費(fèi)馬點(diǎn)例2.已知正方形圈卬內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)笈到4的C三點(diǎn)的題離之和的最小值為求此正方形的邊長(zhǎng).【分析】：連接2C,發(fā)現(xiàn)點(diǎn)6到40C三點(diǎn)的距離之和就是到三個(gè)頊點(diǎn)的距離之和，i文實(shí)際是若爾三1問題的變形，只是背暈不同.【專題過關(guān)】L若息產(chǎn)為△板所在平面上一點(diǎn)，目/力峰宓=120°,則點(diǎn)戶叫做△火的費(fèi)馬點(diǎn).則咫的值為過人耽的費(fèi)若廣為崩角△相。的洼馬點(diǎn),旦/觥=601*=3,氏=4則咫的值為過人耽的費(fèi)(2)如圖8,在猊角a?的外測(cè)作等邊△/1B,連結(jié)四,.求證：88馬點(diǎn)巴旦期'=9+陽+態(tài).馬點(diǎn)巴旦期'=9+陽+態(tài).2. <2019年武漢市)問題背景：如圖1,將△胸繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△*)￡,鹿與無交于點(diǎn)三可推出結(jié)論：PA^PC=PS.問題解決：如圖2,在△財(cái)住卬,潁=6,N月75°,慫0=48點(diǎn)。是小幺用內(nèi)一五,則點(diǎn)。到△幽暗三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是

B乙——?/'0\DAtZ 圖1 圖2.如圖，四邊形AED是正方形，八建是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含E點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將B此繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到Bib連接EN,AJibCM.⑴求證：△AMB絲△ENB;⑵①當(dāng)H點(diǎn)在何處時(shí)，AH+CM的值最?。虎诋?dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+EM十CM的值最小，并說明理由；⑶當(dāng)AH+BM+CN的最小值為居1時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)..問題探究：已知，如國①，△AOR中，OB=3,將AACB縫點(diǎn)。逆時(shí)針旅轉(zhuǎn)90°得△A，OE，，連接BB，，可知BB'=.應(yīng)用：如圖②，已知邊長(zhǎng)為2戶的△A比內(nèi)部一點(diǎn)，連接AP,并將AP順時(shí)針旋車專60°,得到線段AQ,連接DQ,BP,CP.（1》根據(jù)題意,完成囹形;（2）求證：ZABP=ZADQ；<3）求PAH密優(yōu)的最小值.5.如圖（1）>P為AA8C所在平面上一點(diǎn)，fiZAPB=ZBPC=ZCPA=120°,則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).（1）若點(diǎn)P是等邊三角形三條中線的交點(diǎn)，點(diǎn)P（填是或不是）該三角形的費(fèi)馬點(diǎn).<2）如果點(diǎn)P為銳角AABC的費(fèi)馬點(diǎn),且NABO60"求證：AABP^ABCP;<3）已知銳角AABC,分另以AB、AC為邊向外作正AABC和正MCD,CE和BD相交于P點(diǎn)，如圖（2）.①求UCPD的度數(shù)；②求證：P點(diǎn)為AARC的謂馬點(diǎn).,例1.【探究】證明：:以長(zhǎng)和力。為一邊向右作等邊三角形△8晶和△/⑷,:中歸PC,AC=CD,PC=Of,NZOU4⑦=60。.，N心=/M.AC=CD>

乙PCA=乙MCD，在△月)和△為”中, PC=CM， .??“gA%附(3￡》,:,螃尸F(xiàn)A3【應(yīng)用】連接劭，如圖所示./.ZJG^ZZO/,AC=O>=b.：/CK/PCS=.乙區(qū)?乙PCB?"D(3^/KB=乙\6=自0?，Z^=ZZO舛/叫+/；0=60°曲°=120°.作。尸1充于R則/痂9=900.在RtAGF中,???/^7^180。-120"=60°,CD=11坦1b,/.ZCZ￥=30°-：：CF=2AC=^b,LF=^CF=2b,:.B產(chǎn)將b?r—. T](a+%)?+(g)2廠 T.?.W=.qBF“+EF”=yl2 2=y]au+ab+b-蘭氏化跖f共線時(shí)，巧+的區(qū)的值最小，即外十座十苴7的最小值為：4:曲+工；故答案為：而石，仞2 .以A為旅轉(zhuǎn)中心,將△ABE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°ffiijAAMN,連見嗚過跖花MP133交EC的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)，如圖,.'.MN-EE,AN=AE,ZNAE=690?,△ANE為等邊三角形./.AE=NE..二AE+EE"?>］視銀位?當(dāng)AE叱E邢C取最小值時(shí)，折線OEC成為線段，則TA&AM,ZBAM=60",「.△ABM為等邊三角形.x小.-.Z1!BC=15O°,則NPBM=30°.在Rt3E甲,設(shè)BOx>叫上,FB="^xxF所以（嫄動(dòng)產(chǎn)二凌尸+（心珍2所以x=2,二.EO2,即正方形的邊長(zhǎng)為2.【專題過關(guān)】1.（1）利用相似三角形可求"的值為2/.（2）謖點(diǎn)「為銳角△松的群馬點(diǎn)，即4眸/^ON宓=120°如圖8,把△就⑶莞點(diǎn)C順河針旋轉(zhuǎn)60°到△§'CB,連結(jié)兩則△耳C為正三角形.:、々EC=zLAPC=120'》乙FEU彼。?:?/B，EO&EHR0》即巴&B，三點(diǎn)在同一直線上.???/期：三120°,20^60° ,J./^PC-vACPS=180°，即S巴,E三點(diǎn)在同一直線上..'.B,P,E,B'四點(diǎn)在同一直線上，.即助'過△般的費(fèi)馬點(diǎn)P.又PB-PC,斤辰期,「?BB'=EB'+睜PFPA+研FC.Z.（1）證明：如圖1,在比上截取比=做圖1（AB=AD、Z.B=乙。，在△XFG和AW中,lBG=PD:??&4F儂A4Z戶（幺S）.：.AG=AP,功片/^戶.:/劭/=N^P=60°,「?△月中是等邊三角形.???NJGC=6O°=4aPG.???4壓~60°????乙BPC=60°.連接EC、延長(zhǎng)8c到F,使CF=PA，連接EF.??將△血燒點(diǎn)力逆時(shí)針漏專。?！愕玫健?比■,???/￡?duì)?=80°,/麗產(chǎn)600.\AE=ACf是竽邊三角形.：,AE=EC=AC.丁/陽研4所4斯180。,ABCF^ZACE^ZACB=1800,4kzz^60。,Nd皮=//G5j"PAE=乙ECF.AE=EC>

lEAP=乙ECF、在AJ勢(shì)和△次中, PA=CF' :'￡1AP^4SCFqSAS)?:,PE=P?.：.PA^PC=PE>（3）如圖2,以加?為邊作等邊三龜形△融，以軀為邊作等邊△幽.連接四，作"1幽，交，圾的延長(zhǎng)線于產(chǎn).「△M^和△腌是等邊三角形，?.比二小尸修.，/掰"N?；?60°一格二極?「.N（簫9="F.OM=ME，

lGMO-lDME，在△掰?和底中JA/C=MD）「?△翩必△/修（幺S）?：.0G=DE.：?蹌階煤戶DE+QE+蠅.J當(dāng)D,瓦。盛四點(diǎn)共線時(shí)，購金極值最小.??^^?17=75°》/物=600》/.Z/W=1350..二乙胞片45°?丁裕=4/..?/行/=必：.^F=^^F=6+4=10.:.岫=那戶+DF。=7102+4：=2p.，設(shè)片g■光最小值為20,故答案為20.3.⑴???△郵是等邊三角形，??B4=BE,ZAEE=60°.VZJiffiN=60°>：.ZKBN-ZAEN=ZABE-Z^BN,即ZEMA=/NEE.又?「ME=1IB，.二△aME絲人睡（SAS）.

⑵①當(dāng)M⑵①當(dāng)M點(diǎn)、落在ED的中點(diǎn)時(shí),AM+CW的值最小.②如圖，連接克.當(dāng)H點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí),AM+BN+CM的值最小.理由如下：連接1皿由⑴如,△ambsaenb；/.M=EN.VZJiffiN=60°>MB=NB,「.AEHN是等邊三角形.「?AM+BM+CM=EN+W+CM.根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短“，得EIT十MN十CH=EC最短11分，當(dāng)兒點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，即等于EC11分⑶過E點(diǎn)任EF1BC交CE的延長(zhǎng)線于f,??/幽=9。°一60°=300-j X沒正方形的邊長(zhǎng)為x,則BF=2x,EF=2.在Rt2lEFC中，.?即二+fc=e%x事丁.(2)二+(2 ;=(/+1);解得，(舍去負(fù)值).???正方形的邊長(zhǎng)為您.4.由旅轉(zhuǎn)可得，OB=OB‘=3,ZB0B7=球，??.△BOB'是等腰直角三角形???.EB,=舊+為在故答案為：3M.應(yīng)用：(1)如圖所示：.(2)證明：?.?△AED是等邊三角形，JNBAD=60lAD=AB.TAP順時(shí)針誨專60°,得到線段AQ,，NPiQ=60°,AQ=AP,?..NBAD=NPAQ./.Zdaq=/bap.AQ=AP、

jlDAQ=z.BAP、在ADAQ和△EAP中， AD=AB）.\AdAQ^ABAP（SAS）..b.ZABF=ZAD25（3）如圖②，連接PQ,-.'ZPAGr60°，A￡EP,???△AFQ是等邊三房形.，AP=F9.由〈2)可得,ADAQ^AEAF..-.BP-QD.當(dāng)C>巴Q>D并線時(shí)，CP十FQMCD(最短》，此時(shí)，F(xiàn)A仔E加C最短.1設(shè)AE與CD交于點(diǎn)0.??心般2代ZCAD=12O°>RtAACC中，AO^AU=a^;.,.CO=^AO=3.同理可得OD=3.「.0>3.的最小值為6.3.(1)如圖1所示：\AB=BC,BM是AC的中線，，MB平分/ABC.同理AN平分/BAGPC平分NbCA.'.'△ABC為等邊三角形,二.NABP=30°,ZBAP=3O°..-.Zapb=12O°.同理々APC=12?！?/BPC=120°.，P是AABC的芟馬點(diǎn).報(bào)答案為：是.（2）*.*ZPAB+ZPBA=1800-Zapb=6O°.Npbc+Npba=ZABC=60°,.-.Zpab=Zpbc.又Zapb=Zbpc=12O°,Aabp^Abcp.（3）如圖2所示：

① ;△ABE與4ACD都為等邊三角形J???NBAE=NCAD=603AE=AB,AC=AD.AC=