中考專題解析-切線證明

切理

.—圓切１切２

經(jīng)經(jīng)切理:

經(jīng)切線定:

從圓一、要明某直線圓的切，如果知直線圓上的一個點那么作出【例1如圖1已知AB為O的直徑點在的延長上BD＝，點C圓上∠＝．求證：是⊙O切線．

CA

O

B

D圖思路要想證明DC是⊙O的切線，只要我們連接，證明∠＝即可．證明連接OCBC∵為⊙O的直徑，∴∠ACB＝．∵∠＝30o，∴BC＝＝．∵BD＝，∴BCOD．∴∠＝90o．∴是⊙O切線．【】經(jīng)過半”和“垂直于”這檔..【例圖已知為⊙O的直徑過點作⊙O的切線BC接OC，弦AD∥．求證是⊙O的切．A

O

B圖思路中既圓的線是知條證明一條線是的切也就是要注運用的切的性定理又要運用圓的切線的判定明是⊙切線只要∠＝90o可．證明連接．∵OC∥AD∴∠＝∠，∠2∠．∵OA＝OD，∴∠＝2．∴∠3＝∠4．又∵OB＝OD，OC＝，∴△eq\o\ac(△,≌)．∴∠OBC＝∠ODC．∵BC是⊙的切線∴∠OBC＝90o．∴∠＝90o．∴是⊙O切線．【例如圖，已知為⊙O的直徑C⊙O一點AD和過點的切線互垂直，足為．求證AC平分∠．D

CA

O

B圖檔..思路：利用圓的切線的性質(zhì)——與圓的切線垂直于過切點的半徑．證明：連接．∵是⊙O的切線，∴OC⊥CD．∵AD⊥，∴∥AD．∴∠1∠．∵OC＝，∴∠＝∠．∴∠＝∠．∴AC平分∠．【評析已一條直是某圓的線時切線的位置一般確定的在解決有關(guān)圓切線問時輔助線常是連接心與切得到半徑那么徑垂直切線．【例4】如圖1、C是⊙上的點，段經(jīng)過心O連接AC、BC，過點作⊥AB于，∠∠．AC是⊙的切線嗎為什么？解：AC是⊙的切線．理由：接，∵OC=，∴∠=∠B．∵∠eq\o\ac(△,是)外，∴∠∠+∠B=2∠B．∵∠ACD∠，∴∠ACD=∠COD．∵CD⊥AB于，∴∠∠COD．∴∠∠ACD=90°．即OC⊥AC．∵C為⊙上的點，∴AC是⊙的切線．檔..【例】知Ｏ的外接，是⊙Ｏ的徑D是的延長上的一，AE⊥交DC的延長線于點，且AC平分∠EAB．求證：是O的切．證明連接，則A=，∴∠=ACO，∵AC平分∠，∴∠=∠CAO=∠ACＯ，∴AE∥，又AE⊥DE，∴⊥DE，∴是的切線．二、直線與的公共點未知時須通過圓心作已知直線的垂直線段，證明此垂段等半徑例】AB=ACB=OC，⊙與AB相切于點．求證：AC是⊙O的切線檔.⌒⌒⌒.證明:連接D，作E⊥AC，垂足為．∵AB=AC,=．∴AO為∠BAC角平分線，∠DAO=∠EAO∵⊙O與AB相于點D，∴∠=CEO=90°．AO=AOeq\o\ac(△,∴)≌△AEO，所以O(shè)=D．∵O是⊙的徑∴是⊙的．∴⊙與AC邊相切．【例7如圖在eq\o\ac(△,，)ABC中以AB為直徑⊙O交BC于D交AC于E，為切點的切線交延長線于F.求證EF與⊙O切：連結(jié)OE，AD.∵AB⊙的直，∴⊥BC.又∵AB=BC，∴∠3=∠4.∴BD=DE，∠∠2.又∵，eq\o\ac(△,∴)BOF≌△（SAS）.∴∠∠檔..∵BF與⊙相，∴OB⊥BF.∴∠OEF=900.∴EF與⊙切說題是通過證三角形全等證明垂直的【例8如圖，是∠BAC的平分線，P為延長線上一，且PA=PD.求證：A⊙切證徑，連結(jié)∵是∠BAC平線，DAB=∠DAC.∵PA=PD，1+∠∵∠2=∠∠，1=∠又∵∠B=∠，∵AE是⊙O徑，∴AC⊥，∠E+∠0.∴∠1+∠

.

即OA⊥∴A⊙切證

：

延長交⊙于，連結(jié)OA，∵是∠BAC平分，⌒⌒∴，∴⊥BC.∴∠E+∠BDE=900.檔..∵OA=OE，∴∠E=∠1.∵PA=PD，∴∠∠又∵PDA=∠∴∠∠即OA⊥PA.∴AO相切說證解.【例9，AB=AC，⊙的直徑⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求證：DM與⊙O相切.證：結(jié)OD.∵，∴∠B=C.∵OB=OD，∴∠∠∴∠∠C.∴OD∥∵DM⊥，∴DM⊥OD.∴DM與⊙O相切證：結(jié)OD，AD.∵AB⊙的徑，∴⊥BC.又∵AB=AC,∴∠∠2.

D∵DM⊥，∴∠∠∵OA=OD，

C檔..∴∠∠3.∴∠∠4=90

.即OD⊥DM.∴DM是⊙O的線說明一是通過證平行來證垂直的.證二是通過兩角互余證明垂直的，解題中注意充分利已知及圖上已知.【例10如圖已知AB⊙O的徑，點在⊙O上，∠BD=OB，D在AB的延長上.求證：是⊙O的線

，證連結(jié)OCBC.∵∴∠∠1=∠0.∴∠∠A+∠1=60又∵OC=OB，

.eq\o\ac(△,∴)OBC

是等三形.∴OB=BC.∵OB=BD，∴∴OC⊥∴是⊙O的切線.說題解法頗，但這種方法較好檔.

D.【例】AB是⊙O的直徑，⊥AB，且2·求證PC⊙切線證連結(jié)∵OA=OD·OP，OA=OC，∴OC

·，ODOC又∠∠，∴△∽△ODC.∴∠∠ODC.∵CD⊥，∴∠OCP=90

.∴PC⊙O切線說題是通過證三角形相似明垂直的【例】是正G是BC延長線上一點AG交BD于E，交CD于求證CE與CFG的接圓切.分此題圖上沒有畫eq\o\ac(△,出)CFG的外圓但eq\o\ac(△,，)是直角三角形，圓心在斜邊FG的中點為此我取中O，連結(jié)OC證明CEOC即得解.檔..：取FG中點，結(jié)OC.∵ABCD是正方形，∴BCCDeq\o\ac(△,，)Rteq\o\ac(△,是)∵是FG中點，∴Rteq\o\ac(△,是)CFG的.∵OC=OG，∴∠3=∠G，∵∥，∴∠G=∠4.∵AD=CD，，∠ADE=∠，eq\o\ac(△,∴)ADEeq\o\ac(△,≌)CDE（SAS）∴∠∠1，1=∠3.∠2+∠,∴∠∠2=90.即⊥OC.與eq\o\ac(△,∴)的接圓切線l與⊙沒有已知的公共點，又明l是O的需作OAl，A明OA是O半徑行了稱作垂直；”【例14如，，D為BC中點，⊙D與AB于E點求證：與D相切檔..明一：結(jié)，作DF⊥F垂.∵AB是D的切線，∴DE⊥AB.∵⊥AC，∴∠DEB=∠0.∵AB=AC，∴∠B=C.又∵BD=CD，eq\o\ac(△,∴)BDE

eq\o\ac(△,≌)CDF（）∴∴F⊙D上∴AC是D的線明二：結(jié)，AD，作DF⊥F是垂.∵AB與D相，∴⊥AB.∵BD=CD，∴∠∠2.∵⊥，DF⊥，∴∴F在⊙上∴AC與D相切.說：證明一是過證明三角全等證明DF=DE的，證二是利用平分線的性質(zhì)明的這類習題數(shù)與角平分線有【例15已知圖與⊙切AAC∥BD∠COD=900.