2022-2023學(xué)年甘肅省蘭州高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年甘肅省蘭州高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．?dāng)?shù)列，，，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)選項(xiàng)進(jìn)行逐一驗(yàn)證，可得答案.【詳解】選項(xiàng)A.,當(dāng)時(shí)，無(wú)意義.所以A不正確.選項(xiàng)B.,當(dāng)時(shí)，，故B不正確.選項(xiàng)C.，，，所以滿足.故C正確.選項(xiàng)D.,當(dāng)時(shí),,故D不正確.故選：C2．雙曲線的漸近線方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)焦點(diǎn)在橫軸上雙曲線的漸近線方程直接求解即可.【詳解】由題得雙曲線的方程為，所以，所以漸近線方程為．故選：D3．已知等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求得正確答案.【詳解】，由題意可得.故選：B4．若直線截取圓所得弦長(zhǎng)為2，則（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得直線過(guò)圓的圓心，進(jìn)而可求解.【詳解】因?yàn)閳A的半徑為1，直徑為2，故直線過(guò)的圓心，故，解得.故選：C5．已知圓與拋物線交于，兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于，兩點(diǎn)，若四邊形是矩形，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題，結(jié)合拋物線與圓的對(duì)稱(chēng)性得弦為拋物線的通徑，進(jìn)而有，解方程即可得答案.【詳解】解：因?yàn)樗倪呅问蔷匦危杂蓲佄锞€與圓的對(duì)稱(chēng)性知：弦為拋物線的通徑，因?yàn)閳A的半徑為，拋物線的通徑為，所以有：，解得故選：D6．已知橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由橢圓的定義結(jié)合已知求得，再由求得的不等關(guān)系，即可求得離心率的取值范圍.【詳解】由橢圓的定義得，又∵，∴，，而，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在橢圓右頂點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，即，即，則，即.故選：D．7．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P是C上位于第一象限的一點(diǎn)，且，則的面積為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理、雙曲線定義求出，再利用三角形的面積公式計(jì)算可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，由雙曲線的定義可得，所以，解得，故的面積為．故選：B.8．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)分別在雙曲線的左?右兩支上，，且點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件及雙曲線的定義，再利用矩形的性質(zhì)及勾股定理，結(jié)合雙曲線的離心率公式即可求解.【詳解】如圖所示設(shè)，則，，，因?yàn)?，所以，則四邊形是矩形，在中，，即，解得，在中，，即，于是有，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：A.二、多選題9．已知圓和圓的交點(diǎn)為A，B，則（

）．A．兩圓的圓心距B．直線的方程為C．圓上存在兩點(diǎn)P和Q使得D．圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為【答案】BD【分析】對(duì)于A，根據(jù)兩個(gè)圓的方程先得到兩個(gè)圓心坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間距離公式即可求解；對(duì)于B，兩圓作差即可得公共弦的方程；對(duì)于C，根據(jù)直線經(jīng)過(guò)圓的圓心即可判斷；對(duì)于D，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為圓心到直線的距離加上半徑即可求解.【詳解】由圓和圓，可得圓和圓，則圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，對(duì)于A，兩圓的圓心距，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，將兩圓方程作差可得，即得直線的方程為，故B正確；對(duì)于C，直線經(jīng)過(guò)圓的圓心坐標(biāo)，所以線段是圓的直徑，故圓中不存在比長(zhǎng)的弦，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓心到直線的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為，故D正確.故選：BD.10．已知M是橢圓上一點(diǎn)，，是其左右焦點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．橢圓的焦距為2 B．橢圓的離心率C．橢圓的短軸長(zhǎng)為4 D．的面積的最大值是4【答案】BCD【分析】由題意可得，即可判斷A，B，C；當(dāng)M為橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，以為底時(shí)的高最大，面積最大，求出面積的最大值即可判斷.【詳解】解：因橢圓方程為，所以，所以橢圓的焦距為，離心率，短軸長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤，B,C正確；對(duì)于D，當(dāng)M為橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，以為底時(shí)的高最大，為2,此時(shí)的面積取最大為,故正確.故選：BCD.11．關(guān)于及其二項(xiàng)展開(kāi)式，下列說(shuō)法正確的是（

）A．該二項(xiàng)展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為B．該二項(xiàng)展開(kāi)式中第8項(xiàng)為C．當(dāng)時(shí)，除以100的余數(shù)是9D．該二項(xiàng)展開(kāi)式中不含有理項(xiàng)【答案】BC【分析】對(duì)于A，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，由公式可得答案；對(duì)于B，根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，令時(shí)，可得答案；對(duì)于C，根據(jù)二項(xiàng)式定理，結(jié)合帶余除法的變換等式，可得答案；對(duì)于D，利用二項(xiàng)式定理通項(xiàng)，使的指數(shù)為整數(shù)，可得答案.【詳解】偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故A錯(cuò)誤；展開(kāi)式中第8項(xiàng)為，故B正確；當(dāng)時(shí)，，∵，除以100的余數(shù)是9，∴當(dāng)時(shí)，除以100的余數(shù)是9，故C正確；的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，當(dāng)為整數(shù)，即時(shí)，為有理項(xiàng)，故D錯(cuò)誤．故選：BC．12．設(shè)的左右焦點(diǎn)為，．過(guò)右焦點(diǎn)向雙曲線的一條漸近線引垂線，垂足為A，交另一條漸近線于點(diǎn)B，若，則下列判斷正確的是（

）A．雙曲線漸近線方程為B．離心率為C．它和雙曲線共用一對(duì)漸近線D．過(guò)點(diǎn)且和雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線，共有兩條【答案】BC【分析】根據(jù)題意先求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)求出B點(diǎn)坐標(biāo)，代入另一條漸近線方程中，得到一個(gè)等式，利用漸近線的性質(zhì)，結(jié)合漸近線方程、離心率公式、以及一元二次方程根的判別式判斷即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)向雙曲線的漸近線引垂線，垂足為A，所以的斜率為，因?yàn)榈淖鴺?biāo)為，所以直線的方程為：，與聯(lián)立，解得，設(shè)，因?yàn)?，所以有，所以，代入中，得：A：因?yàn)?，雙曲線漸近線方程為，故本判斷不正確；B：由，故本判斷正確；C：，所以該雙曲線的漸近線方程為：，故本判斷正確；D：，因此雙曲線方程為：設(shè)過(guò)的直線方程為，代入雙曲線方程中得：，當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣有二條，當(dāng)時(shí)，由根的判別式為零，得，可得：，這樣的直線有二條，因此本判斷不正確，故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過(guò)已知求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)求出B點(diǎn)坐標(biāo).三、填空題13．若直線與垂直，則實(shí)數(shù)m＝__．【答案】6【分析】根據(jù)兩直線垂直時(shí)，斜率乘積為-1，解方程求得m的值．【詳解】由直線且斜率存在，則直線，由直線與垂直，則解得.故答案為：6．14．如圖，正方形內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖.勤勞而充滿智慧的我國(guó)古代勞動(dòng)人民曾用太極圖解釋宇宙現(xiàn)象.太極圖由正方形的內(nèi)切圓(簡(jiǎn)稱(chēng)大圓)和兩個(gè)互相外切且半徑相等的圓(簡(jiǎn)稱(chēng)小圓)的半圓弧組成，兩個(gè)小圓與大圓均內(nèi)切.若正方形的邊長(zhǎng)為8，則以兩個(gè)小圓的圓心(圖中兩個(gè)黑白點(diǎn)視為小圓的圓心)為焦點(diǎn)，正方形對(duì)角線所在直線為漸近線的雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)是_______.【答案】【分析】由題得雙曲線的漸近線方程為，，故，進(jìn)而得，故實(shí)軸為.【詳解】解：以兩焦點(diǎn)所在直線為軸，兩焦點(diǎn)所在線段的中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的焦距為，由題意得雙曲線的漸近線方程為，，所以，進(jìn)而得.故雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為：.故答案為：【點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)建立適當(dāng)坐標(biāo)系，進(jìn)而根據(jù)題意得該雙曲線的漸近線為，，進(jìn)而求解，考查數(shù)學(xué)建模能力與運(yùn)算求解能力，是中檔題.15．第5屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)在上海舉行，某高校派出了包括甲同學(xué)在內(nèi)的4名同學(xué)參加了連續(xù)5天的志愿者活動(dòng)．已知甲同學(xué)參加了2天的活動(dòng)，其余同學(xué)各參加了1天的活動(dòng)，則甲同學(xué)參加連續(xù)兩天活動(dòng)的概率為_(kāi)_____．（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）【答案】##【分析】根據(jù)古典概型的概率公式，結(jié)合排列數(shù)、組合數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】“甲同學(xué)參加了2天的活動(dòng)，其余同學(xué)各參加了1天的活動(dòng)”共有種可能，“甲同學(xué)參加連續(xù)兩天活動(dòng)”共有種可能，故甲同學(xué)參加連續(xù)兩天活動(dòng)的概率.故答案為：.16．已知橢圓C：的左?右焦點(diǎn)分別為?，M為橢圓C上任意一點(diǎn)，N為圓E：上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【分析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合橢圓和圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖，由為橢圓上任意一點(diǎn)，則，又為圓上任意一點(diǎn)，則（當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E共線時(shí)取等號(hào)），∴，當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E、共線時(shí)等號(hào)成立.∵，，則，∴的最小值為，當(dāng)共線時(shí)，最大，如下圖所示：，最大值為，所以的取值范圍為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用橢圓的定義和橢圓、圓的幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.四、解答題17．已知數(shù)列為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且滿足(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)令求數(shù)列的前n項(xiàng)和；【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到，根據(jù)通項(xiàng)公式的求法得到結(jié)果；（2）分組求和即可.【詳解】（1）設(shè)的公差為,由已知,有解得，所以的通項(xiàng)公式為,的通項(xiàng)公式為.（2），分組求和，分別根據(jù)等比數(shù)列求和公式與等差數(shù)列求和公式得到：.18．已知圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)（4，0），且圓心在x軸上(1)求圓C的方程；(2)已知直線l：與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，求所得弦長(zhǎng)的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出圓心和半徑，寫(xiě)出圓的方程；（2）求出圓心到直線距離，進(jìn)而利用垂徑定理求出弦長(zhǎng).【詳解】（1）由題意可得，圓心為(2，0)，半徑為2．則圓的方程為；（2）由（1）可知：圓C半徑為，設(shè)圓心（2，0）到l的距離為d，則，由垂徑定理得：．19．已知是直線l被橢圓所截得的線段的中點(diǎn)，求直線l的方程．【答案】.【分析】中點(diǎn)弦問(wèn)題，可以采用點(diǎn)差法求解，或聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.【詳解】由題意可知l斜率必存在，設(shè)l斜率為，則直線的方程為，代入橢圓的方程化簡(jiǎn)得，設(shè)，∵，∴，解得，故直線l的方程為：.另解：由題知在橢圓內(nèi)，設(shè)直線與橢圓相交于點(diǎn)，易知直線斜率存在，設(shè)斜率為，∵在橢圓上，，①－②得，即，即，解得.∴直線的方程為，整理得.20．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F?，F(xiàn)?，動(dòng)點(diǎn)M滿足||MF?|-|MF?||=4.(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程：(2)已知點(diǎn)A(-2，0)，B(2，0)，當(dāng)點(diǎn)M與A，B不重合時(shí)，設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k?，k?，證明:為定值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由橢圓方程得出焦點(diǎn)坐標(biāo)，由已知分析動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，根據(jù)定義利用待定系數(shù)法設(shè)方程，求出相關(guān)的量即可；（2）設(shè)設(shè)，代入方程中化簡(jiǎn)得的表達(dá)式，利用斜率公式寫(xiě)出的表達(dá)式，化簡(jiǎn)即可【詳解】（1）由橢圓知：所以左、右焦點(diǎn)分別為因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)M滿足||MF?|-|MF?||=4所以動(dòng)點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的雙曲線上，設(shè)動(dòng)點(diǎn)設(shè)方程為：由雙曲線的定義得：所以所以動(dòng)點(diǎn)設(shè)方程為：（2）設(shè)則由所以所以.21．已知雙曲線：與雙曲線的漸近線相同，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，直線經(jīng)過(guò)，傾斜角為，與雙曲線交于兩點(diǎn)，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)共漸近線設(shè)出雙曲線方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可得解；（2）根據(jù)題意求出直線的方程，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，消去后由韋達(dá)定理得，從而由弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)，再求出到直線距離后即可求得的面積．【詳解】（1）依題意，設(shè)所求雙曲線方程為，代入點(diǎn)得，即，所以雙曲線方程為，即．（2）由（1）得，則，，，又直線傾斜角為，則，故直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立，消去，得，則，，，由弦長(zhǎng)公式得，又點(diǎn)到直線的距離，所以．22．已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為.(1)求拋物線的方程；(2)點(diǎn)在拋物線上，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，直線分別與直線、交于點(diǎn)、（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且.求證：直線過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由已知可得，利用拋物線的定義可得出關(guān)于的等式，結(jié)合可求得的值，即可得出拋物線的方程；（2）分析可知直線的斜率存在且大于，設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程，列出韋達(dá)定理，求出直線、的方程，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，分析可知點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式結(jié)合韋達(dá)定理求出的值，即可得解.【詳解】（1）解：由點(diǎn)在拋物線上可得，，解得.由拋物線的定義可得，整理得，解得或（舍去）.故拋物線的方程為.（2）證明：由在拋物線上可得，解得，所以，則直線的方程為.易知且、均不為，易知，因?yàn)?，，，所以，直線的斜率存在且大于，設(shè)直線的方程為，聯(lián)