隨機(jī)誤差概率密度的正態(tài)分布

隨機(jī)誤差概率密度的正態(tài)分布第1頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

隨機(jī)誤差的頻率直方圖ni/n

δ0.150.100.050.040.02-0.02-0.040ni為在范圍內(nèi)出現(xiàn)的次數(shù)第2頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

隨機(jī)誤差的概率密度分布曲線圖f(δ)

δF(δ)ⅡⅠf(δ)dδdδ概率密度：與分布函數(shù)互為微積分關(guān)系分布函數(shù)第3頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日一、隨機(jī)誤差的特點(diǎn)測(cè)試條件：研究對(duì)象在無(wú)系統(tǒng)誤差且無(wú)粗差的獨(dú)立的等精度實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

特點(diǎn)：⑴對(duì)稱性：絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差概率密度分布曲線對(duì)稱于縱軸。⑵抵償性：相同條件下,當(dāng)測(cè)量次數(shù)n趨于∞時(shí),全體誤差的代數(shù)和為0。⑶單峰性：絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差的概率密度大,在δ=0處概率最大.⑷有界性：絕對(duì)值很大的誤差幾乎不出現(xiàn)。第4頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二、概率密度的正態(tài)分布1、隨機(jī)誤差必然服從正態(tài)分布，其概率密度可由高斯方程描述。它們的概率密度分布曲線又稱之為正態(tài)分布曲線。2、標(biāo)準(zhǔn)誤差σ越小,精密度指數(shù)h越大,正態(tài)分布曲線越陡,小誤差的概率密度越大，測(cè)量值越集中,測(cè)量精密度越高。

第5頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

隨機(jī)誤差正態(tài)分布曲線圖?(δ)

δ?(δ)dδ-σ′′-σ′-σσ

σ′σ′′

拐點(diǎn)

1/(σ√2πe)

1/(σ√2π)h>h′>h′′σ<σ′<σ′′?(δ)?′(δ)?′′(δ)第6頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日3、σ（曲線的拐點(diǎn)）的大小說(shuō)明了測(cè)量值的離散性,故等精度測(cè)量是一種σ值相同的測(cè)量。4、正態(tài)分布曲線的關(guān)鍵點(diǎn)峰點(diǎn)坐標(biāo)：拐點(diǎn)坐標(biāo)：概率：

σ第7頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日一、算是平均值與數(shù)學(xué)期望值

1.算是平均值:2.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義為隨機(jī)變量的一階原點(diǎn)距，記為：

它表示了隨機(jī)變量的中心位置。第四節(jié)算術(shù)平均值與標(biāo)準(zhǔn)誤差第8頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

圖1—2測(cè)量值的概率密度分布曲線?(x)

1/σ√2πe?max(δ)0X0-σX0X0+σX第9頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日數(shù)學(xué)期望實(shí)際上就是全體測(cè)量值依概率的平均數(shù)。對(duì)于正態(tài)分布，上式積分后可得：正態(tài)分布重要特征之一：全體測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望就是測(cè)量值的真值。在未知x0的情況下，對(duì)于有限測(cè)量列，可以利用算術(shù)平均值x代替真值x0，用測(cè)量偏差或殘余誤差（簡(jiǎn)稱殘差）vi=xi-x代替測(cè)量誤差δi=xi-x0第10頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二、方差與標(biāo)準(zhǔn)誤差方差定義為隨機(jī)變量的二階中心距，它表征了隨機(jī)變量相對(duì)于其中心位置（數(shù)學(xué)期望）的離散程度。對(duì)于全體測(cè)量值來(lái)說(shuō)，母體的方差Dx表征了測(cè)量值相對(duì)于其真值X0的離散程度。

標(biāo)準(zhǔn)誤差σ是方差Dx的均方根值，這也是標(biāo)準(zhǔn)誤差σ又稱均方根誤差的原因。第11頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日置信區(qū)間：就是隨機(jī)變量的范圍±(-L—L)表示又：±L=±Zσ

Z為置信系數(shù)，Z=L/σ置信限：L=Zσ置信概率φ(Z)：隨機(jī)變量在置信區(qū)間內(nèi)取值的概率.置信度：結(jié)合置信區(qū)間與置信概率置信水平α(Z)：隨機(jī)變量在置信區(qū)間外取值的概率第五節(jié)置信區(qū)間與置信概率第12頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

圖1—5 置信區(qū)間與置信概率?(0)δ1/2α置信區(qū)間±(L)1/2α置信概率P=φ(z)=1-α第13頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

Zφ(Z)Zφ(Z)Zφ(Z)Zφ(Z)00.000000.90.631881.90.942572.70.993070.10.079661.00.682691.960.950002.80.994890.20.158521.10.728672.00.954502.90.996270.30.235851.20.769862.10.964273.00.997300.40.310841.30.806402.20.972193.50.995350.50.382931.40.838492.30.978554.00.999370.60.451491.50.866392.40.983614.50.999930.67450.500001.60.890402.50.987585.00.999990.70.516071.70.910872.580.99012∞1.000000.80.576291.80.928142.60.99068第14頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日Z(yǔ)=1時(shí)，置信區(qū)間：±σ

置信概率φ(Z)=0.683=68.3%置信水平α(Z)=0.317=31.7%Z=2或Z=3時(shí)，置信區(qū)間：±2σ或±3σ

置信水平α(Z)=5%或置信水平α(Z)=0.3%故極限誤差Δ=δlim=±2σ或±3σ

第15頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日原始數(shù)據(jù)必須實(shí)事求是地記錄，并注明有關(guān)情況。在整理數(shù)據(jù)時(shí)，再舍棄上述有明顯錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)?；痉椒ㄊ墙o出一個(gè)置信水平值（常給定α=0.05或0.01），然后確定相應(yīng)的置信區(qū)間，則超過(guò)此區(qū)間的誤差被認(rèn)為是粗差，相應(yīng)的測(cè)量值予以舍棄。常用這兩種方法：

1）拉依達(dá)準(zhǔn)則

2）格拉布斯準(zhǔn)則第六節(jié)粗差的判別與壞值的舍棄

第16頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日一、系統(tǒng)誤差是一種恒定不變的或按一定規(guī)律變化的誤差.⒈恒定系差誤差的大小和符號(hào)固定不變。例如,儀器儀表的固有(基本)誤差;工業(yè)儀表檢驗(yàn)時(shí),標(biāo)準(zhǔn)表的誤差會(huì)引起被校表的恒定系差;儀表零點(diǎn)的偏高或偏低,觀察者讀數(shù)時(shí)的角度不正確(對(duì)模擬式儀表而言)等所應(yīng)引起的誤差均屬此類.⒉變化系差是一種按照一定規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差.可分為累計(jì)性系差、周期性系差及復(fù)雜變化系差等.累計(jì)性系差:是一種在測(cè)量過(guò)程中,隨著時(shí)間的增長(zhǎng),誤差逐漸加大或減少的系差.它可以是隨時(shí)間作線性變化(稱線性系差),見(jiàn)圖中直線b,也可以是非線性變化的(見(jiàn)圖中曲線c).其原因往往是由于元件的老化、磨損,以及工作電池的電壓或電流隨使用時(shí)間的加長(zhǎng)而緩慢降低等而引起,例如電位差計(jì)中,滑線電阻的磨損,工作電池電壓隨放電時(shí)間的加長(zhǎng)而降低等

第七節(jié)系統(tǒng)誤差

第17頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日系統(tǒng)誤差的變化特征εa恒定系差b累計(jì)性系差c累計(jì)性系差d周期性系差e復(fù)雜變化的系差t0第18頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二、系差的消除方法⒈交換法在測(cè)量過(guò)程中,將引起系差的某些條件(如被測(cè)量的位置)相互交換,而保持其它條件不變,使產(chǎn)生系差的因數(shù)對(duì)測(cè)量結(jié)果起相反作用,從而抵消了系差.⒉上、下讀數(shù)法或換向法儀表測(cè)量機(jī)構(gòu)的空程或間隙等的影響會(huì)造成誤差,取上行讀數(shù)和下行讀數(shù)的平均值可以消除這部分系差.⒊校準(zhǔn)法恒定系差用偶然誤差的處理方法難以判斷和消除.如果測(cè)量?jī)x器本身存在恒定系差,只能用標(biāo)準(zhǔn)表進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)檢驗(yàn)或送檢的辦法解決.經(jīng)過(guò)檢定.儀表可以得到不同示值下的修正曲線或數(shù)表.⒋補(bǔ)償法在測(cè)量過(guò)程中,由于某個(gè)條件的變化或儀器的某個(gè)環(huán)節(jié)的非線性特性等會(huì)引入變化的系差.此時(shí)常在測(cè)量系統(tǒng)中采取補(bǔ)償措施,以便在測(cè)量過(guò)程中自動(dòng)消除系差.如用熱電偶測(cè)量溫度時(shí),其參比端溫度的變化會(huì)引入變化系差,減弱或消除的較好辦法是在測(cè)量系統(tǒng)中加冷端補(bǔ)償器,則可起到自動(dòng)補(bǔ)償?shù)淖饔玫?。第19頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日U0調(diào)R0

，使其平衡輸出值為零則:R1R2R0RxABCDUR1R2RxR0ABCDU交換R0與RX的位置,再調(diào)R0

，使其平衡輸出值為零則:第20頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日三、系統(tǒng)誤差的估計(jì)方法⒈恒定系差的估計(jì)恒定系差：修正值：測(cè)量值誤差平均值⒉變化系差的估計(jì)精確：以函數(shù)關(guān)系式或?qū)嶒?yàn)公式描述一般：估計(jì)出變化系差的上/下限值b和a.設(shè)a<b，ε=（a+b）/2（恒定部分）e=（b－a）/2（幅值）第21頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日直接檢測(cè)量將誤差傳遞給間接檢測(cè)量。一、間接測(cè)量中系統(tǒng)誤差的傳遞二、間接測(cè)量中隨機(jī)誤差的傳遞如果直接檢測(cè)的各個(gè)量之間彼此相關(guān)，間接檢測(cè)量的計(jì)算將十分復(fù)雜，應(yīng)設(shè)法將相關(guān)量轉(zhuǎn)化為獨(dú)立量來(lái)計(jì)算。（去耦）第八節(jié)誤差的傳遞

第22頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日一、隨機(jī)誤差的合成按方和根法得到它們的標(biāo)準(zhǔn)誤差:

二、系統(tǒng)誤差的合成1、恒定系差的合成可按代數(shù)和法合成：當(dāng)誤差項(xiàng)數(shù)較多時(shí)，一般情況下按方和根法合成較好。第九節(jié)誤差的合成

第23頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.變值系差的合成第j個(gè)系差的誤差區(qū)間為[aj,bj]系統(tǒng)不確定度為：ej=1/2(bj-aj)標(biāo)準(zhǔn)誤差為：σj=ej/kj（系統(tǒng)不確定度或極限誤差與置信系數(shù)之比）合成方法：（1）線性相加法：

e=e1+e2+e3+?

?

?

?

?

?+en（2）方和根法：

e=√e12+e22+e32+?

?

?

?

?

?+en2（3）廣義方和根法：將各變值系差的系統(tǒng)不確定度轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)誤差，用方和根法合成后，得到總的標(biāo)準(zhǔn)誤差，再轉(zhuǎn)化為總的系統(tǒng)不確定度。第24頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

三、隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差的合成1.線性相加法:g=e+Δ線性相加的結(jié)果，綜合不確定度g偏大。2.方和根法：g=√e2+Δ23.廣義方和根法第25頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日四、最后結(jié)果的表示（1）隨機(jī)不確定度（又稱A類不確定度）與系統(tǒng)不確定度（又稱B類不確定度）在結(jié)果中分別標(biāo)明。最后結(jié)果可表示為：M=（±Δ,±e）式中，M為被測(cè)量的測(cè)量值或計(jì)算結(jié)果；e及Δ分別是相應(yīng)的系統(tǒng)、隨機(jī)不確定度。（2）用隨機(jī)不確定度與系統(tǒng)不確定度合成后的綜合不確定度表示之。最后結(jié)果可寫為：M±g

。第26頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例：標(biāo)準(zhǔn)活塞式壓力計(jì)實(shí)驗(yàn)測(cè)得各種誤差因數(shù)引起的壓力的極限誤差值如下。求總的不確定度（壓力P=ma/S，單位均略）。（1）恒定系差：ε=+0.2，由系統(tǒng)安裝誤差引起。（2）系統(tǒng)不確定度：e1=10.3，是由活塞有效面積S引起的：e2=3.2，來(lái)自砝碼及活塞質(zhì)量（m）；e3=0.5，是由重力加速度a的誤差引起的。（3）隨機(jī)不確定度：Δ1=11.6，是由活塞有效面積引起的；Δ2=4.8，是由砝碼及活塞質(zhì)量（m）引起的。解：設(shè)引起誤差的各個(gè)因數(shù)是相互獨(dú)立的，按照方和根法合成之?？偟南到y(tǒng)不確定度為：=e=√e12+e22+e32=

√10.32+3.22+0.52=10.8總的隨機(jī)不確定度為：

Δ=√Δ12+Δ22=√11.62+4.82=12.6故活塞壓力計(jì)總的不確定度g及修正量c為：g=√e2+Δ2=√10.82+12