第一中學(xué)2020屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文）試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精重慶市第一中學(xué)2020屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文）試題含解析2020年重慶一中高2020級(jí)高三上期期末考試數(shù)學(xué)（文科）試題卷一、選擇題1。已知集合，,則A。 B. C。 D.【答案】C【解析】試題分析：集合，而,所以，故選C【考點(diǎn)】集合的運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算問題,應(yīng)先把集合化簡(jiǎn)再計(jì)算，常常借助數(shù)軸或韋恩圖進(jìn)行處理.2.復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（)A.第一象限 B。第二象限 C。第三象限 D。第四象限【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)求得再分析即可.【詳解】.故在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算與復(fù)平面的理解,屬于基礎(chǔ)題型。3.設(shè)，，,則，，的大小順序是（)A。 B。 C。 D。【答案】B【解析】【分析】判斷的大致范圍再排序即可.【詳解】,且，又。故。故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了利于指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對(duì)函數(shù)值大小進(jìn)行比較，屬于基礎(chǔ)題型。4。設(shè)為實(shí)數(shù)，直線，，則“"是“”的（）A。充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線垂直的公式求解再分析充分必要條件即可.【詳解】因?yàn)橹本€，當(dāng)時(shí)有。故直線，則“”是“”的充要條件.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線垂直的公式以及充要條件的判定，屬于基礎(chǔ)題型.5.執(zhí)行如下圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果是(）A. B. C. D。【答案】B【解析】【分析】讀懂求解的量,直接寫出結(jié)果進(jìn)行計(jì)算即可?！驹斀狻坑煽驁D可知，輸出的.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了程序框圖的理解與裂項(xiàng)相消的方法，屬于中等題型.6.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位:m），則該幾何體的體積為（)A。 B. C。 D?！敬鸢浮緼【解析】【分析】易得該組合體為長(zhǎng)方體上一個(gè)圓錐，根據(jù)體積公式計(jì)算即可?！驹斀狻恳椎迷摻M合體為長(zhǎng)方體上一個(gè)圓錐，體積為。故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖求解組合體體積的問題，屬于基礎(chǔ)題型.7.正三角形中，是線段上的點(diǎn)，,,則(）A。3 B。6 C.9 D。12【答案】B【解析】【分析】以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可?！驹斀狻咳鐖D建立以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，易得，，。故,,故故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算,可以選擇建立平面直角坐標(biāo)系求解，屬于中等題型.8.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)在上的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)周期與最值求得的解析式，再求解值域即可?！驹斀狻坑深},,周期滿足，故。故。代入有,又,故。故，當(dāng)時(shí),，故.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三角函數(shù)圖像求解解析式與求值域的問題，需要根據(jù)周期與最值求解析式，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求值域.屬于中等題型.9.在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線的離心率為2,其焦點(diǎn)到漸近線的距離為,過點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn).若是的中點(diǎn)，則直線的斜率為（）A。2 B.4 C.6 D。8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)離心率與焦點(diǎn)到漸近線的距離可求得雙曲線的方程,再根據(jù)點(diǎn)差法求解斜率即可.【詳解】由題，雙曲線中,又焦點(diǎn)到漸近線的距離,且，解得。故雙曲線.設(shè)則,兩式相減得。又中點(diǎn)，故.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的方程求解以及點(diǎn)差法求解中點(diǎn)弦的斜率，屬于中等題型。10.一次猜獎(jiǎng)游戲中，1,2，3，4四扇門里擺放了，,，四件獎(jiǎng)品(每扇門里僅放一件）。甲同學(xué)說：1號(hào)門里是,3號(hào)門里是;乙同學(xué)說:2號(hào)門里是，3號(hào)門里是；丙同學(xué)說:4號(hào)門里是，2號(hào)門里是；丁同學(xué)說:4號(hào)門里是,3號(hào)門里是。如果他們每人都猜對(duì)了一半，那么4號(hào)門里是(）A。 B。 C。 D.【答案】A【解析】由題意得，甲同學(xué)說：1號(hào)門里是，3號(hào)門里是，乙同學(xué)說:2號(hào)門里是,3號(hào)門里是;丙同學(xué)說：4號(hào)門里是,2號(hào)門里是；丁同學(xué)說：4號(hào)門里是,3號(hào)門里是，若他們每人猜對(duì)了一半，則可判斷甲同學(xué)中1號(hào)門中是是正確的；乙同學(xué)說的2號(hào)門中有是正確的；并同學(xué)說的3號(hào)門中有是正確的;丁同學(xué)說的4號(hào)門中有是正確的,則可判斷在四扇門中，分別存有,所以號(hào)門里是，故選A。點(diǎn)睛：本題主要考查了歸納推理問題，通過具體事例，根據(jù)各位同學(xué)的說法給出判斷，其中正確理解題意,合理作出推理是解答此類問題的關(guān)鍵,同時(shí)注意仔細(xì)審題，認(rèn)真梳理．11。在銳角三角形中,內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、。若，且，則的取值范圍為(）A. B. C。 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式與和差角公式化簡(jiǎn)可得,再計(jì)算臨界條件求解即可.【詳解】由題得，因?yàn)殇J角三角形,故,所以,即。再考慮臨界條件,當(dāng)為直角時(shí)，.當(dāng)為直角時(shí),。故。故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了誘導(dǎo)公式以及和差角公式與正弦定理的綜合運(yùn)用,同時(shí)與考查了臨界條件求取值范圍的思想，屬于中等題型.12.定義在上且周期為4的函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí),，若在區(qū)間上函數(shù)恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A。 B。C. D.【答案】B【解析】【分析】畫出函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)，再分析的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】由題,的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即的函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)。畫出的圖像，同時(shí)恒過定點(diǎn),且函數(shù)周期為4.故。.故臨界條件分別為過和與相切.取值分別為，，。

當(dāng)與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，又，故。，故。故.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，需要根據(jù)題意畫出對(duì)應(yīng)的圖像,再分析臨界條件求得對(duì)應(yīng)的斜率的值即可.屬于中等題型。二、填空題13.在等比數(shù)列中,已知，，則________?！敬鸢浮?【解析】【分析】利用等比數(shù)列的等積性質(zhì)求解即可。【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列,故,故.

故答案為：8【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的等積性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題型。14.已知是定義在上的奇函數(shù)，若時(shí),，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為______.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱位置的切線斜率相等，直接求解在處的導(dǎo)函數(shù)即可?！驹斀狻恳?yàn)楫?dāng)時(shí),故。根據(jù)奇函數(shù)的圖像知，在點(diǎn)處的切線斜率等于在點(diǎn)處的切線斜率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了奇函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義。屬于中等題型。15.設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)?，函?shù)的圖象與軸所圍成的區(qū)域?yàn)?向內(nèi)隨機(jī)投一個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)不落在內(nèi)的概率為______?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥慨嫵雠c半圓,再利用幾何概型的方法分析即可.【詳解】由題，畫出與圖像。因?yàn)闉榘雸A.故有易得可行域的面積為.半圓面積為。故點(diǎn)不落在內(nèi)的概率為故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何概型的一般方法,重點(diǎn)是畫好所給的函數(shù)圖像，屬于中等題型。16。已知一個(gè)圓錐的底面直徑為，其母線與底面的夾角的余弦值為.圓錐內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，該內(nèi)接正方體的頂點(diǎn)都在圓錐的底面或側(cè)面上，則這個(gè)正方體的外接球表面積為_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意畫出正方體的對(duì)角截面,分析正方體的邊長(zhǎng)再計(jì)算外接球表面積即可.【詳解】如圖所示，作出圓錐的一個(gè)軸截面，其中為母線，為底面直徑，，是正方體的棱長(zhǎng)，是正方體的上、下底面的對(duì)角線,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則,,又,.故高.依題意得，，即。故正方體的體對(duì)角線，即外接球的直徑.故外接球表面積。故答案:【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體中的長(zhǎng)度計(jì)算以及外接球的問題等。需要根據(jù)題意畫出圖像找到對(duì)應(yīng)的關(guān)系列式求解計(jì)算.屬于中等題型。三、解答題17。已知數(shù)列中，，，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列;（2)求數(shù)列的前項(xiàng)和?！敬鸢浮浚?）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)求得,化簡(jiǎn)成含的表達(dá)式再得即可.（2）根據(jù)(1)中等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再代入即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)分組求和求解即可?！驹斀狻浚?）證明:因?yàn)樗?又因?yàn)?，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.(2）由（1)知,所以，所以【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推公式證明等比數(shù)列的方法，同時(shí)也考查了分組求和與等比等差數(shù)列求和的公式等。屬于中等題型。18.對(duì)某居民最近連續(xù)幾年的月用水量進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到該居民月用水量（單位:噸)的頻率分布直方圖，如圖一。（1）求值,并根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該居民月平均用水量；（2）已知該居民月用水量與月平均氣溫(單位：℃)的關(guān)系可用回歸直線模擬。2019年當(dāng)?shù)卦缕骄鶜鉁亟y(tǒng)計(jì)圖如圖二,把2019年該居民月用水量高于和低于的月份作為兩層，用分層抽樣的方法選取5個(gè)月,再?gòu)倪@5個(gè)月中隨機(jī)抽取2個(gè)月，求這2個(gè)月中該居民恰有1個(gè)月用水量超過的概率?！敬鸢浮浚?)，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的圖形面積之和為1列式求解。再利用頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)的方法求解即可。（2）利用枚舉法將所有可能的情況列舉,再根據(jù)古典概率的求解方法計(jì)算即可.詳解】(1）由圖一可知,該居民月平均用水量約為（2）由回歸直線方程知，對(duì)應(yīng)的月平均氣溫剛好為，再根據(jù)圖二可得,該居民2019年5月和10月的用水量剛好為,且該居民2019年有4個(gè)月每月用水量超過，有6個(gè)月每月用水量低于,因此，用分層抽樣的方法得到的樣本中,有2個(gè)月（記為）每月用水量超過，有3個(gè)月（記為）每月用水量低于,從中抽取2個(gè),有共10種結(jié)果，其中恰有一個(gè)月用水量超過的有共6種結(jié)果,設(shè)“這2個(gè)月中恰有1個(gè)月用水量超過”為事件，則【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的運(yùn)用以及分層抽樣與古典概型的方法，屬于中等題型.19。已知四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，，。點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上,且，平面。（1）求實(shí)數(shù)的值；(2)求四棱錐的體積.【答案】（1)（2）【解析】【分析】（1）連接,設(shè),證明再利用相似三角形求解即可.（2)求底面四邊形的面積，再根據(jù)四棱錐的高與的比例求解即可.【詳解】（1）連接，設(shè),則平面，,，，.（2），又,，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的性質(zhì)與證明,同時(shí)也考查了錐體體積的計(jì)算方法,屬于中等題型。20.已知橢圓過圓的圓心,且右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.（1）求橢圓的方程;(2）過點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若，求直線的方程.【答案】（1）(2）或【解析】【分析】(1）根據(jù)焦點(diǎn)與橢圓上的點(diǎn)，列方程求解即可。（2)根據(jù)三角形的面積公式化簡(jiǎn)可得,再利用向量的方法可得，再分直線有無斜率的情況，聯(lián)立直線與橢圓的方程,利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)向量的關(guān)系求得斜率即可.【詳解】解：（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為,所以，因?yàn)樵跈E圓上,所以,由，得，所以橢圓的方程為（2）由得:,即，可得，①當(dāng)垂直軸時(shí)，,此時(shí)滿足題意，所以此時(shí)直線的方程為；②當(dāng)不垂直軸時(shí)，設(shè)，直線的方程為,由消去得，所以，代入可得：，代入,得，代入化簡(jiǎn)得：,解得,經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意,則直線的方程為綜上所述直線的方程為或【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的基本量求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系.通過分情況聯(lián)立直線與橢圓的方程,利用韋達(dá)定理表達(dá)出對(duì)應(yīng)的表達(dá)式化簡(jiǎn)，進(jìn)而求得斜率的方法等。屬于難題。21.已知函數(shù),，是的導(dǎo)函數(shù)。（1）討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù);（2）若，,若存在，使得，試比較與的大小?！敬鸢浮浚?）當(dāng)時(shí)，有0個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)極值點(diǎn)（2）【解析】【分析】（1)求導(dǎo)后分求導(dǎo)等于0時(shí)的根與區(qū)間端點(diǎn)0的大小關(guān)系分析極值點(diǎn)個(gè)數(shù)即可。(2)求導(dǎo)后分別計(jì)算,再計(jì)算,構(gòu)造出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式再根據(jù)單調(diào)性求解分析即可.【詳解】解：（1）,當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令,則,故在上單調(diào)遞增，在上單減,故有1個(gè)極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)。綜上：當(dāng)時(shí)，有0個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)極值點(diǎn)。(2),,，故,令,則,所以在上單調(diào)遞增，則,,,又在上單調(diào)遞增，，即【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及構(gòu)造函數(shù)解決極值點(diǎn)偏移的問題,重點(diǎn)在于找到關(guān)于兩個(gè)極值點(diǎn)間的函數(shù)關(guān)系，再列式構(gòu)造函數(shù)求單調(diào)性與最值等.屬于難題.22。在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)),以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸，曲線的極坐標(biāo)方程為：。（1）求曲線的普通方程和曲線的參數(shù)方程;（2）若點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng),求點(diǎn)到曲線距離的最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)。【答案】（1），（為參數(shù)）（2）,【解析】【分析】（1）中上下相加消去，中利用余弦的二倍角公式以及極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系求解出直角坐標(biāo)方程,再化簡(jiǎn)成參數(shù)方程即可.（2)設(shè)點(diǎn)再求出點(diǎn)到曲線的距離表達(dá)式，利用輔助角公式求解表達(dá)式的最值以及對(duì)應(yīng)的參數(shù)值即可.【詳解】解:（1）.故；又化簡(jiǎn)得,即（2）設(shè)點(diǎn),則點(diǎn)到曲線的距離（其中）,當(dāng)時(shí)，,此時(shí)，即，所以，故【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)系與參數(shù)方程的互化以及求曲線上一點(diǎn)到直線距離的最值問題，主要是根據(jù)設(shè)對(duì)應(yīng)的參數(shù)點(diǎn)根據(jù)三角函數(shù)的表達(dá)式求解,屬于中等題型.23.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，證明：；（2）若的值域?yàn)?且，解不等式?！敬鸢浮?/p>