2023屆高三數(shù)學(xué)小題專練-平面向量基本定理4（含解析）

一、單選題

1.如圖，正方形A8C。的邊長為1,P,。分別為邊AB,上的動(dòng)點(diǎn)（P,。不取

端點(diǎn)），且OQ=AP.設(shè)NPCQ=〃，則cos。的范圍是（）

2.在AABC中，已知4B.AC=9，sinB=cosA-sinC,SMKC=6,尸為線段AB上的一

CACB|1

點(diǎn)，且CP=X.可+y.國，則一+一的最小值為（）

CACBxy

人7+26D7+3正C7+2指c7+4后

A.----------D.----------C.----------L）.------

12121212

3.如圖，平面四邊形ABCD中，AABC的面積是AACD面積的3倍，數(shù)歹（I｛4｝滿足4=1,

/=3,當(dāng)“22時(shí)，恒有前=（a“-ga“_J通+（%+|-2a“）而，則數(shù)列｛4｝的前6項(xiàng)

和為（）.

A.2020B.1818C.911D.912

4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A,8為圓C:（x-，w）2+（y-2）2=4上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且

\AB\=2^3,若直線，：y=-2x上存在點(diǎn)尸，使得反=麗+而，則實(shí)數(shù)〃，的取值范圍

為（）

A.[1-75,1+5/5]B.[-V5—1,—VS+1]

C.[75-1,75+1]D.[-1-75,-1+75]

5.在△ABC中，AB=1,AC=2,ZJR4C=60。,。是△ABC的外接圓上的一點(diǎn)，若

AP=mAB+nAC<則，力+〃的最小值是（）

A.-1BC.D

-43-4

6.在AABC中，|AC|=2,|4B|=2,N84C=120°,荏=4赤，/=〃/，M為線段E尸的

中點(diǎn)，若|而|=1,則幾+"的最大值為（）

72不

DR.------C.2

3

7.已知向量質(zhì)辦滿足I。臼=1,0q=2,OAOB=42<OP=WA+JLIOB,|A|+|//|=1,

九,"R,則動(dòng)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)路徑的總長為（）

A.455-2五B?2加+2夜

C.2D.2

8.在△ABC中，sin（A-8）+sin8=sinC,點(diǎn)。在邊3c上，旦8=250,設(shè)

sinNABD

,則當(dāng)攵取最大值時(shí)，sinZACD=()

sin/BAD

A.B.

44

3+V3(3-⑹而

C.D.

66

9.已知平面向量2,滿足"=1,忖=2,r-閘=1,且對(duì)于任意的xeR,恒有

>c-fz,若c=24a+〃3(%//￡/?),則2+〃的取值范圍為()

152

A.2B.4C.D.

?2'83

10.已知平面內(nèi)一正三角形ABC的外接圓半徑為4,在三角形ABC中心為圓心

/?（0<r<1）為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)“，則|必+而月+3碇|最大值為（）

A.13B.789C.5而D.而+6

11.。為三角形內(nèi)部-點(diǎn)，、。均為大于1的正實(shí)數(shù)，且滿足總+般+線=湍

右SAQAB、SAOAC、SA(MC分別表示AOAB、AOAC、AOBC的面積,則&OA8：SXOAC:^^OBC為

()

A.(c+l)：S-l):aB.c.b.aD.c2:b2:a2

試卷第2頁，共6頁

12.如圖，在AABC中，NBAC欄，AD=2DB>尸為上一點(diǎn)，且滿足湎=，*蔗+：麗,

若A48c的面積為26，則|網(wǎng)的最小值為

4

A.5/2B.—C.3D.石

13.如圖，在等腰△ABC中，已知畫=|局=1,4=120",已尸分別是邊AB,AC的點(diǎn),

且荏=2而，懣=〃/，其中4切?0,1）且2+2〃=1,若線段EEBC的中點(diǎn)分別為

M,N,則|標(biāo)7|的最小值是（）

B.不

。?富D.而

14.在AABC中，AB=6,BC=8,ABIBC,M是AABC外接圓上一動(dòng)點(diǎn)，若

AM=AAB+/JAC,則幾+〃的最大值是()

54

A.1B.—C.—D.2

43

15.在△回（?中，AB=AC=1,A5J_AC,點(diǎn)M,N為所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且

滿足AM=2AC-AB>,川=1,若A%=/LA%+/M2，則，+〃的最大值為（）

A.72+1B.72-1C.V2D.1

16.已知向量￡,另夾角為W，向量2滿足愀-4=1且可=百，則下列說法正確

的是（）

A.W+p|<2B.忖+忖>2C.|^|<1D.|?|>1

17.如圖，在平行四邊形A8C3中，E是BC的中點(diǎn)，CF=2FD，OE與班'相交于。.若

4）=2,而―（3而-2而）=-7,則A3的長為（）

18.已知5,"是平面內(nèi)三個(gè)單位向量，若皿,則,+國+|3。+刃-c]的最小值（）

A.y/29B.岳-3&C.5/19-25/3D.5

19.己知點(diǎn)G是AA8C的重心，而=2而+〃/（4〃cR）,若ZA=120,而?蔗=-2,

則|而|的最小值是

20.如圖，在平行四邊形ABCO中，AE=\AD,BF=-BC,CE與OF交于點(diǎn)。.設(shè)

34

AB=a>AD=b，若4。=花+筋，則九+〃=（）

二、填空題

21.如圖，在△43c中，O是AC邊上一點(diǎn)，且AZj月反，E?（"eN"）為直線AB上一

L''

UULB1lllir11mn（1]

點(diǎn)列，滿足：E“B=（4a.「l）E,Q+1_2aEC,且q-6,則數(shù)列j—的前n項(xiàng)和5?-

B

ADC

22.已知拋物線y=x2和點(diǎn)p（0,1）,若過某點(diǎn)C可作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別是

試卷第4頁，共6頁

__i__2__

4,B,且滿足G6=§CX+5c方，則△ABC的面積為.

23.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹

了“刈股圓方圖”，亦稱為“趙爽弦圖“（1弦為邊長得到的正方形由4個(gè)全等的直角三角

形再加上中間的一個(gè)小正方形組成）.類比，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個(gè)全等

的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形組成的一個(gè)較大的等邊三角形，設(shè)而=2而+

且￡）尸=34尸，則可推出a+4=.

24.在AABC中，。是8c的中點(diǎn)，E在邊48上，BE=2EA,A。與CE交于點(diǎn)。若

----------------M.isin/CAD,,口

ABAC=6AOEC>則.的值是___________-

s】n/BAD

25.已知雙曲線C:￡-g=l（a>（U>0）的左、右焦點(diǎn)分別為松鳥，過入作直線/垂直于

a'b~

雙曲線的一條漸近線，直線/與雙曲線的兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn)，若麗=AF\B,

且2>2,則雙曲線C的離心率e的取值范圍為.

（"II

26.設(shè)兩個(gè)向量不=（2+2,/^-cos%）和》七,+sinaJ,其中4、m、a為實(shí)數(shù).若

a=2b，則&的取值范圍是.

m

27.根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理，以直角三角形的三條邊為邊長作正方形，從斜邊上作出的正

方形的面積正好等于在兩直角邊上作出的正方形面積之和.現(xiàn)在對(duì)直角三角形COE按

上述操作作圖后，得如圖所示的圖形，若而=》而+），正，則了一》=

H

28.已知平面向量滿足|￡|=3出|=3,若乙=(2—2力)萬+3二(XeR),且孚=*,

\a\\b\

貝Ijcos(a,3a-cj的最小值為.

29.如圖所示，在直角梯形ABC。中，已知AD//8C,Z.ABC=-,AB=AD=\,BC=2,

2

例為B。的中點(diǎn)，設(shè)P、Q分別為線段AB、CO上的動(dòng)點(diǎn)，若P、M、Q三點(diǎn)共線，則福?麗

的最大值為

30.如圖，在AABC中，。是BC的中點(diǎn)，E在邊A8上，BE=2EA,AO與CE交于點(diǎn)0.

AR

若麗?n=6而?反，則k的值是.

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

1.D

【分析】分別以AB,A￡>所在的直線為x,y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)〃Q=AP=a,

.1

根據(jù)向量的坐標(biāo)表示和數(shù)量積的運(yùn)算公式，求得COS"/4」,,cc,再利用導(dǎo)

\la4-2a3+3a2-2a+2

數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.

【詳解】分別以所在的直線為x,y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，如圖所示，

設(shè)￡>Q=AP=a,則P(a,0),2(0,1-a),C(l,1),

所以麗=(4-1,-1),咬=(-l,-a),

PJ^CPCQ=(?-l,-!)'(-1,-a)=1-?+a=1,|CP|=\Ja2-2a+2,|Cg|=yjl+a2,

、cos0=而而=1=]

所以c°s|c?|.|ce|x/a2-2a+2-y/a2+lJa4-2a：+3”、-2a+2'

設(shè)/(a)=a"-2a+3“--2a+2，(其中0<aWl)

貝lj/'(a)=3a'-6/+6a-2=4(a-g)(/+a+1),

當(dāng)時(shí)，/'⑷<0,/(a)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，/"(a)>0,/(a)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)a=：時(shí)，/(a)取得最小值，此時(shí)=

2216

又由/(。)=/(1)=2,即函數(shù)〃。)<2,

@4

,即COS06---,一,

所以忌TT,5、25_

fV241

即cos。的取值范圍是學(xué),二.

故選：D.

答案第1頁，共28頁

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的坐標(biāo)表示，平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，以及最值的

求解，其中解答中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，求得cos。的

表達(dá)式是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.

2.D

【分析】由加C化簡可求cosC=Q即C=90。，再由1B.AC=9，SZJA8C=6可得

bccosA=9,,機(jī)15皿4=6可求得6=5,b=3,a=4,考慮建立直角坐標(biāo)系，由P為線段AB上

2

的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)2使得而=幾百+（1-幾）函=（3/l,4-4/l）（0V；lWl）,由

為單位向量,可得q=(1,0),e2=(0,1),可得C戶=(x,y),可得x=3/i,丁=4一44則由

4x+3y=12,利用基本不等式求解最小值.

【詳解】△ABC中設(shè)AB=c,BC=a,AC=b

,/sinB=cosA-sinC,sin(A+C)=sinCeosA,

即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA,

sinAcosC=0,

vsinA^O,cosC=0,C=90°,

AB-AC=9,S.ABC=6,

:.bccosA=9,—bcs\nA=6,

2

443

tanA=-,根據(jù)直角三角形可得sinA=y,cosA=-,be=15

c=5,b=3,a=4,

答案第2頁，共28頁

以4c所在的直線為x軸，以BC所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系可得C(0,0),A(3,0),

8(0,4),P為直線A8上的一點(diǎn)，

則存在實(shí)數(shù)2使得C戶=兒面+(1-4七以=(32,4-42)(0(2W1),

C4_CB__一一_

設(shè)廚=烏，畫=/,則|qRe2l=l,e,=(l,0),e2=(0,l),

CACB

CP=x,.+y_?,=(x,0)+(0,y)=(x,y),

IS\CB\

/.x=32,y=4-4A則4x+3y=12,

x1+71=n1(^1+71jY(,°y、)=l1^lLT3y+7j-7+4百

12

故所求的最小值為筆回

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題為平面向量的綜合題，考查解三角形、平面向量數(shù)量積、平面向量共線定理、

基本不等式的應(yīng)用，屬于綜合題，解題關(guān)鍵在于將三角形中數(shù)量關(guān)系利用向量坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行

轉(zhuǎn)換，屬于較難題.

3.D

【解析】連接8。交AC于點(diǎn)E,根據(jù)S|=3S2，得BE=3ED,則麗=-3麗，

再根據(jù)恁=通+(%+|-2/)也設(shè)x=”“一式-y=an+l-2a?,AC=AAE,

轉(zhuǎn)化為［"(x+y)］荏=(-3x+y)而，根據(jù)松與而不共線，得至卜3x+y=0,即

%+|-2q,&_a

—4一,變形為3--=4,由等比數(shù)列的定義得到｛%「。“｝是等比數(shù)列，得到通

aa

n~3n-\-%

項(xiàng)公式，再用累加法得到。“=2.4：+1,然后用分組求和法求解.

答案第3頁，共28頁

【詳解】如圖，連接交AC于點(diǎn)E,

由Si=3Sz，得BE=3ED,EB=-3ED，

4____

設(shè)X=4一針1，>=42%,AC=AAE^

AAE=AC=xAB+yAD=x(通+碉+y(AE+砌

=^x+yyAE+xEB+yED

[丸-(x+y)]Ag=(-3x+y)互,

又不g與而不共線，

所以-3x+y=0,則工=3,

X

。,1一2?！?/p>

即4

一針1

所以4+1-2a“=3an-4an_,,

所以4用一4=4(。,,—a,-J,

即%1二級(jí)=4,?>2

所以｛q.「a”｝是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，

所以a,,M-a“=20i,

由.-a“=24T,a“-%=24-:…,生-。?，,

累力口得a“二T~^,

2n+l

012/.0刀“”T\121-4"2+3n-2

所以S=_nH—(4+4+???+4)=_n-------=----------,

"33、7331-49

所以$6=912.

答案第4頁，共28頁

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的基本定理，共線向量定理以及等比數(shù)列的定義，累加法求

通項(xiàng)和分組求和問題，還考查了轉(zhuǎn)化求解問題的能力，屬于難題.

4.D

【分析】設(shè)4，B?,y2),則AB的中點(diǎn)M(美土,五1豆)，可得ICM|=1,設(shè)P(x,-2x),

_________\x.+x,,=m+2x

OC=PA+PB=2PM>可得(一.，，代入

*+必=2-八

ICM|=J(^愛-+山笠-2尸=1化簡得5x2+(4-m)=0,根據(jù)判別式可得結(jié)

果.

【詳解】設(shè)A(x“y),B(x2,y2),則AB的中點(diǎn)M(日產(chǎn),"^),

圓C：(x-,〃)2+(y-2)2=4的圓心C(%,2),半徑為1=2,

圓心C到直線AB的距離|CM|=百-(C)2=1,

設(shè)尸(x,-2x),因?yàn)榉?麗+麗=2兩,

所以…2(詈一號(hào)+2x),

m=X+X-2Xx1+x2=m+2x

所以}2即

2=乂+%+4%3+>2=2_4%

因?yàn)閨CM|=，(土產(chǎn)一⑼2+(巧&-2y=1,

/”+2x、22-4x-、2.

所以(二——m)2+(z——-2)2=1,

22

2

化簡得51+(4)x+^=0,

4

2

依題意得5x?+(4-w)x+絲=o有解，

4

所以△=(4一機(jī)了-4x5x—>0,即nr+2/n-4<0?

4

解得一1一64加4一1+后.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了平面向量基本定理，考查了運(yùn)算求解能力，屬于

中檔題.

5.B

答案第5頁，共28頁

【分析】先解三角形得到AABC為直角三角形，建立直角坐標(biāo)系，通過麗=相福+”前表

示出〃?+〃，借助三角函數(shù)求出最小值.

【詳解】由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosNBAC=l+4-2xlx2xcos60=3，

所以BC=JL所以A82+8C2=AC2,所以3c.以AC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所

示的平面直角坐標(biāo)系，易得A(—1,0),C(l,0),8(—J,且)，設(shè)P的坐標(biāo)為(cos，,sin，)，

22

所以而AC=(2,0),麗=(cos6+l,sin。)，又麗=加麗+〃而，所以

(cos(9+l,sin，)=〃｛；,等)+〃(2,0)=彳+2n當(dāng)m,所以m=￥^sin。，

COS，1百.八rr-isi,2y/3.八COS01下＞.八

n=-----F------sin。，所以〃/+〃=----sin6+------F------sin，

2263226

=^-sin0+—+-=sin(，+色]+L2-1+1=一1,當(dāng)且僅當(dāng)sin(e+g]=T時(shí)，等號(hào)成立.

222I6J222I6；

故選：B.

6.C

【分析】化簡得到宿='福+根據(jù)麗|=1得到萬+〃2-4，=1,得到兒+〃的最

大值.

【詳解】AM=^(AE+AF)=^AB+^AC,

故|啊2=(|?而+卷可=A2+//2+^x4cosl200=A2+//2-A//=1

故1=々+*-彳〃=(4+〃)—3A/J>(A+/z)_：(4+〃)，故2+,,42.

答案第6頁，共28頁

當(dāng)2=〃=1時(shí)等號(hào)成立.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了向量的運(yùn)算，最值問題，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.

7.C

【分析】根據(jù)三點(diǎn)P，A，8以及面外一點(diǎn)。向量共線9=2礪+”而(2+”=1)的模型，對(duì)絕

對(duì)值形式分類討論，得出P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑為如圖的平行四邊形ABCD的四邊:A5,3C,C￡>,ZM,

再結(jié)合余弦定理求解即可.

【詳解】

因?yàn)辂?麗=應(yīng)，

所以|礪||礪|cosN4O8=&,

因?yàn)閨兩=1,1函=2,

所以cosN4O8=^,

2

TT

所以406=4.

4

如上圖所示，

當(dāng)/1廊,〃。時(shí),P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑為線段A3,

以此類推，當(dāng)1幻+1〃1=1時(shí),P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑為如圖的平行四邊形ABCD的四邊:

AB,BC,CD,DA,

由余弦定理，得AB=yjo^+OB1-2OAOBcosZAOB=6-2及，

由余弦定理，得BC=y/OA2+OB2-2OAOBcosABOC=南+2夜，

動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑的總長度為2(6-2心+J5+20).

故選：C.

8.B

答案第7頁，共28頁

【分析】根據(jù)sin（A-8）+sin6=sinC,利用兩角和與差的正弦公式化簡得到sinB=2cosAsinB,

進(jìn)而求得A,根據(jù)點(diǎn)。在邊BC上，且CD=2BZ）,得到％=嗎黑=挈=噤，再由余

sin/BADBDBC

4c

LUI7IUU1lUTcA24.A2J-2hr工+二十，r

弦定理結(jié)合=+兩邊平方，得到抑=r,=互4—，令馬，得

33cz+b-bccbb

—I--------1

bc

1c

4A/H—F2j2-2*i

到&2=〃f）=-；—=）［：；,用導(dǎo)數(shù)法求得最大值時(shí)a,b,c的關(guān)系，再利用正弦

tH1

t

定理求解.

【詳解】因?yàn)閟in（A—8）+sinB=sinC,

所以sin（A—B）+sinB=sin（A+B）,即sinB=2cosAsinB,

因?yàn)锽e（0,萬）,

所以sin8w0,cosA=-,

2

因?yàn)锳e（O,;r）,

所以A=g7F,

因?yàn)辄c(diǎn)。在邊8c上，且CO=23。，

7sinZABDAD3AD

所以4=---------=——=-----，

sinNBA。BDBC

設(shè)AB=c,AC=b,BC=a,

則4?！挂?，

3

在AABC中，由余弦定理得/=/十從一2bccosA=c2+b2-be

vAD=AB+BD=AB+^BA+AC^=^AB+^ACf

所以而2=（［而+；正）,

即Li2k2=-c2+-b2+—becosZBAC,

9999

即a2k2=4c2+b2+2bc

答案第8頁，共28頁

4cb

4c2+/+2歷4c2+b2+2bcT+；+2

所以/=

a2c2+b2-becb

--1---1

hc

1c

4Ar+-+2

令3=f,得二=/（。=—f—4r+2r+l

bf+Lt2-t+1

rt/\—6廣+6f+3i./o

則/⑺令r?)二°，解得》=亨匕

當(dāng)o＜r＜笥叵時(shí)，當(dāng)t＞與叵時(shí)?，

所以當(dāng)t=l:亞時(shí)?，/⑺取得最大值，此時(shí)￡=匕走，

2b2

所以6=(g_l)c,解得—6-3岳=3四;而。,

在AABC中，由正弦定理得一工=三，解得sinC=%

smAsinCa

即sinNACO=小座.

4

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是利用正弦定理得到&=嗎黑=綜=嘿，然后利用

sin/BADBDBC

余弦定理表示5C,利用平面向量表示A￡＞而得解.

9.A

【分析】數(shù)形結(jié)合，設(shè)礪=￡,礪=反覺=2,根據(jù)可知方J.正，然后建系,

假設(shè)點(diǎn)3(l+cose,g+sine),表示出2+〃，最后計(jì)算即可.

［詳解］設(shè)OA=a,OB-b,OC=c,xa=OP

如圖，其中CDLOA

答案第9頁，共28頁

c

由對(duì)于任意的xeR,?<|c-x?|>|c-a|,ap|Pc|>|Ac|,

所以當(dāng)A,O重合時(shí)滿足條件，故函J.而

以。為原點(diǎn)，0A作為x軸，過。作。4的垂線為N軸，如圖所示

所以A（1,O）,C（1,右），又|2-1；卜1,不妨設(shè)8（l+cose,6+sine）

,1>/3l+cos。

X=-----------7=---------

1=2/l+4+4cos622V3+sin0

由c=2Aa+/.tb所以

>/3=G"+//sine

/G+sin，

所以4+〃=；-A/3COS^-1

2sinO+6

令，=g+G，貝iJcose-，sine=G+G1，

由|cos/一/sinqWJl+1,所以2+9Jl+J=>-5/3</<0

則義+〃=；-*/,所以p+〃)€1,2

故選：A

10.A

答案第10頁，共28頁

【分析】建立直角坐標(biāo)系，可以表示出A8,C的坐標(biāo)，再設(shè)點(diǎn)M(rcosarsinO),即可用「與

夕表示出|瘋+話+3沅即可求出答案.

【詳解】建立如圖所示坐標(biāo)系，

則點(diǎn)A(-2,26),8(-2,-2石),C(4,0),

設(shè)點(diǎn)M(rcose/sin。)，且04。＜2萬，

則師+荻+3碇|

=7(8-5rcos^)2+25r2sin26

=5/644-25r2-8Orcos0

故當(dāng)/'=1,。=不時(shí)，|礪i+M月+3國有最大值為13

故選：A.

11.A

【解析】利用已知條件，結(jié)合三角形的面積的比，轉(zhuǎn)化求解即可.

【詳解】解：由a方+6麗+°反=而，

aOA+bOB+cOC=OB-OC

:.aOA=(\-b)OB-(\+c)OC

:.aOA+(b-\)OB+(\+c)OC=Q

答案第11頁，共28頁

如圖設(shè)麗=a次，函=。-1)礪，西=(l+c)反

.?.函'+函+西=6,即。是A414G的重心

..S&OB、C、=5、必烏=S'M1G

q1OA-OBsinZAOB

OAOB1

.DAOAB=__2_________________

S、og；0A.OB、sinZAjOg

Swq_____z_____q

AOAB=(b-l)^同理可得=a(l+c)%AG

.?SaSAW°M)RC(b-l)(l+c)A3G

)AB,^AOAC?~,小，/一\,/fi'/一\

a\b-\)+c)

所以SAQAR；S^OAC:SAORC=(c+1)：S—1)：。.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，三角形的面積的比，考查計(jì)算能力，屬于中檔

題.

12.D

【分析】運(yùn)用平面向量基本定理，得到m的值，結(jié)合向量模長計(jì)算方法，建立等式，計(jì)算

最值，即可.

［詳解］AP=AC+CP=AC+kCD=AC+k(AD-AC')=AC+k［^AB-AC^

2k—z、____1——2k11

=-AB+(\-k)AC=mAC+—AB,\-k=m,—=—,所以根=^,結(jié)合

AABC的面積為26，得到;由網(wǎng)惇=26,得到國網(wǎng)=8,所以

答案第12頁，共28頁

\AF\=4vH2+"54性|=,故選D.

【點(diǎn)睛】考查了平面向量基本定理，考查了基本不等式的運(yùn)用，難度偏難.

13.C

——>1—?—.

【分析】根據(jù)幾何圖形中線段對(duì)應(yīng)向量的線性關(guān)系，可得AM=](〃AC+/UB),

AN=^(AB+AC),又麗=麗-麗F且Z〃€(0』)且彳+2〃=1,可得麗?關(guān)于〃的函數(shù)

式，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求|麗|的最小值.

【詳解】在等腰△ABC中，|福卜|尼|=1,4=120°,則而./=|麗||比|cosA=-g,

：E,尸分別是邊A8,AC的點(diǎn)，

：.AM^-(AF+AE)^-^iAC+AAB),AN=-(AB+AC),而

222

MN^AN-AM^^[(\-A)AB+(l-ju)AC],

???兩邊平方得：

MN2=-[(1-2)2AB2+2(1-4)(1-〃)福?亞+(1-〃yXC%-[(1-2)2-(1-2)(1-//)+(1-//)2]

44

=互匕①上@±而4+2〃=1,

4

???礪2++J,又人〃€(0,1),即〃

44I,

???當(dāng)〃=，時(shí)，麗2最小值為/，即|麗|的最小值為答.

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用幾何圖形中線段所代表向量的線性關(guān)系求得麗=麗-而，結(jié)

合已知條件轉(zhuǎn)化為麗2關(guān)于〃的二次函數(shù)，求最值.

14.C

【解析】以AC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)M的坐標(biāo)為(5cos，,5sin8),

..——1824

由AM=4A3+〃AC(5cos8+5,5sin0)=A(—，彳)+〃(10,0),

.?.;1+〃=3日|1(，+為+:可得利用正弦函數(shù)的圖像及性質(zhì)即得解.

62

【詳解】以AC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

答案第13頁，共28頁

y

R

設(shè)M的坐標(biāo)為(5cos<9,5sin6?),過點(diǎn)8作Q_Lx軸

4

5-1.BD=ABsinA=—,AD=ABcosA=—

55

7724

??.OD=AO-AD=-:.B(——，—)

555

—1824——

又A(—5,0),3(5,0)「.AB=(y,―),AC=(10,0),AP=(5cos6+5,5sin6)

......——1824

?/AM=AAB+JLIAC(5cos0+5,5sin0)=>1(—)+//(10,0)

13125

4二—cos0——sin6+—,4=-sin。

28224

—cos6+-sin6+L*sin(夕+^)+—

23262

514

當(dāng)sin(e+°)=l時(shí),(A+z/)=7+-=-

max623

故選：c

【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的數(shù)乘運(yùn)算和正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)，以及直角

三角形問題，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.

15.A

【解析】根據(jù)題意，建立平面直角坐標(biāo)系，由京=2/-B，根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求出M的

坐標(biāo)，設(shè)N(x,y),由疝=1,得出點(diǎn)N滿足(x+iy+(y-2)2=l,根據(jù)圓的參數(shù)方程，可

設(shè)點(diǎn)N(cos。一LsinO+2),根據(jù)用V=2A%+〃A3,得出2+〃=sine+cosd+l,最后利用

化一公式和三角函數(shù)求最值，即可得出義+〃的最大值.

【詳解】解：由題意，以A原點(diǎn)，AB,AC所直線為x軸，V軸建立直角坐標(biāo)系，

則4(0,0),8(1,0),C(0,l),

:.AM=2AC-AB=(-\,2)'.-.A7(-l,2),

設(shè)N(x,y),因?yàn)镸N=1,

答案第14頁，共28頁

所以點(diǎn)N滿足(x+l)2+(j-2)2=1,

則可設(shè)點(diǎn)N(cos6-l,sin0+2),

則由瓶=%6，得(cos6-1,sin。+2)=(44),

所以2+〃=$始61+8$0+1=&$E(夕+：)+14應(yīng)+1,

則彳+M的最大值為&+1.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和模的求法，考查利用化一公式化簡和三角函數(shù)求最

值，還涉及圓的方程，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

16.A

【分析】建立坐標(biāo)系，設(shè)￡=(/，△)石=(%0),"=(x,y),根據(jù)已知條件得到所設(shè)未知數(shù)的關(guān)

系，利用向量模的坐標(biāo)表示求出忖+同，可間的取值范圍，代換之后即可逐項(xiàng)判斷.

【詳解】解：因?yàn)橄蛄縜、g夾角為三，設(shè)。=(/,百/)石=(Xo,O),c=(x,y)(f>0,xn>0),

H

因?yàn)?a+rBla+■cir'"4,'

(x-X』+/=1,”血例=巖也必

X。y/x2+V

8-Jit+ytt+x

——=/，—=iTffi

2

/Qx+y2xQ+y2

6="：+,，’，=?彌:+/)=?_y20n.>-,

t+x-ylx2+y2[y(y+>j3x)=0

答案第15頁，共28頁

若y=o,則由①得不)=l%l=x,這與。-%o)2+y2=1矛盾.

I—tt—xf+x-2|x|

尸一底代入⑴得十五

上^>0,

x0>2x>0,

xG-2x

22

由。_/)2+y2=(x-x0)+3x=1得/=x+Jl-3f>2x,0<x<—,

2

4\c1GL―X2+x-yj\-3x2

綜上：0<x<—,y=—yJ3Xf=x+yjl—3x,t=—/:-----,

2Vl-3x2-x

0<x<g=|B|+,卜3x4-71-3?,

令x二百,則sina=JJx,所以at(O,。)，

|行|+1c|=3x4-71-3?=>/3sina+cosa=2sin(a+—),

6

又a+"￡(工,彳)，2sin(a+—)G(1,2),故|B|+|c|<2,故A正確;

6626

|^|=X+A/1-3X2,令1=則sina=x/ir,所以a￡(O,。)

W=x+5/l-3x2=^-sina+cosa=-^y^-sin(tz+y),

a+?嗎，等，竽sin(a+ge(l,竿］,故1<4區(qū)竽■,

1=2"+2xgk,則1岬|力=0,故B、C、D都錯(cuò)誤.

11^/^37-x…

故選：A

【點(diǎn)睛】平面向量的解題思路:

(1)利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.

(2)建立直角坐標(biāo)系，然后利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行解題.

17.C

【分析】先以AB.AD為基底表示AO，再利用向量的數(shù)量積把AO?(3而-2AB)=-7轉(zhuǎn)化為

關(guān)于|而|的方程，即可求得A8的長

【詳解】在平行四邊形ABC。中，E是8c的中點(diǎn)，CF=2FD，￡>E與8尸相交于。.

設(shè)力0=2而BO=;/BF(0<//<1)

答案第16頁，共28頁

則通+麗=茄+/1詼=而+;1(而_3而)=(1_3/1)而+又通

荏+麗=福+〃旃=而+〃(而_|珂=(1_|〃)通+〃南

由9=而+而=通+的，可得(I-|〃)AQ+/M/5而+7而

,11

1--Z=//

2——3——■1—

則，解之得，”,則AO=A0+力。==AO+-AB

342

1—//=2A=

34

則裕(3而—2通)=g而+g珂.(3X5—2通)臼可一網(wǎng)2=_7

,_IUUDI

又AZ)=2,則9-卜@12=-7,解之得,可二4,即A3的長為4

故選：C

18.A

【解析】由于且為單位向量，所以可令￡=(i,o),否=(()/)，再設(shè)出單位向量2的坐

標(biāo)，再將坐標(biāo)代入|。+2#桓+%-其中，利用兩點(diǎn)間的距離的兒何意義可求出結(jié)果.

【詳解】解：設(shè)2=(x,y),1(1,0),各=(0,1),則在+]=1,從而

0+2c|+13a+2b-c卜J(2x+1)」+(2獷+不(x-3)-+(y-2)~

=+力+/+y2+4x+l+J(x-30+(y-2)?

=^+2)2+y2+^x-3)2+(y-2)2>y)52+22=>/29,等號(hào)可取到.

故選：A

【點(diǎn)睛】此題考查的是平面向量的坐標(biāo)、模的運(yùn)算，利用整體代換，再結(jié)合距離公式求解,

屬于難題.

19.C

【分析】由題意將原問題轉(zhuǎn)化為均值不等式求最值的問題，據(jù)此求解I而I的最小值即可.

【詳解】如圖所示，由向量加法的三角形法則及三角形重心的性質(zhì)可得

而=1而=g(而+硝，

vZA=120,ABAC=-2,

根據(jù)向量的數(shù)量積的定