2020年高考文科數(shù)學(xué)直線(xiàn)與圓題型歸納與訓(xùn)練

沖刺高考復(fù)習(xí)必備2020年高考文科數(shù)學(xué)《直線(xiàn)與圓》題型歸納與訓(xùn)練【題型歸納】題型一傾斜角與斜率例1直線(xiàn)l的方程為%mx+3j-1=0，則直線(xiàn)l的傾斜角為（ ）A.1500 B,1200 C,600 D.300【答案】A3【解析】由直線(xiàn)l的方程為＜3x+3j-1=0，可得直線(xiàn)的斜率為k=--，設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為aeQ兀），則tana=-,.?.a=150°.故選：A.【易錯(cuò)點(diǎn)】基礎(chǔ)求解問(wèn)題注意不要算錯(cuò)冗【思維點(diǎn)撥】直線(xiàn)方程的基礎(chǔ)問(wèn)題（傾斜角，斜率與方程，注意傾斜角為a為了，即斜率k不存在的情況）應(yīng)對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)充分理解，熟悉熟練例2已知三點(diǎn)A（a,0）、B（3,7）、C（-2,-9a）在一條直線(xiàn)上，求實(shí)數(shù)a的值.― — 2【答案】a=2或a=9【解析】5 7 7+9a【解析】 ,k= 3—aCB5???A、B、C三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，kAB???A、B、C三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，kAB=kBC,即三"—'解得a=2或a=9'題型二直線(xiàn)方程例1經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1,1）且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線(xiàn)是（ ）.x=x=1或j=1x+j=2或x=j【答案】D.一 一 一 xy-【解析】若直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，則直線(xiàn)為y=x符合題意，若直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)設(shè)直線(xiàn)為一+-=1,mm代入點(diǎn)（1,1）解得m=2，直線(xiàn)方程整理得x+y-2=0，故選D.一，. xy【易錯(cuò)點(diǎn)】截距問(wèn)題用截距式比較簡(jiǎn)單，但截距式一+-=1中要求m，n均非零。故做題時(shí)應(yīng)考慮此情mn形【思維點(diǎn)撥】求解基本直線(xiàn)方程問(wèn)題通常比較簡(jiǎn)單，考慮時(shí)注意每種形式的適用范圍即可。不要漏解。題型三直線(xiàn)位置關(guān)系的判斷例1直線(xiàn)（3kx+（2—k）y—3=0和12:（k—2）x+（k+2）y—2=0互相垂直，則實(shí)數(shù)k的值是（）A.-2或—1 B.2或—1 C.-2或1 D.2或1【答案】D【解析】根據(jù)直線(xiàn)垂直的充要條件得到：3k*（k-2）+（2-k）*（k+2）=0化簡(jiǎn)為k2-3k+2=0nk=1或2故選擇D【易錯(cuò)點(diǎn)】本題若采用斜率之積為-1求解，則容易錯(cuò)誤。首先求斜率變形時(shí)分母不為0，分母為零，實(shí)際上上是一條豎線(xiàn)（k不存在）；其次垂直時(shí)應(yīng)為：k1k2=-1（斜率均存在）或k，k2中一為0，一不存在若用1]:ax+by+c=0，12:mx+ny+1=0垂直的充要條件：am+bn=0，則避免上述問(wèn)題【思維點(diǎn)撥】直線(xiàn)位置關(guān)系問(wèn)題（平行與垂直）應(yīng)熟練掌握其判斷方法。一般而言，除一般式其他形式可能漏解（忽略了k不存在的情況）。在做題時(shí)應(yīng)該考慮全面，避免少解題型四對(duì)稱(chēng)與直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題例1點(diǎn)（2,4）關(guān)于直線(xiàn)2x+y-3=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為【答案】（-2,2）【解析】設(shè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為【解析】設(shè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為（x0,y0），則對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與已知點(diǎn)連線(xiàn)的中點(diǎn)為y04_1由題意可得｛ / "%-2 2 ，解得廣0_~22,3+」-3_0 ^o_22 2所以對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為(—2,2).【易錯(cuò)點(diǎn)】此題求點(diǎn)可以設(shè)點(diǎn)，利用對(duì)稱(chēng)(實(shí)則用中垂線(xiàn))，建立方程組求解；亦可先求過(guò)該點(diǎn)與已知線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程，聯(lián)立求交點(diǎn)，反推對(duì)稱(chēng)點(diǎn)(中點(diǎn)坐標(biāo)公式)即可【思維點(diǎn)撥】對(duì)稱(chēng)問(wèn)題像點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，其本質(zhì)都是點(diǎn)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)則軌跡(曲線(xiàn))得到而已。點(diǎn)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式轉(zhuǎn)化，有時(shí)候利用中垂線(xiàn)特性(垂直，平分)進(jìn)行求解例2直線(xiàn)y_kx-3k+2(kgR)必過(guò)定點(diǎn)().A.(3,2) B.(-3,2) C.(-3,-2) d.(3,-2)【答案】A［解析］y_k(x-3)+2，當(dāng)x_3時(shí)，y_2,直線(xiàn)過(guò)(3,2)定點(diǎn)，故選A.【易錯(cuò)點(diǎn)】對(duì)直線(xiàn)方程的常見(jiàn)表達(dá)式應(yīng)熟悉熟練，并能進(jìn)行恰當(dāng)變形【思維點(diǎn)撥】直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)關(guān)鍵是把所有參數(shù)提出來(lái)，保證參數(shù)后面為零。即可求得題型五圓的方程例1若圓心在x軸上、半徑為、M的圓。位于y軸左側(cè)，且與直線(xiàn)X+2y_0相切，則圓O的方程是(x(x-\；5)2+y2_5(x+<5)2+y2_5(x(x-5)2+y2_5(x+5)2+y2_5【答案】D【解析】設(shè)圓心O(【解析】設(shè)圓心O(a,0)(a<0),則v5_IaI12+22即Ia|_5，解得a_-5,所以圓O的方程為例2圓心在直線(xiàn)x-2y=0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截％軸所得弦的長(zhǎng)為2<3，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】(x—2)2+(y-1)2=4【解析】設(shè)圓心為(2b,b)，則圓的半徑為2b，圓心到x軸的距離為b，所以2v14b2-b2=273,b>0,解得b=1，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-1)2=4.例3已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,-1),圓心在直線(xiàn)2x+y=0上且與直線(xiàn)l:x-y-1=0相切，求圓的方程.1【答案】見(jiàn)解析【解析】設(shè)圓的方程為Q-1I+(y-bI=r2(r>0).???圓心在直線(xiàn)y=-2x上，??.b=-2a，即圓心為(a,-2a).又圓與直線(xiàn)x-y-1=0相切，且過(guò)點(diǎn)(2,-1),???a+2a-1=r,(2-aI+(-1+2a1=r2,即(3a-1、=2(2-a1+2G1+2a1,v2解得a=1或a=9.a=1,b=-2,r=-京2或a=9,b=-18,r=<338,故所求圓的方程為：Q-1、+(y+21=2，或Q-91+(y+18)=338.此題也可設(shè)出圓心所在直線(xiàn)方程12：x+y+1=0,聯(lián)立I與12求圓心P,利用P到A的距離與到l］距離相等求解t。則方程可求【易錯(cuò)點(diǎn)】圓方程求解需要對(duì)圓的方程形式(標(biāo)準(zhǔn)式與一般式，其適用范圍，兩者轉(zhuǎn)化)充分熟悉。在解題時(shí)采用合適的方法(或代數(shù)法，或幾何法)進(jìn)行相關(guān)求解【思維點(diǎn)撥】求解圓的方程問(wèn)題可以采用代數(shù)方法：設(shè)合適的方程，根據(jù)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換。變形解方程等求解；也可以采用幾何法(勾股定理，相似等)進(jìn)行求解題型六直線(xiàn)、圓的綜合問(wèn)題例1直線(xiàn)x+2y-5+J5=0被圓x2+y2-2x-4y=0截得的弦長(zhǎng)為( )1【答案】C21【答案】C244x;6【解析】圓心(1,2)，圓心到直線(xiàn)的距離d=]+?"=1，半徑/=后，所以最后弦長(zhǎng)為2<(<5)2-12:4.例2已知點(diǎn)M(a,b)在圓O：%2+丁2=1外，則直線(xiàn)ax+by=1與圓O的位置關(guān)系是()A.相切 B.相交 C.相離 D.不確定【答案】B【解析】因?yàn)镸(a,b)在圓O：%2+y2=1外，所以a2+b2>1,而圓心0到直線(xiàn)ax+by=1的距離, 1 .d=. <1,故直線(xiàn)與圓0相交.aa2+b2 1 1\一 例3直線(xiàn)l：y=kx+不與圓C：x2+y2=1的位置關(guān)系為( )I2)A.相交或相切 B.相交或相離 C.相切 D.相交【答案】D【解析】由于圓心(0,0)，半徑等于1,(1、 0-0+2 1kl1 1圓心到直線(xiàn)l：y=kx+-的距離為d=j=—^==, <-<r=1,V2) Jk2+1 2Vk2+121+工2k故直線(xiàn)和圓相交，故選D.例4已知圓q：(x-2)2+(y-3)=1，圓C2:(x-3)2+(y-4)=9,M,N分別是圓C,C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則1PMi+IPNI的最小值為A.5V2-4 B."7-1 C.6-2<2 D.<17【答案】D【解析】圓C1,C2的圓心分別為C1,C2，由題意知|PM|>|PCJ-1,|PN|>pC2|-3,??.|PM|+pN|>|PCJ+|PC2|-4,故所求值為|PCJ+|PC2|-4的最小值.又q關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為C3(2,-3),所以pCj+|PCj-4的最小值為|C3cJ-4=5垃-4，故選A.

【易錯(cuò)點(diǎn)】此題可以采用聯(lián)立方程（A）求解；也可以采用圓心到直線(xiàn)的距離與半徑大小比較求解；還可 C 1\ 以利用直線(xiàn)l恒過(guò)0,-，易得（可作草圖）該點(diǎn)在圓內(nèi)，故應(yīng)為相交。直線(xiàn)（含參數(shù)）過(guò)定點(diǎn)特征應(yīng)有I2J所熟悉，高考中常有涉及【思維點(diǎn)撥】直線(xiàn)與圓位置關(guān)系通常采用圓心到直線(xiàn)距離d與圓半徑廠(chǎng)大小確定。圓C:G—a>+（y—b?=r2，直線(xiàn)l：Ax+By+C=0，圓心。（a,b）到直線(xiàn)l的距離為d，則:d>r，直線(xiàn)與圓相離?？汕髨A上動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)距離范圍（最大最?。﹩?wèn)題d=r，直線(xiàn)與圓相切。依此可求過(guò)圓C：42+y2=丫2上某點(diǎn)尸（40，y0）的切線(xiàn)方程：404+y0y=r2一般地，過(guò)圓C：Q—J+（y-b）=r2上某點(diǎn)p（x0，y0）的切線(xiàn)方程:(x—a)4—a)+(y—b)(y—b)=r2., -（AB\2一 d<r，直線(xiàn)與圓相交。此時(shí)常用勾股定理r2=d2+—- （AB為相交弦）來(lái)求解相關(guān)問(wèn)題.I2J【鞏固訓(xùn)練】題型一傾斜角與斜率.經(jīng)過(guò)A（-2,0），B（-5,3）兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率是，傾斜角是3—0—5~「2)=—1，故傾斜角為135.【答案】見(jiàn)解析【解析】經(jīng)過(guò)A3—0—5~「2)=—1，故傾斜角為135..設(shè)點(diǎn)A（2,—3）,B（—3,—2），直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)PG,1）且與線(xiàn)段AB相交，則l的斜率k的取值范圍是（）TOC\o"1-5"\h\z,3 , ,,3 3,.A.k>-或k<—4 B.—4<k<- C.—-<k<4 D,以上都不對(duì)4 4 4【答案】A33【解析】求得k=—4,k=-，結(jié)合圖像知k的范圍為k<—4或k>-PAPB4 43.直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A（1,2），且不過(guò)第四象限，則直線(xiàn)l的斜率k的最大值是（）【解析】如圖，【解析】如圖，葭=2,『0,只有當(dāng)直線(xiàn)落在圖中陰影部分才符合題意,故k 故直線(xiàn)l的斜率k的最大值為2.題型二直線(xiàn)方程.過(guò)點(diǎn)A（：3,1）且傾斜角為12cp的直線(xiàn)方程為（J=一、J=一、;3x+4y二-鼻x—2【答案】B【解析】?jī)A斜角為12cp的直線(xiàn)斜率為-*；3.利用點(diǎn)斜式可得y—1=-、"（—V3）整理得y=—j3x+4..直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（—1,2）且與直線(xiàn)2x—3y+4=0垂直，則l的方程是（）A.3x+2y—1=0 B.3x+2y+7=0 C.2x—3y+5=0D.2x—3y+8=0【答案】A【解析】設(shè)l：3x+2y+1=0,代入（—1,2）.得t=-1TOC\o"1-5"\h\z.已知AG,2）,B（3,1）,則線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)的方程是（ ）.A.4x—2y+5=0B.4x—2y—5=0C,x+2y—5=0D,A.4x—2y+5=03、， 1 3【解析】AB中點(diǎn)為M（2,）,k=—-.則中垂線(xiàn)斜率k=2,方程為y—-=2（x—2）.化簡(jiǎn)得:2 AB 2 24x—2y—5=04.已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)6,2）,且在x軸截距是在y軸截距的2倍，則直線(xiàn)l的方程（）B.x+2y+5=0A.xB.x+2y+5=0C.2x—y=0或x+2y—5=0 D,2x—y=0或x—2y+3=0【答案】。【解析】當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，又過(guò)點(diǎn)6,2）,???所求直線(xiàn)方程為2x—y=0.當(dāng)直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，由已知設(shè)直線(xiàn)方程為3+y=1,又過(guò)點(diǎn)6,2）,所求直線(xiàn)方程為

2mmx+2y—5=0a選C題型三直線(xiàn)位置關(guān)系的判斷.已知直線(xiàn)X-y-2=0與直線(xiàn)mx+y=0垂直，那么m的值是( ).A.-2【答案】A.-2【答案】CB.—1C.1D.2【解析】利用垂直的條件：m?1+1?(-1)=0，得m=1.若直線(xiàn)lj(m+3)x+4y+3m—5=0與直線(xiàn)12:2x+(m+5)y—8=0平行，則m的值為().13 _ _A.—— B.—1或一7 C.-6 D.-73【答案】D【解析】：11Pl2,??.(m+3)-(m+5)=2x4,解得m=-1或—7，又當(dāng)m=-1時(shí)，兩條直線(xiàn)重合，故m=-7.3.直線(xiàn)+y3.直線(xiàn)+y=3和直線(xiàn)x+y=2的位置關(guān)系是A.垂直 B.相交不垂直 C.A.垂直 B.相交不垂直 C.平行【答案】A【解析】???(3—%；2)x1+(；'2—<3)x1=0,D重合.???兩條直線(xiàn)相互垂直.故選A.題型四對(duì)稱(chēng)與過(guò)定點(diǎn)1.直線(xiàn)2x—my+1-3m=0，當(dāng)m變化時(shí)，所有直線(xiàn)都過(guò)定點(diǎn)( )A.-2,3B.2A.-2,3B.2,3C.D.【答案】D［解析】直線(xiàn)［解析】直線(xiàn)2x—my+1—3m=0,化為2x+1—m(y+3)=0，令｛(1八當(dāng)m變動(dòng)時(shí)，所有直線(xiàn)都通過(guò)定點(diǎn)-不,—3，故選D.I2J

.直線(xiàn)l:(m+n)x+(2m一n)y-m+2n=。，對(duì)任意m,ngR直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)【答案】(一1』)【解析】去作用”(m+n)x+(2m—n)y-m+2n=0可化為：m(x+2y-1)+n(x-y+2)=0,若要讓m,n“失【解析】去作用”x+2y-1=0 x=-1則｛x-y+2二0，解得｛y二1 ，即定點(diǎn)為(-1/)..已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(6,4)，斜率為k(1)若1的縱截距是橫截距的兩倍，求直線(xiàn)1的方程；(2)若k=-1，一條光線(xiàn)從點(diǎn)M(6,0)出發(fā)，遇到直線(xiàn)1反射，反射光線(xiàn)遇到y(tǒng)軸再次反射回點(diǎn)M，求光線(xiàn)所經(jīng)過(guò)的路程.【答案】(1)l：2x-3y=0或l:2x+y-16=0；(2)4<17.【解析】(1)由題意得k中0。直線(xiàn)l的方程為y-4=k(x-6),即y=k(x-6)+4，4令x=0，得y=-6k+4 令y=0，得x=-一+6TOC\o"1-5"\h\z； k, ..J4八一2 ,八???l的縱截距是橫截距的兩倍:?-6k+4=2--+6解得k=7或k=-2Ik) 3?,?直線(xiàn)/的方程為y=2(x-6)+4或y=-2(x-6)+4,即2x-3y=0或2x+y-16=0(2)當(dāng)k=-1時(shí)，直線(xiàn)l的方程為x+y-10=0，設(shè)點(diǎn)M關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M1(a,b),=1.??點(diǎn)M的坐標(biāo)為00,4),.??點(diǎn)M的坐標(biāo)為00,4),則｛a6 ，解得｛八/a+6s八 b=4 +y-10=02M1(10,4)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M2(-10,4),光線(xiàn)所經(jīng)過(guò)的路程為?M2Ml=\；'(6+101+(0-4)2=4<17題型五圓的方程1.圓與直線(xiàn)l:4x-3y+6=0相切于點(diǎn)A(3,6)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(5,2)，求此圓的方程.【答案】x2+y2-10x-9y+39=0.

【解析】設(shè)圓的方程為Q—J+（J—b1=r2則圓為C(a,【解析】設(shè)圓的方程為Q—J+（J—b1=r2'Q-3)2+(b-6)2=(a-5,+(b-2)2=r2得｛b-64 x-=-1〔a-33-,9 25解得a=5,b=—,r2=—2 4???圓的方程為（x-5）25.求過(guò)三點(diǎn)A(0,5),???圓的方程為（x-5）25【答案】x2+y2+6x-2y-15=0.【解析】設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0'5E+F+25=0因?yàn)辄c(diǎn)在圓上所以點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的解，把它們的坐標(biāo)代入圓的方程得JD-2E+F+5=03D+4E-F-25=0'D=6，解這個(gè)方程得jE=-2，所求方程為x2+y2+6x-2y-15=0.F=-15,此題亦可先求兩條中垂線(xiàn)，其交點(diǎn)為圓心，則半徑可求，得到方程.若RtAABC的斜邊的兩端點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-3,0）和（7,0），則直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為（）A.X2+y2=25（y豐0） B.x2+y2=25C.（x-2、+y2=25（y豐0） D.（x-2、+y2=25【答案】C【解析】線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為（2,0），因?yàn)閊ABC為直角三角形，C為直角頂點(diǎn)，所以C到點(diǎn)（2,0）的距離為3ABi=5，所以點(diǎn)C（x,y）滿(mǎn)足n'（x-21+y2=5（y豐0），即（x-2、+y2=25（y豐0）.21求軌跡問(wèn)題應(yīng)注意變量的范圍.題型六直線(xiàn)、圓的綜合問(wèn)題1.直線(xiàn)y=x+1與圓x2+y2=1的位置關(guān)系為（ ）A.相切 B.相交但直線(xiàn)不過(guò)圓心 C.直線(xiàn)過(guò)圓心 D.相離【答案】BTOC\o"1-5"\h\z一八 ，1 <2八V2 -【解析】圓心(0,0)為到直線(xiàn)y=X+1,即x—y+1=【解析】圓心(0,0)為到直線(xiàn)y=X+1,\o"CurrentDocument"<2 2 2.已知圓x2+y2+2x-2y+a=0截直線(xiàn)X+y+2=0所得弦的長(zhǎng)度為4,則實(shí)數(shù)a的值是( )A.12 B.14 C.16 D.—8【答案】B【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y—1)2=2-a,則圓心。(-1,1),半徑r滿(mǎn)足r2=2—a,則圓心。到直線(xiàn)x+y+2=0的距離d=上—=v2，所以r2=4+2=2-a，故a=-41+1TOC\o"1-5"\h\z.若圓C:X2+y2=1與圓C:X2+y2-6X-8y+m=0外切，則m=( )2A.21 B.19 C.9 D.-11【答案】B【解析】由題意得C(0,0),C(3,4),r=1,r=<25-m,1 2 1 2ICC1=r+r=1+J25-m=5，