高考數(shù)學知識點函數(shù)的極值與導數(shù)的關系

高數(shù)識：的值數(shù)關高考數(shù)學知識點：函的極值與導數(shù)的關系極值的定義：（）極大值：一般，設函數(shù)（）在點x0附近有定義，如果對x0附近的所的點，都有f（x）＜（說f（）是函數(shù)（一個極大值，記作y極大值（x0是極大值點；（）極小值：一般，設函數(shù)（）在附近有定義，如果對x0附近的所有點都（＞（（x0）是函數(shù)f（）的一個小值，記作y小值f（x0是極小值點。極值的性質(zhì)：（）極值是一個局概念，由定義知道，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個的義域內(nèi)最大或最?。唬ǎ┖瘮?shù)的極值不唯一的，即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小可以不止一個；（）極大值與極小之間無確定的大小關系，即一個函數(shù)的極大值未必大于極值；（）函數(shù)的極值點定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點，而使數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在間的端點。1頁

判別f（x0）是極大極小值的方法：若x0滿足，且在x0的兩側f（）的導異號，則x0是f（）的極值點，是極，并且如果在x0兩側滿足“左正右負”，則x0是（）的極大值點（x0）是極大值；如果在x0兩側滿足“負右正”則x0是x的極小值點，f（）是極小值。求函數(shù)f（）的極值步驟：（）確定函數(shù)的定區(qū)間，求導數(shù)f′（x（）求方程f′（x的；（）用函數(shù)的導數(shù)的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列表格，檢查f′x）在方程根左右的值的符號，如果左正負，那么（）在這個根處取得極大值；如果左負右正，么）在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即為正或都為負，則（x）在這個根處無極值。對函數(shù)極值概念的理：極值是一個新的概念它是研究函數(shù)在某一很小區(qū)域時給出的一個概念，在理解值概念時要注意以下幾點：①按定義極值點x0是間a部的點會是端點，b（因為在端點不可圖②極值是一個局部性念，只要在一個小領域內(nèi)成立即可．要注意極值必須區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點取得．一個函數(shù)在定2頁

義域內(nèi)可以有許多個小值和極大值，在某一點的極小值也可能大于另一個點的大值，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關系，即大值不一定比極小值大，極小值不一定比極大值小，如圖③若fx）在(，b)內(nèi)極值，那么f(x)(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間單調(diào)的函數(shù)沒有極值．④若函數(shù)（）[ab]有極值且連續(xù)，則它的極值點的分布是有規(guī)律的，相兩個極大值點之間必有一個極小值點樣相鄰兩個極值點之間必有一個極大值點一般地，當函數(shù)f（）在[a，上連續(xù)且有有限個極值點時，函數(shù)（[ab]的極大值點、極小值點是交替出現(xiàn)的，⑤可導函數(shù)的極值點須是導數(shù)為0的點，但導數(shù)為0的點不一定是極值點，不導的點也可能是極值點，也可能不是極值點，函數(shù)的最大值和最?。涸陂]區(qū)間[ab]上連的函數(shù)）[ab]上必有最大值與最小值，分別對應區(qū)間上的函數(shù)值的最大值和最小值。利用導數(shù)求函數(shù)的最步驟：（）求f（）在（a，）內(nèi)的值；（）將f（）的各值與f（（）比較得出函數(shù)f（）在[a，b]上的值。3頁

用導數(shù)的方法求最值別提醒：①求函數(shù)的最大值和小值需先確定函數(shù)的極大值和極小值，因此，函數(shù)極大和極小值的判別是關鍵，極值與最值的關系：極大（?。┎灰欢ㄊ亲畲螅ㄐ。┲?，最大（小）值也不一定是極大（）值；②如果僅僅是求最值還可將上面的辦法化簡因為函數(shù)fx在a，b]內(nèi)的全部極，只能在（）的導數(shù)為零的點或?qū)?shù)不存在的點取得（稱這兩種點為可疑點以只需要將這些可疑點求出來后出x可疑點處的函數(shù)值，與區(qū)間端點處的函數(shù)進行比較，就能求得最大值和最小值；③當（）為連續(xù)函且在[a，b]單調(diào)時，其最大值、最小值在端點處取得。生活中的優(yōu)化問題：生活中經(jīng)常遇到求利最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)問題解決優(yōu)化問題的方法很多如：判別式法，均值不等法，線性規(guī)劃及利用二次函數(shù)的性質(zhì)等，不少優(yōu)化問題可以化求函數(shù)最值問題．導數(shù)方法是解這類問題的有效工具．用導數(shù)解決生活中的化問題應當注意的問題：(1)在求實際問題的大（?。┲禃r，一定要考慮實際問題4頁

的意義，不符合實際義的值應舍去；(2)在實際問題中，時會遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個點使f'（x)=0的形．如函數(shù)在這點有極大（小）值，那么不與端點比較，也可以道這就是最大（?。┲担?3)在解決實際優(yōu)化題時，不僅要注意將問題中涉及的變量關系用函數(shù)關系表，還應確定出函數(shù)關系式中自變量的定義區(qū)間．利用導數(shù)解決生活中優(yōu)化問題：(1)運用導數(shù)解決實問題，關鍵是要建立恰當?shù)臄?shù)學模型（函數(shù)關系、方程或等式用導數(shù)的知識與方法去解決，主要是轉(zhuǎn)化為求值問題，最后反饋到實際問題之中．(2)利用導數(shù)求f(x)閉區(qū)間[a,間管理上的最大值和最小值的步驟，①求