淺談幾何畫板在《三角函數(shù)》課程中的運(yùn)用 論文

淺談幾何畫板在《三角函數(shù)》課程中的運(yùn)用摘要：探究利用幾何畫板構(gòu)建教學(xué)平臺(tái)，引導(dǎo)學(xué)生自主探究《三角函數(shù)》有關(guān)概念知識(shí)，了解知識(shí)的生成過(guò)程，使知識(shí)構(gòu)建更加自然合理。借助幾何畫板彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)不足，幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)障礙，提高效率，培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、聯(lián)想、歸納能力與數(shù)形結(jié)合思維。關(guān)鍵詞：幾何畫板、三角函數(shù)、數(shù)學(xué)直觀、自主學(xué)習(xí)引言:建構(gòu)主義者認(rèn)為,機(jī)器學(xué)習(xí)是指學(xué)生在學(xué)習(xí)情景中依靠老師和同伴的支持,并經(jīng)過(guò)探究與討論,根據(jù)自己所了解的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生意義、從而建立新認(rèn)知體系的過(guò)程。新課標(biāo)也明確提出，要關(guān)注學(xué)習(xí)結(jié)果，也要關(guān)注學(xué)習(xí)過(guò)程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力?！度呛瘮?shù)》是描述外界事物周期性變化的重要模型，部分章節(jié)具有一定的難度。傳統(tǒng)教學(xué)模式不利于學(xué)生形成數(shù)學(xué)直觀，學(xué)生自主探究也有一定的困難。本文探究如何利用幾何畫板構(gòu)建以學(xué)生為主體的教學(xué)環(huán)境，幫助學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)操作，自主探究《三角函數(shù)》的相關(guān)概念知識(shí)?！稁缀萎嫲濉返氖褂煤?jiǎn)便、功能強(qiáng)大,尤其是在高中數(shù)學(xué)幾何和函數(shù)的基礎(chǔ)課程上,搭建了一個(gè)非常好的學(xué)習(xí)工具。通過(guò)幾何畫板,學(xué)生能夠有效的訓(xùn)練他們的幾何知識(shí),提高他們的數(shù)學(xué)積極性,提高學(xué)習(xí)效率。以《三角函數(shù)》為例,我來(lái)談?wù)剮缀萎嫲逶凇度呛瘮?shù)》課堂教學(xué)實(shí)踐中的簡(jiǎn)單運(yùn)用。一、幾何畫板在《任意角與弧度制》教學(xué)中的應(yīng)用在第一節(jié)《任意角和弧度制》的教學(xué)中，由于學(xué)生之前接觸的角都在，形成了一定的思維定勢(shì)，在理解任意角時(shí)有一定的困難。傳統(tǒng)教學(xué)中通過(guò)舉例說(shuō)明和類比教學(xué)也不夠形象直觀，利用幾何畫板制作如圖1的任意角模板，讓學(xué)生自己動(dòng)手操作、觀察，再歸納任意角的的概念和性質(zhì)，既能夠幫助學(xué)生突破難點(diǎn)，也有利于培養(yǎng)學(xué)生的觀察、歸納能力。老師指導(dǎo)學(xué)生探究在畫角的活動(dòng)中,通過(guò)思考角的旋轉(zhuǎn)方位與角度的正負(fù)的關(guān)系、角終邊距離與角度的大小的關(guān)系,學(xué)生會(huì)很自然的產(chǎn)生了正負(fù)角度、象限角的觀念,并認(rèn)識(shí)終邊距離相同的角度之差的整數(shù)倍。在弧度制的課程中,由學(xué)生自行測(cè)量角度、弧長(zhǎng)(圖2),再通過(guò)觀察與各個(gè)同心圓的曲線弧長(zhǎng)和零點(diǎn)五徑比較,學(xué)生可以直觀了解到一個(gè)圓心角所對(duì)應(yīng)的曲線弧長(zhǎng)和零點(diǎn)五徑的相等量,也就比較易于掌握在單位圓上,可以用小于一的圓弧所對(duì)應(yīng)的以圓心角為角的度量單元,在這一課程中也認(rèn)識(shí)到了角制和弧度制之間的差異和關(guān)系,并演繹得到了角和弧度的轉(zhuǎn)換方法。圖1 圖2

二、幾何畫板在《任意角的三角函數(shù)》課程中的應(yīng)用學(xué)生在完成《任意角的三角函數(shù)》課程時(shí),雖然學(xué)生們已有對(duì)銳角三角函數(shù)的認(rèn)識(shí)和經(jīng)驗(yàn),但是由銳角三角函數(shù)到任意角度的三角函數(shù)的教學(xué),并沒(méi)有經(jīng)過(guò)單純的由特殊到普通的學(xué)習(xí)過(guò)程,因此學(xué)生們沒(méi)有感受到用單位圓描述三角函數(shù)的必要和優(yōu)勢(shì)。老師們?cè)谡n堂上,通過(guò)幾何畫板,指導(dǎo)學(xué)員們自己的繪畫過(guò)程(圖3),從體驗(yàn)直角三角形上的銳角三角函數(shù)方法,到以象限角為載體的銳角三角函數(shù)方法,再到在單位圓上的銳角三角函數(shù)方法的發(fā)展歷程,比較他們的區(qū)別和聯(lián)系。在課程中,學(xué)生們參與了概念的形成過(guò)程,并自然掌握了可以利用直角的終邊上點(diǎn)的位置來(lái)刻畫三角函數(shù),也感受到了可以使用單位圓確定銳角三角函式的優(yōu)勢(shì)。此時(shí),再把概念引入到單圓上的任意角三角函數(shù),并順勢(shì)地指出了三角函數(shù)線的定義問(wèn)題和三角函數(shù)的定義域值域問(wèn)題,有助于學(xué)習(xí)者完成由三角形到單圓再到函數(shù)線的思想突破,降低了學(xué)習(xí)難度,也使知識(shí)形成的過(guò)程水到渠成。而且利用幾何畫板,學(xué)生可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證同角三角函數(shù)的關(guān)系,對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)單調(diào)的證明和機(jī)械的記憶是一個(gè)很好的補(bǔ)充。 圖3

三、幾何畫板在《三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式》課程中的應(yīng)用在進(jìn)行《三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式》的教學(xué)時(shí)，傳統(tǒng)教學(xué)難以激發(fā)學(xué)生興趣、完成誘導(dǎo)公式的探究推導(dǎo)過(guò)程，而利用幾何畫板，讓學(xué)生畫圖、識(shí)圖、歸納、推理，使學(xué)生自己解答了疑問(wèn)，體驗(yàn)了成功的樂(lè)趣。在誘導(dǎo)公式的探究過(guò)程中，借助單位圓能形象直觀的幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)角α與π-α、π+α；α與-α；與- 、終22邊的關(guān)系及它們的三角函數(shù)之間的關(guān)系，讓學(xué)生體會(huì)單位圓的對(duì)稱性與三角函數(shù)性質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系。通過(guò)這種方法，降低了探究誘導(dǎo)公式的難度，也使得學(xué)生對(duì)公式理解的更深刻、掌握的更牢固，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)形結(jié)合方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的巨大作用。四、幾何畫板在《三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)》課程中的應(yīng)用《三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)》是本章中十分關(guān)鍵的一節(jié)課，學(xué)生在探究正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象及主要性質(zhì)時(shí)，學(xué)生自己很難作出規(guī)范的三角函數(shù)圖象，教師用傳統(tǒng)的尺規(guī)作圖作出的圖象也不夠精確，而借助幾何畫板可以方便快捷的作出精確的正弦、余弦、正切函數(shù)圖象（圖4）。以正弦函數(shù)為例，尺規(guī)作圖法利用三角函數(shù)線作函數(shù)圖象可以加深對(duì)函數(shù)圖象的認(rèn)識(shí)和理解，但費(fèi)時(shí)費(fèi)力，學(xué)生也難以實(shí)施；而用五點(diǎn)法雖然便捷，但作出的圖象只是大致圖形，也不能展現(xiàn)正弦函數(shù)圖象形成的動(dòng)態(tài)過(guò)程。在教學(xué)時(shí)，可以用如下步驟建立正弦函數(shù)圖象：打開幾何畫板—單擊繪圖—繪制新函數(shù)—單擊函數(shù)—繪制sinx，這種方法操作簡(jiǎn)便，學(xué)生都能自主作出精確的正弦函數(shù)圖象。接著可以將學(xué)生分成學(xué)習(xí)小組，合作探究正弦函數(shù)性質(zhì)。教師可以設(shè)置問(wèn)題，如正弦函數(shù)圖象是不是重復(fù)出現(xiàn)、重復(fù)的間隔是多大，圖象是否關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的值域是什么等。學(xué)生帶著這些問(wèn)題，觀察研究正弦函數(shù)圖象的特點(diǎn)和變化趨勢(shì)，討論答案，教師再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)，自然而然的就形成了相關(guān)的概念和知識(shí)。在此基礎(chǔ)上，再進(jìn)行五點(diǎn)作圖法教學(xué)就輕而易舉了，正弦函數(shù)圖象的主要性質(zhì)也水到渠成的呈現(xiàn)出來(lái)。在進(jìn)行余弦函數(shù)圖象及性質(zhì)的教學(xué)時(shí)，直接利用軟件作出圖象，避免了復(fù)雜的人工作圖過(guò)程，節(jié)約了時(shí)間，學(xué)生能將重心放在研究余弦函數(shù)的圖象性質(zhì)上。經(jīng)過(guò)正弦函數(shù)的探究過(guò)程，學(xué)生能輕松構(gòu)建余弦函數(shù)的相關(guān)知識(shí)概念，還可以在同一個(gè)坐標(biāo)系里作出正余弦函數(shù)圖象，使學(xué)生直觀的觀察兩者的變換關(guān)系。在進(jìn)行正切函數(shù)的性質(zhì)與圖像教學(xué)時(shí)，避開利用三角函數(shù)線作圖的方法，利用幾何畫板讓學(xué)生直接作出精確的正切函數(shù)圖象，有利于凸顯教學(xué)重點(diǎn)，能幫助學(xué)生快速的理解掌握正切函數(shù)的主要性質(zhì)，達(dá)到避繁就簡(jiǎn)，提高效率的目的。通過(guò)這種方法，降低了作精確的三角函數(shù)圖象的門檻，幫助學(xué)生形成對(duì)三角函數(shù)圖象的數(shù)學(xué)直觀，方便學(xué)生自主探究三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性、最值等主要的性質(zhì)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀和數(shù)形結(jié)合思維。通過(guò)直觀的感受三角函數(shù)的圖象，學(xué)生對(duì)三角函數(shù)有一個(gè)整體的印象，借助軟件探究函數(shù)圖象的動(dòng)態(tài)演變過(guò)程，可以更加深刻的了解三角函數(shù)局部的性質(zhì)。相較于傳統(tǒng)教學(xué)方法，借助幾何畫板平臺(tái)降低了《三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)》的學(xué)習(xí)難度，有利于學(xué)生突破難點(diǎn)，還提高了學(xué)習(xí)效率。圖4五、幾何畫板在《函數(shù)yAsin()的圖象》課程中的應(yīng)用《函數(shù)yAsin()的圖象》主要是用參數(shù)思想探究函數(shù)圖象的變換過(guò)程，認(rèn)識(shí)函數(shù)圖像變換與函數(shù)解析式變換的內(nèi)在聯(lián)系，如果不借助計(jì)算機(jī)的輔助，學(xué)生難以清晰的了解變換過(guò)程。在傳統(tǒng)教學(xué)模式中，先要掌握參數(shù)A、、對(duì)函數(shù)yAsin()圖象的影響，才能作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，這使得學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)有一定的困難，只能借助教材上有限的函數(shù)變換圖象例子來(lái)進(jìn)行研究。而利用幾何畫板可以動(dòng)態(tài)的演示函數(shù)圖象變換過(guò)程，既培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手能力，也清晰的展示了參數(shù)A、、對(duì)函數(shù)yAsin()圖象的影響，能幫助學(xué)生更加深刻的認(rèn)識(shí)函數(shù)圖象的特點(diǎn)。在教學(xué)時(shí)，可以先指導(dǎo)學(xué)生用幾何畫板作出ysinx、ysin(x)、y2sin(2x)這三個(gè)函數(shù)圖象進(jìn)行試驗(yàn)，作圖的步驟33如下：打開幾何畫板—定義坐標(biāo)系—繪制新函數(shù)—sinX，再更改sinX的參數(shù)即可繪制出另兩個(gè)函數(shù)圖象。再繪制yAsin()函數(shù)圖象(圖5)，讓學(xué)生嘗試改變參數(shù)，觀察實(shí)驗(yàn)結(jié)果。利用改變的值,可能學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象中有動(dòng)態(tài)的橫向平移變換:當(dāng)>0時(shí),圖象向左遷移個(gè)單元;當(dāng)<0后,將圖象向左平移,就能夠很簡(jiǎn)單的總結(jié)出改變的結(jié)果是函數(shù)圖像的相位。而通過(guò)連續(xù)變化ω的數(shù)值,學(xué)生會(huì)可以看到函數(shù)圖象呈現(xiàn)了動(dòng)態(tài)的橫向伸縮變換:當(dāng)0<ω<1時(shí),圖象是側(cè)向伸長(zhǎng)到原先的倍;當(dāng)ω>1時(shí),圖象是側(cè)向縮小到原先的倍,函數(shù)周期產(chǎn)生了變化而縱坐標(biāo)系不變,我們自然得出ω變化的是函數(shù)圖象的周期性。讓學(xué)生進(jìn)行連續(xù)變化A的值,學(xué)生會(huì)看到函數(shù)圖象呈現(xiàn)動(dòng)態(tài)的縱面伸縮變化:當(dāng)A>1時(shí),圖象伸長(zhǎng)到原先的倍;當(dāng)<1時(shí),圖象縮小到原先的倍,容易得出A變化的是函數(shù)圖象的周期性。利用幾何畫板生動(dòng)地顯示y=Asin(ωx+φ)的圖象,讓學(xué)習(xí)者通過(guò)依次拖動(dòng)變化參數(shù),就能夠真正觀測(cè)到了函數(shù)圖像所生成的變化過(guò)程和結(jié)果。利用幾何畫板的動(dòng)作跟蹤功能,讓學(xué)習(xí)者可以通過(guò)對(duì)函數(shù)圖像進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)踐運(yùn)用,對(duì)一切要實(shí)驗(yàn)的值進(jìn)行實(shí)驗(yàn),從而可以更準(zhǔn)確的顯示由于參數(shù)改變所產(chǎn)生的函數(shù)值的變化和函數(shù)圖像的變化,使學(xué)生參與到知識(shí)的形成過(guò)程,對(duì)問(wèn)題認(rèn)識(shí)的更加深刻。 圖5

結(jié)語(yǔ)通過(guò)使用幾何畫板降低了繪制精確圖象的門檻，有助于學(xué)生快速建立數(shù)學(xué)直觀，能幫助學(xué)生突破重難點(diǎn)，使得學(xué)生更容易參與到知識(shí)形成的過(guò)程中來(lái)，構(gòu)建先關(guān)的概念知識(shí)，發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律和內(nèi)在聯(lián)系。在課堂教學(xué)時(shí),借助幾何畫板有助于形成以學(xué)習(xí)者為主體的課堂,也可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)的合作教學(xué)才能,培養(yǎng)學(xué)生觀察提問(wèn)、出現(xiàn)新提問(wèn)、解答重復(fù)提問(wèn)的教學(xué)才能,和與數(shù)形緊密結(jié)合的數(shù)學(xué)。幾何畫板可以協(xié)助老師改革《三角函數(shù)》的教學(xué)方法,補(bǔ)充傳統(tǒng)課程缺陷,增強(qiáng)課堂教學(xué)、提升課堂效益,也有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。參考文獻(xiàn)[1]何鑫淼：《建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論在藝術(shù)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用》，科學(xué)大眾，2014-08[2]覃桂燕：《幾何畫板在三角函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用》，廣西教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2011-01[3]李瓊：《簡(jiǎn)談《幾何畫板》在高中數(shù)學(xué)教