八年級數(shù)學專題第十一講 等腰三角形的性質(zhì)

第十一

新課標八年級數(shù)學競賽講座等腰三形的性質(zhì)若按邊(角)是否相等分類，兩邊()相等的三角形是等腰三形．等腰三角形是一類特殊三角形，它的兩底角相等；等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的高、中線、頂角的平分線互相重合簡稱三線合一，特別地，等邊三角形的各邊相等，各角都為60．解與等腰三角形相關的問題，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是思考運用等腰三角形的特殊性質(zhì)這些性質(zhì)角度的計算線段相等的證明直線位置關系的證明等問題提供了新的理論依據(jù)因重全等三角形的運用又不囿于全等三角形，善于運用等腰三角形的性質(zhì)探求新的解題途徑．例求【例】如圖一鋼架，且∠AOB=10°為使鋼架更加堅固，需在其內(nèi)部添加一些鋼管、FGGH??加的鋼管長度都與相，則最多能添加這樣的鋼管根(山東省聊城市中考思點通過角度的計算，確定添加鋼管數(shù)的最大值．注角是幾何中最活躍的元素與角相關的知識異常豐富，在三角形中，角又有獨特的等量關系，如三角形內(nèi)角和定理外關系定理等腰三角形兩底角相等利這些定理可以找到角與角之間的“和隨著知識的豐富，我們分析問題、解決問題的方法和工具隨之增加，因此，在使用什么方法解決問題時，需要綜合與選擇．【例】如圖，若AB=AC，BG＝BH，AK=KG，則∠的度數(shù)為（)A°D．°°D°(武漢市選拔賽試題思點圖中有很多相關的角，用BAC的數(shù)式表示這些角建立關于BAC的方程．【例3如圖，在△，已知∠°，AB=ACD為AC上點，AE⊥于E延長AE交BC于F，問：當點D滿什么條件時，＝∠，請說明理由．(安徽省競賽題改編)思點本是探索條件的問題，可先假定結論成立，逐步逆推過去，找相應的條件，若＝∠CDF這一結論如何?因與∠CDF對應的三角形不全等故需構造全等三角形，而作頂角的平分線或底邊上的中線)等腰三角形中一條常用輔助線．

1新課標八年級數(shù)學競賽講座1【例】如圖，在△ABC中，AC＝，∠°D是AC上點⊥BD的延長線于，且BD求證BD是ABC的平分線．2(北京市競賽題)思點AE邊的高與ABC的分線重合聯(lián)想到等腰三角過作輔助線構造全等三角形、等腰三角形．注若知圖形中不存在證題所需的全等三角形，我們需要添加輔助戰(zhàn)，構造全等三角形，使欲證的線段或角轉(zhuǎn)移位置，最終使問題得以解決．結論探索型、條件探索型、存在性判斷是探索型問題的基本形式，相應的解題策略是：(1)通過對符合條件的特例或簡單形的分析、觀察、猜想結果，再給出證明；(2)假設結論成立，逆推追尋相應條件；(3)假設在題設條件下的某一數(shù)學象存在，進行推理，若由此導出矛盾，則否定假設；否則，給出肯定的結論．【例】如圖，在中已知＝°AC>BC，ABC′BCA′′都是△ABC形外的等邊三角形，而點D在AC，且BC＝(1)證明：eq\o\ac(△,C)eq\o\ac(△,)BDeq\o\ac(△,B)eq\o\ac(△,)′DC(2)證明：eq\o\ac(△,)′D≌eq\o\ac(△,)′A；(3)對△、ABC、△BCA、△CAB，從面積大小關系上你能得出什么結論(江蘇省競賽題思路點撥(1)是基礎(2)是(的自然推論(3)由角的不等，導出邊的不等關系，這是探索面積不等關系的關鍵．學訓．如圖，△ABC中已＝AC要使AD=AE，需要添加的一個條件是．(濟南市中考題等三角形一腰的中線把這個三角形的周長分成12cm和部分這個等腰三角形底邊的長為．．△ABC，AB＝AC，∠°，BP=CEBD=CP，則∠

度．

12新課標八年級數(shù)學競賽講座12．如圖，△ABC中⊥BC于，AC于，AD與BE相于點，若BF＝AC，則∠的?。?煙臺市中考題．△ABC一個內(nèi)角的大小是°，且∠B，那么∠C的角的大小()A°B80或°．°或°D．°°．已知ABC中，AB＝AC∠°直角的頂點是中點，兩邊、分交AB、于、，給出以下四個結論：①AE=CFeq\o\ac(△,②)EPF是腰直角三角形SEF=AP∠△ABC內(nèi)頂點P旋時點E與A四邊形EPFB重)，上述結論中始終正確的()A1個B．個．個D4個(蘇州市中考題．如圖，在ABC，∠°AC＝AE，BCBF則∠＝)A60°B．45°C30°D．不確定．如圖，在等邊ABC中，BD，AD與相于點P，∠度數(shù)是)A45°D55C．°D°(菏澤市中考題．在△ABC中已知AB＝AC，且過△某一頂點的直線可ABC分兩個等腰三角形，試求厶ABC各內(nèi)的度數(shù)．(廣州市中考題10如圖，已知、兩分別是正三角形、正三角形ABC的心，連結GH、AD，延長AD交于M長交于N是與AB的點是EDAC的點．(1)請寫出三個不同類型的、必須過至少兩步推理才能得到的正確結論（不要求寫出證明過程(2)問、、有位置關證明你的結論．(江西省中考題)．如圖，在eq\o\ac(△,Rt)ABC中已知∠°，，D為DC的點CEAD于EBF∥AC交的長線于點F．求證：AB垂平．(河南省中考題)

新課標八年級數(shù)學競賽講座12如圖O為邊三角ABC內(nèi)點BD＝DABEAB＝∠，BED的度數(shù)是．(河南省競賽題)13如圖′BB分別是、的分線，若AA′=BB′＝AB，BAC的度數(shù)為．全國初中數(shù)學聯(lián)賽)種．14周長為100，邊為整數(shù)的等腰三角形共有(“華杯賽”試)15已知等腰三角形的兩邊、b滿2aa為．

=0則此等腰三角形的周長16如圖，在ABC中∠AD⊥BC于D且＝DC，則∠C的大小是)A20°B．25C30°D．45°17如圖，在等腰直角△ABC中AD為邊上的高，以D為端點任作兩條互相垂直的射線與兩腰相交于、，連結與AD相交于，則∠AED與的系為()AAED>∠B∠AED∠AGF．∠AGFD．不能確定習）公開賽試題）18如圖，直線l

1

、l

2

、l

3

表示三條相交的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址()A一處B兩處．三處(安徽省中考題)

D．處19△的邊為a、、c，且滿足

a

3.252

a2

，eq\o\ac(△,則)ABC是)A直角三角形B等腰三角形．等邊三角形D．以答案都不對(河南省競賽題20如圖，在ABC中AB=AC底上一點，PD于D，⊥AC于，⊥AB于F(1)求證：；(2)若P點BC的長線上，那么PD、PECF存什關?寫你的猜想并證明．

新課標八年級數(shù)學競賽講座21如圖，在等腰直角△ABC中BAC90°，AD=AEAF交于點，過作FGCD交延線于G，求證：BG=AF+FG．重慶市競賽)22如圖，在ABC中AB＝AC，∠BAC°O為△ABC內(nèi)一點，且∠°∠°，求BAO度數(shù)．(天津市競賽題)23如圖，等邊△ABC中，，是AB邊的任意一點(點可以與點A重，但不與點合)過P作PE于E過作⊥AC于F過點F