八年級(jí)數(shù)學(xué)專題第十一講 等腰三角形的性質(zhì)

第十一

新課標(biāo)八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座等腰三形的性質(zhì)若按邊(角)是否相等分類(lèi)，兩邊()相等的三角形是等腰三形．等腰三角形是一類(lèi)特殊三角形，它的兩底角相等；等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，底邊上的高、中線、頂角的平分線互相重合簡(jiǎn)稱三線合一，特別地，等邊三角形的各邊相等，各角都為60．解與等腰三角形相關(guān)的問(wèn)題，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是思考運(yùn)用等腰三角形的特殊性質(zhì)這些性質(zhì)角度的計(jì)算線段相等的證明直線位置關(guān)系的證明等問(wèn)題提供了新的理論依據(jù)因重全等三角形的運(yùn)用又不囿于全等三角形，善于運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)探求新的解題途徑．例求【例】如圖一鋼架，且∠AOB=10°為使鋼架更加堅(jiān)固，需在其內(nèi)部添加一些鋼管、FGGH??加的鋼管長(zhǎng)度都與相，則最多能添加這樣的鋼管根(山東省聊城市中考思點(diǎn)通過(guò)角度的計(jì)算，確定添加鋼管數(shù)的最大值．注角是幾何中最活躍的元素與角相關(guān)的知識(shí)異常豐富，在三角形中，角又有獨(dú)特的等量關(guān)系，如三角形內(nèi)角和定理外關(guān)系定理等腰三角形兩底角相等利這些定理可以找到角與角之間的“和隨著知識(shí)的豐富，我們分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的方法和工具隨之增加，因此，在使用什么方法解決問(wèn)題時(shí)，需要綜合與選擇．【例】如圖，若AB=AC，BG＝BH，AK=KG，則∠的度數(shù)為（)A°D．°°D°(武漢市選拔賽試題思點(diǎn)圖中有很多相關(guān)的角，用BAC的數(shù)式表示這些角建立關(guān)于BAC的方程．【例3如圖，在△，已知∠°，AB=ACD為AC上點(diǎn)，AE⊥于E延長(zhǎng)AE交BC于F，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)D滿什么條件時(shí)，＝∠，請(qǐng)說(shuō)明理由．(安徽省競(jìng)賽題改編)思點(diǎn)本是探索條件的問(wèn)題，可先假定結(jié)論成立，逐步逆推過(guò)去，找相應(yīng)的條件，若＝∠CDF這一結(jié)論如何?因與∠CDF對(duì)應(yīng)的三角形不全等故需構(gòu)造全等三角形，而作頂角的平分線或底邊上的中線)等腰三角形中一條常用輔助線．

1新課標(biāo)八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座1【例】如圖，在△ABC中，AC＝，∠°D是AC上點(diǎn)⊥BD的延長(zhǎng)線于，且BD求證BD是ABC的平分線．2(北京市競(jìng)賽題)思點(diǎn)AE邊的高與ABC的分線重合聯(lián)想到等腰三角過(guò)作輔助線構(gòu)造全等三角形、等腰三角形．注若知圖形中不存在證題所需的全等三角形，我們需要添加輔助戰(zhàn)，構(gòu)造全等三角形，使欲證的線段或角轉(zhuǎn)移位置，最終使問(wèn)題得以解決．結(jié)論探索型、條件探索型、存在性判斷是探索型問(wèn)題的基本形式，相應(yīng)的解題策略是：(1)通過(guò)對(duì)符合條件的特例或簡(jiǎn)單形的分析、觀察、猜想結(jié)果，再給出證明；(2)假設(shè)結(jié)論成立，逆推追尋相應(yīng)條件；(3)假設(shè)在題設(shè)條件下的某一數(shù)學(xué)象存在，進(jìn)行推理，若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)；否則，給出肯定的結(jié)論．【例】如圖，在中已知＝°AC>BC，ABC′BCA′′都是△ABC形外的等邊三角形，而點(diǎn)D在AC，且BC＝(1)證明：eq\o\ac(△,C)eq\o\ac(△,)BDeq\o\ac(△,B)eq\o\ac(△,)′DC(2)證明：eq\o\ac(△,)′D≌eq\o\ac(△,)′A；(3)對(duì)△、ABC、△BCA、△CAB，從面積大小關(guān)系上你能得出什么結(jié)論(江蘇省競(jìng)賽題思路點(diǎn)撥(1)是基礎(chǔ)(2)是(的自然推論(3)由角的不等，導(dǎo)出邊的不等關(guān)系，這是探索面積不等關(guān)系的關(guān)鍵．學(xué)訓(xùn)．如圖，△ABC中已＝AC要使AD=AE，需要添加的一個(gè)條件是．(濟(jì)南市中考題等三角形一腰的中線把這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分成12cm和部分這個(gè)等腰三角形底邊的長(zhǎng)為．．△ABC，AB＝AC，∠°，BP=CEBD=CP，則∠

度．

12新課標(biāo)八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座12．如圖，△ABC中⊥BC于，AC于，AD與BE相于點(diǎn)，若BF＝AC，則∠的小．(煙臺(tái)市中考題．△ABC一個(gè)內(nèi)角的大小是°，且∠B，那么∠C的角的大小()A°B80或°．°或°D．°°．已知ABC中，AB＝AC∠°直角的頂點(diǎn)是中點(diǎn)，兩邊、分交AB、于、，給出以下四個(gè)結(jié)論：①AE=CFeq\o\ac(△,②)EPF是腰直角三角形SEF=AP∠△ABC內(nèi)頂點(diǎn)P旋時(shí)點(diǎn)E與A四邊形EPFB重)，上述結(jié)論中始終正確的()A1個(gè)B．個(gè)．個(gè)D4個(gè)(蘇州市中考題．如圖，在ABC，∠°AC＝AE，BCBF則∠＝)A60°B．45°C30°D．不確定．如圖，在等邊ABC中，BD，AD與相于點(diǎn)P，∠度數(shù)是)A45°D55C．°D°(菏澤市中考題．在△ABC中已知AB＝AC，且過(guò)△某一頂點(diǎn)的直線可ABC分兩個(gè)等腰三角形，試求厶ABC各內(nèi)的度數(shù)．(廣州市中考題10如圖，已知、兩分別是正三角形、正三角形ABC的心，連結(jié)GH、AD，延長(zhǎng)AD交于M長(zhǎng)交于N是與AB的點(diǎn)是EDAC的點(diǎn)．(1)請(qǐng)寫(xiě)出三個(gè)不同類(lèi)型的、必須過(guò)至少兩步推理才能得到的正確結(jié)論（不要求寫(xiě)出證明過(guò)程(2)問(wèn)、、有位置關(guān)證明你的結(jié)論．(江西省中考題)．如圖，在eq\o\ac(△,Rt)ABC中已知∠°，，D為DC的點(diǎn)CEAD于EBF∥AC交的長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：AB垂平．(河南省中考題)

新課標(biāo)八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座12如圖O為邊三角ABC內(nèi)點(diǎn)BD＝DABEAB＝∠，BED的度數(shù)是．(河南省競(jìng)賽題)13如圖′BB分別是、的分線，若AA′=BB′＝AB，BAC的度數(shù)為．全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)種．14周長(zhǎng)為100，邊為整數(shù)的等腰三角形共有(“華杯賽”試)15已知等腰三角形的兩邊、b滿2aa為．

=0則此等腰三角形的周長(zhǎng)16如圖，在ABC中∠AD⊥BC于D且＝DC，則∠C的大小是)A20°B．25C30°D．45°17如圖，在等腰直角△ABC中AD為邊上的高，以D為端點(diǎn)任作兩條互相垂直的射線與兩腰相交于、，連結(jié)與AD相交于，則∠AED與的系為()AAED>∠B∠AED∠AGF．∠AGFD．不能確定習(xí)）公開(kāi)賽試題）18如圖，直線l

1

、l

2

、l

3

表示三條相交的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址()A一處B兩處．三處(安徽省中考題)

D．處19△的邊為a、、c，且滿足

a

3.252

a2

，eq\o\ac(△,則)ABC是)A直角三角形B等腰三角形．等邊三角形D．以答案都不對(duì)(河南省競(jìng)賽題20如圖，在ABC中AB=AC底上一點(diǎn)，PD于D，⊥AC于，⊥AB于F(1)求證：；(2)若P點(diǎn)BC的長(zhǎng)線上，那么PD、PECF存什關(guān)?寫(xiě)你的猜想并證明．

新課標(biāo)八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座21如圖，在等腰直角△ABC中BAC90°，AD=AEAF交于點(diǎn)，過(guò)作FGCD交延線于G，求證：BG=AF+FG．重慶市競(jìng)賽)22如圖，在ABC中AB＝AC，∠BAC°O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠°∠°，求BAO度數(shù)．(天津市競(jìng)賽題)23如圖，等邊△ABC中，，是AB邊的任意一點(diǎn)(點(diǎn)可以與點(diǎn)A重，但不與點(diǎn)合)過(guò)P作PE于E過(guò)作⊥AC于F過(guò)點(diǎn)F