空間向量的應(yīng)用同步練習(xí)-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

人教A版（2019）選擇性必修第一冊1.4空間向量的應(yīng)用同步練習(xí)一、單選題1．已知平面α的一個法向量是，，則下列向量可作為平面β的一個法向量的是（

）A． B． C． D．2．已知直線的方向向量為,平面的法向量為,則“”是“∥”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．在棱長為的正方體中，是的中點，則點到平面的距離是（）A． B． C． D．4．已知平面內(nèi)的兩個向量，且．若為平面的法向量，則的值分別為（

）A． B． C．1，2 D．5．正三棱錐的側(cè)面都是直角三角形，，分別是，的中點，則與平面所成角的正弦為（

）A． B． C． D．6．如圖，矩形ABCD中，，E為邊AB的中點，將沿直線DE翻折成.在翻折過程中，直線與平面ABCD所成角的正弦值最大為（

）A． B． C． D．7．如圖所示，正方體的棱長為，，分別為和上的點，且，則與平面的位置關(guān)系是（

）．A．斜交 B．平行C．垂直 D．不能確定8．平行六面體的各棱長均相等，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．9．將邊長為的正方形及其內(nèi)部)繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長為，長為，其中與在平面的同側(cè)，則直線與平面所成的角的正弦值為（

）A． B． C． D．10．若O為坐標(biāo)原點，＝(1,1，－2)，＝(3,2,8)，＝(0,1,0)，則線段AB的中點P到點C的距離為()A． B．C． D．11．如圖所示，在直三棱柱中，，且，，，點在棱上，且三棱錐的體積為，則直線與平面所成角的正弦值等于（

）A． B． C． D．12．已知經(jīng)過點，法向量為的平面方程為，現(xiàn)給出平面的方程為，平面的方程為，則平面、成角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、填空題13．在三棱柱中，，，，則該三棱柱的高為______．14．在正方體中，點E是棱BC的中點，點F是棱CD上的動點，當(dāng)__________時，平面．15．在正方體中，二面角的余弦值為______．16．如圖，在正方體中，點為線段上的動點，分別為棱的中點，若平面，則_______．17．在正方體中，直線與平面所成角的大小為__________．三、解答題18．如圖所示，四棱柱的底面是菱形，側(cè)棱垂直于底面，點，分別在棱，上，且滿足，，平面與平面的交線為.（1）證明：直線平面；（2）已知，，設(shè)與平面所成的角為，求的取值范圍.19．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面，，為的中點，為的中點．(1)求證：平面平面；(2)若，求二面角的余弦值．20．四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，CDAB，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD=4，側(cè)面PAD⊥面ABCD，PA=PD=2.(1)求證：BD⊥PA；(2)已知平面PAD與平面PBC的交線為l，在l上是否存在點N，使二面角P-DC-N的余弦值為？若存在，請確定N點位置，若不存在，請說明理由.21．如圖，六面體中，面且面，，，.（1）求證：平面；（2）若二面角的余弦值為，求點到面的距離.參考答案：1．D兩個平面平行，其法向量也平行，即可判斷各選項.【詳解】平面α的一個法向量是，，設(shè)平面的法向量為，則，對比四個選項可知，只有D符合要求，故選：D.本題考查了平面法向量的性質(zhì)，兩個平面法向量的關(guān)系，空間向量平行的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.2．B根據(jù)線面平行的定義結(jié)合充分必要條件的定義判斷,即可求得答案.【詳解】,即,不一定有∥,也可能“”是“∥”的不充分條件∥,可以推出,“”是“∥”是必要條件,綜上所述,“”是“∥”必要不充分條件.故選:B.本題主要考查了判斷必要不充分條件,解題關(guān)鍵是掌握充分條件和必要條件的定義,屬于中檔題.3．A以為空間直角坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，通過點面距離公式，計算點到平面的距離.【詳解】以為空間直角坐標(biāo)原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.由于是中點，故，且，設(shè)是平面的法向量，故，故可設(shè)，故到平面的距離.故選A.本小題主要考查利用空間向量計算點到面的距離.計算過程中要先求得平面的法向量.屬于基礎(chǔ)題.4．A由空間向量線性關(guān)系的坐標(biāo)運算求坐標(biāo)，再根據(jù)為平面的法向量有，即可求.【詳解】．由為平面的法向量，得，即，解得．故選：A5．C建立空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)點的坐標(biāo)及平面平面PEF的法向量，代入即可得解.【詳解】以點P為原點，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則，，設(shè)平面PEF的法向量，則，取得，設(shè)平面與平面所成角為，則故選：C本題考查線面角的求法，建立適當(dāng)坐標(biāo)系用空間向量法進(jìn)行求解，屬于基礎(chǔ)題.6．A分別取DE，DC的中點O，F(xiàn)，點A的軌跡是以AF為直徑的圓，以為軸，過與平面垂直的直線為軸建立坐標(biāo)系，利用向量法求出正弦值為，換元后利用基本不等式可得答案.【詳解】分別取DE，DC的中點O，F(xiàn)，則點A的軌跡是以AF為直徑的圓，以為軸，過與平面垂直的直線為軸建立坐標(biāo)系，則，平面ABCD的其中一個法向量為=(0,0.1)，由，設(shè)，則，記直線與平面ABCD所成角為，則設(shè)，所以直線與平面ABCD所成角的正弦值最大為，故選：A.本題主要考查利用向量法求線面角，考查了三角函數(shù)的恒的變換以及基本不等式的應(yīng)用，考查了空間想象能力與計算能力，屬于綜合題.7．B設(shè)，，，由空間向量的線性運算可得到，由此證得與，共面，可知平面，進(jìn)而得到結(jié)論.【詳解】設(shè)，，，由題意知：，又，，，則，與，共面，平面，又平面平面，平面．故選：B.8．B利用基底向量表示出向量，，即可根據(jù)向量的夾角公式求出．【詳解】如圖所示：不妨設(shè)棱長為1，，，所以＝＝，，，即，故異面直線與所成角的余弦值為．故選：B．9．B建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出所需點的坐標(biāo)，然后在直角三角形中求解即可．【詳解】解：以為坐標(biāo)原點，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，又點到平面的距離為1，故直線與平面所成的角的正弦值為．故選：B．10．D先求出的坐標(biāo)，再利用三角形減法法則求的坐標(biāo)，再求||即得解.【詳解】由題意＝(＋)＝，＝－＝，||＝.故答案為D本題主要考查向量的坐標(biāo)運算，考查向量的三角形法則和平行四邊形法則，考查向量的模的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.11．C利用錐體的體積公式可求得，然后以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】由已知得底面，且，所以，解得.如圖所示，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、，則，，.設(shè)平面的法向量為，則由可得，即，得，令，得，所以為平面的一個法向量.設(shè)直線與平面所成的角為，則.故選：C.方法點睛：求直線與平面所成角的方法：（1）定義法，①作，在直線上選取恰當(dāng)?shù)狞c向平面引垂線，確定垂足的位置是關(guān)鍵；②證，證明所作的角為直線與平面所成的角，證明的主要依據(jù)是直線與平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知識求角；（2）向量法，（其中為平面的斜線，為平面的法向量，為斜線與平面所成的角）.12．B根據(jù)經(jīng)過點，法向量為的平面方程為的定義，分別求得平面、的法向量，由求解.【詳解】平面過點，則平面的方程為，其法向量為，，平面過點，則平面的方程為，其法向量為，，設(shè)平面、成角的平面角為，則，故選：B.方法點睛：求二面角的向量方法：分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．13．2三棱柱的高即為到平面的距離，利用點到平面距離的空間向量求法可求得結(jié)果.【詳解】由題意知：該三棱柱的高即點到平面的距離設(shè)是平面的一個法向量則，令，解得：，

故答案為：2本題考查空間向量法求解點到平面的距離問題，關(guān)鍵是能夠?qū)⑷庵叩那蠼鈫栴}成功轉(zhuǎn)化為點到面的距離的求解問題.14．首先如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用垂直關(guān)系，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算求解.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長為，，，，，，，，若平面，則，即，解得：，所以故答案為：15．##建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，則，，，，，，，．設(shè)平面和平面的法向量分別為和，則，取，得，，取，得，則，顯然二面角是鈍二面角，所以其余弦值為．故答案為：16．以D為原點，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長為2,用向量法求解.【詳解】如圖所示,以D為原點，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體邊長為2,可得設(shè)，可得可得,可得.設(shè)平面的一個法向量，則有，即不妨令x=-2，則.因為平面，所以，解得：，即.故答案為：.17．##以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的大小.【詳解】解：以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，則、、、，，，設(shè)平面的法向量為，由，取，可得，，，因此，直線與平面所成角的大小為.故答案為：.18．（1）證明見解析；（2）.（1）連接，與交于點，根據(jù)題中條件，由線面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論成立；（2）以為坐標(biāo)原點，分別以，的方向為，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，得到是平面的一個法向量，再得到，根據(jù)向量夾角公式，即可求出線面角的正弦值.【詳解】（1）如圖，連接，與交于點.由條件可知，且，所以，因為平面，所以平面.因為平面平面，所以.因為四棱柱的底面是菱形，且側(cè)棱垂直于底面，所以，，又，所以平面，所以平面.（2）如圖所示，以為坐標(biāo)原點，分別以，的方向為，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，因為，所以.則，.所以，，.由（1）可知是平面的一個法向量，而，所以，當(dāng)時，，即.方法點睛：求空間角的常用方法：（1）定義法，由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計算向量夾角（直線方向向量與直線方向向量、直線方向向量與平面法向量，平面法向量與平面法向量）余弦值，即可求出結(jié)果.19．(1)證明見解析(2)（1）通過證明和得平面，再利用面面垂直判定定理求解；（2）建立空間直角坐標(biāo)系求兩個平面的法向量代入二面角公式求解.(1)因為底面是菱形，，所以△為等邊三角形，所以平分，所以，所以，又因為平面，所以，且，所以平面，又平面，所以平面平面；(2)據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：因為，所以所以，設(shè)平面一個法向量為，平面一個法向量為，因為，，所以，取，所以，所以，又因為，，所以，取，則，所以，所以，由圖形知，二面角為鈍角，故二面角夾角的余弦值為．20．(1)證明見解析(2)存在，N為PM的中點（1）先證明AD⊥BD，PE⊥BD，即可證明BD⊥平面PAD，從而BD⊥PA；（2）建立坐標(biāo)系，用向量法求解即可(1)取AD的中點E，連接PE，CDAB，，，，，∴∠DBA=45°，，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，∴PA=PD，E是AD的中點，∴PE⊥AD∵平面PAD⊥半面ABCD，平面平面ABCD=AD，半面PAD，PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD，平面ABCD，∴PE⊥BD又平面PAD，平面PAD，∴BD⊥平面PAD，又平面PAD∴BD⊥PA.(2)延長BC，AD，設(shè)BC的延長線和AD的延長線交點為M，連接PM，則平面PAD和平面PBC的交線l為直線PM，以B為原點，以BM?BA?平面ABCD的過點B的垂線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，則，，設(shè)，則，設(shè)平面PCD的法向量為，則，，即令可得，設(shè)平面CDN的法向量為，則，，即，令可得，，若二面角P-DC-N的余弦值，則解得：或，令可得，解得，故當(dāng)時，二面角P-DC-N為銳二面角，當(dāng)時，二面角P-DC-N為鈍二面角，，即在直線l上存在點N，當(dāng)N為PM的中點時，二面角P-DC-N的余弦值為.21．（1）證明見解析；（2）.（1）證明，，即可證明線面垂直；（2）取中點，由題可知，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，于是面，又為正三角形，所以，，兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點，，，分別為，，正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，