2021-2022學(xué)年山東省青島市即墨南泉中學(xué)高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析

2021-2022學(xué)年山東省青島市即墨南泉中學(xué)高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|x﹣1≥0}，則A∩B等于(

) A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|x≤﹣1或1≤x＜2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|1≤x＜2}參考答案：D考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：先分別求出集合A和集合B，然后再求出集合A∩B．解答： 解：∵集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，∴A∩B={x|﹣1＜x＜2}∩{x|x≥1}={x|1≤x＜2}故選D．點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查集合的基本運(yùn)算，不等式的解法，考查計(jì)算能力．2.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，則中最大的數(shù)是A．

B．

C．

D．參考答案：A

由于函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)且為單調(diào)遞減函數(shù)，分別表示函數(shù)在點(diǎn)處切線的斜率，因?yàn)?，，故分別表示函數(shù)圖象上兩點(diǎn)和兩點(diǎn)連線的斜率，由函數(shù)圖象可知一定有，四個(gè)數(shù)中最大的是，故選.3.曲線y=在點(diǎn)（﹣1，﹣1）處的切線方程為(

)A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】常規(guī)題型；計(jì)算題．【分析】欲求在點(diǎn)（﹣1，﹣1）處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=﹣1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．【解答】解：∵y=，∴y′=，所以k=y′|x=﹣1=2，得切線的斜率為2，所以k=2；所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（﹣1，﹣1）處的切線方程為：y+1=2×（x+1），即y=2x+1．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．4.將標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5，6的6個(gè)小球放入3個(gè)不同的盒子中，若每盒放2個(gè)，則標(biāo)號(hào)為1，6的小球不在同一盒中的概率為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A略5.已知是直線，、是兩個(gè)不同的平面，命題∥則；命題則∥；命題∥，則，則下列命題中，真命題是（

）A． B． C． D．參考答案：C6.已知定義在[1，+∞）上的函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是A.函數(shù)的值域?yàn)閇1，4]；

B.關(guān)于的方程（n∈N*）有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；C.當(dāng)x∈[2n﹣1，2n]（n∈N*）時(shí)，函數(shù)的圖象與軸圍成的面積為2；D.存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立.參考答案：C7.若右邊的程序框圖輸出的是，則條件①可為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B8.已知=1﹣bi，其中a，b是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則|a﹣bi|=（）A．3 B．2 C．5 D．參考答案：D【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)求模．【分析】通過復(fù)數(shù)的相等求出a、b，然后求解復(fù)數(shù)的模．【解答】解：=1﹣bi，可得a=1+b+（1﹣b）i，因?yàn)閍，b是實(shí)數(shù)，所以，解得a=2，b=1．所以|a﹣bi|=|2﹣i|==．故選：D．9.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則a等于

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C解析：為實(shí)數(shù)，則．10.已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖甲和圖乙所示.為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為（

）A.100，10 B.100，20 C.200，10 D.200，20參考答案：D【分析】根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論．【詳解】由題得樣本容量為，抽取的高中生人數(shù)為人，則近視人數(shù)為人，故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在正項(xiàng)等比數(shù)列中，a3a7=4，則數(shù)列{}的前9項(xiàng)之和為

.參考答案：答案：912.(理)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到曲線上的點(diǎn)的距離的最小值為____．參考答案：13.曲線為參數(shù)）與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為

。參考答案：214.若存在實(shí)數(shù)使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.參考答案：15.已知球O的內(nèi)接圓錐體積為，其底面半徑為1，則球O的表面積為__________.參考答案：【分析】利用圓錐體積公式求得圓錐的高，再利用直角三角形建立關(guān)于的方程，即可得解.【詳解】由圓錐體積為，其底面半徑為，設(shè)圓錐高為則，可求得設(shè)球半徑為，可得方程：，解得：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】此題考查了球的內(nèi)接圓錐問題，關(guān)鍵是利用勾股定理建立關(guān)于半徑的方程，屬于基礎(chǔ)題.16.若頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線經(jīng)過四個(gè)點(diǎn)(1,1)，，(2,1)，(4,2)中的2個(gè)點(diǎn)，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是________．參考答案：x2=8y或y2＝x【分析】分兩類情況，設(shè)出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，逐一檢驗(yàn)即可.【詳解】設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，不難驗(yàn)證適合，故x2=8y；設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，不難驗(yàn)證(1,1)，(4,2)適合，故y2=x；故答案為：x2=8y或y2＝x【點(diǎn)睛】本題考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查待定系數(shù)法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.17.二項(xiàng)展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為

．參考答案：考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列⑴求證：為等差數(shù)列；⑵求的前n項(xiàng)和；參考答案：解：⑴∵∴∴為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差d=1

…………6分⑵由⑴得

∴

…………8分

∴Sn=1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n2Sn=1·22＋2·23＋3·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1

兩式相減得：－Sn=21＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1

=∴Sn=2－2n+1＋n·2n+1=(n－1)·2n+1＋2 略19.如圖，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD為矩形，ADEF為梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2，DE＝1．(Ⅰ)求異面直線EF與BC所成角的大??；(Ⅱ)若二面角A－BF－D的平面角的余弦值為，求CF的長．參考答案：(Ⅰ)延長AD，F(xiàn)E交于Q．因?yàn)锳BCD是矩形，所以BC∥AD，所以∠AQF是異面直線EF與BC所成的角．在梯形ADEF中，因?yàn)镈E∥AF，AF⊥FE，AF＝2，DE＝1得∠AQF＝30°．

(Ⅱ)方法一：設(shè)AB＝x．取AF的中點(diǎn)G．由題意得DG⊥AF．因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，所以AB⊥平面ADEF，所以AB⊥DG．所以DG⊥平面ABF．過G作GH⊥BF，垂足為H，連結(jié)DH，則DH⊥BF，所以∠DHG為二面角A－BF－D的平面角．在直角△AGD中，AD＝2，AG＝1，得DG＝．在直角△BAF中，由＝sin∠AFB＝，得＝，所以GH＝．在直角△DGH中，DG＝，GH＝，得DH＝．因?yàn)閏os∠DHG＝＝，x＝，所以

AB＝．又在梯形AFED中可得DF=2，所以CF=．方法二：設(shè)CD＝x．以F為原點(diǎn)，AF，F(xiàn)Q所在的直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系Fxyz．則F(0，0，0)，A(－2，0，0)，E(，0，0)，D(－1，，0)，B(－2，0，x)，所以＝(1，－，0)，＝(2，0，－x)．因?yàn)镋F⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可?。?0，1，0)．設(shè)＝(x1，y1，z1)為平面BFD的法向量，則所以，可?。?，1，)．因?yàn)閏os<，>＝＝，得x＝，即CD＝．又在梯形AFED中可得DF=2，所以CF=.20.已知橢圓C：（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），短軸的一個(gè)端點(diǎn)B到F的距離等于焦距．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，是否存在直線l，使得△BFM與△BFN的面積比值為2？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓C：+=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），短軸的一個(gè)端點(diǎn)B到F的距離等于焦距，求出幾何量，即可求橢圓C的方程；（Ⅱ）△BFM與△BFN的面積比值為2等價(jià)于FM與FN比值為2，分類討論，設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣1），代入橢圓方程，消x并整理，利用韋達(dá)定理，根據(jù)FM與FN比值為2，即可求得直線方程．解：（Ⅰ）由已知得c=1，a=2c=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴=，∴橢圓C的方程為﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）△BFM與△BFN的面積比值為2等價(jià)于FM與FN比值為2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，F(xiàn)M與FN比值為1，不符合題意，舍去；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣1），直線l的方程代入橢圓方程，消x并整理得（3+4k2）y2+6ky﹣9k2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則y1+y2=﹣①，y1y2=﹣②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由FM與FN比值為2得y1=﹣2y2③由①②③解得k=±，因此存在直線l：y=±（x﹣1）使得△BFM與△BFN的面積比值為2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，△BFM與△BFN的面積比值為2等價(jià)于FM與FN比值為2是關(guān)鍵．21.（14分）已知函數(shù)，常數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；

（2）討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由．參考答案：解析：（1），，．

原不等式的解為．（2）當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意，，

為偶函數(shù)．

當(dāng)時(shí)，，

取，得，

，

函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．

22.(本小題滿分12分)某公司對(duì)夏季室外工作人員規(guī)定如下：當(dāng)氣溫超過35℃時(shí)，室外連續(xù)工作時(shí)間嚴(yán)禁超過100分鐘；不少于60分鐘的，公司給予適當(dāng)補(bǔ)助.隨機(jī)抽取部分工人調(diào)查其高溫室外連續(xù)工作時(shí)間(單位：分鐘)，并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)，其中工作時(shí)間范圍是[0，100]，樣本數(shù)據(jù)分組為[0，20)，[20，40)，[40.60)，[60，80)，[80，100].(1)求頻率分布直方圖中x的值；(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本學(xué)數(shù)據(jù)的中位數(shù)；(3)用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率；用分層抽樣的方法從享受補(bǔ)助人員和不享受補(bǔ)助人員中抽取25人的樣本，檢測(cè)他們健康狀況的變化，那么這兩種人員應(yīng)該各抽取多少人？參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】頻率分布直方圖；用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布；分層抽樣

I1

I2【答案解析】解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖可得：20×(x＋0.0250＋0.0065＋0.0030＋0.0030)＝1，解得x＝0.0125． …4分（Ⅱ）設(shè)中位數(shù)為t，則20×0.0125＋(t－20)×0.0250＝0.5