專題集合論的創(chuàng)立與發(fā)展

專題集合論的創(chuàng)立與發(fā)展第1頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日

19世紀(jì),由德國數(shù)學(xué)家康托（G.Cantor，1845～1918）建立的集合論是關(guān)于無窮集合與超窮數(shù)的數(shù)學(xué)理論，是人類思想史上最偉大的創(chuàng)造之一。

第2頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日一、無窮是什么？神秘莫測的，無邊無際的，蒼穹一樣的迷人的，……詩人，作家，藝術(shù)家，神學(xué)家，科學(xué)家數(shù)學(xué)家

第3頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日從一粒沙子看世界，從一朵野花看蒼穹，把無窮掌握在你的手中，把永恒掌握在頃刻之中。威廉?布萊克（WilliamBlake）英國著名詩人詩作《天真的預(yù)言》（節(jié)選）無窮是什么？第4頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日

第5頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日數(shù)的概念演進(jìn)經(jīng)歷四次飛躍：區(qū)別一與多區(qū)別少數(shù)與大數(shù)區(qū)別有窮數(shù)與無窮數(shù)區(qū)別無窮數(shù)的不同層次每一次飛躍代表對(duì)數(shù)、對(duì)無窮的新認(rèn)識(shí)。

無窮是什么？第6頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日阿基米德（Archimedes287-212B.C.）在《數(shù)沙者》（TheSandReckoner）中定出一種計(jì)算地球上所有海灘上的沙粒數(shù)目的方法，從而糾正了認(rèn)為海灘上的沙粒數(shù)目是無窮的想法。

無窮是什么？第7頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日二、關(guān)于無窮集合的早期認(rèn)識(shí)希臘人通常認(rèn)為無窮是不能接受的概念，它是一個(gè)不著邊際且不確定的東西。亞里士多德（Aristotle，384～322B.C.）

潛無窮與實(shí)無窮地球的年齡正整數(shù)整數(shù)第8頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日兩種無窮觀亞里士多德在他的《物理學(xué)》中得出的結(jié)論是：“可選擇的是無限具有潛性的存在……不會(huì)存在實(shí)無限。”他堅(jiān)持認(rèn)為數(shù)學(xué)中不需要后者。

關(guān)于無窮集合的早期認(rèn)識(shí)第9頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日

無限——悖論棲身之處亞里士多德只承認(rèn)有窮數(shù)的存在。他和經(jīng)院哲學(xué)家們使用的一個(gè)典型論據(jù)是，如果承認(rèn)無窮，就會(huì)導(dǎo)致有窮數(shù)的“湮滅”。

普洛克魯（Proclus，410～485A.D.）伽利略（Galileo，1564～1642）

《兩門新科學(xué)》(1638）“所有無窮大量都一樣，不能比較大小?！标P(guān)于無窮集合的早期認(rèn)識(shí)第10頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日

許多數(shù)學(xué)家像談?wù)摂?shù)一樣談?wù)摕o窮，卻并沒有弄清它的概念或確定它的性質(zhì)。歐拉《代數(shù)學(xué)》(1770年)1/0是無窮大（而他并沒有定義無窮，只是用符號(hào)表示它）

2/0關(guān)于無窮集合的早期認(rèn)識(shí)第11頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日

笛卡爾說過：“無窮可以被認(rèn)知，但不能被理解?！备咚乖?831年寫給舒馬赫的信中說：“我反對(duì)把無窮量作為現(xiàn)實(shí)的實(shí)體來用，在數(shù)學(xué)中這是永遠(yuǎn)不能允許的，無限只不過是一種說話方式，我們所說的極限是指，某些比可以隨意地接近它，而其他的則被允許無界地增加。”關(guān)于無窮集合的早期認(rèn)識(shí)第12頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日

柯西（Cauchy,Augustin-Louis1789—1857）拒絕承認(rèn)完成的無限集合的存在，其根據(jù)就是有這類悖論：一個(gè)完成的無限集合能與其本身的真正部分建立一一對(duì)應(yīng)。

第13頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日

有限集合大小的比較“整體大于部分”

《歐幾里得》十條公設(shè)最后一條計(jì)數(shù)的根據(jù)波呂斐摩斯的故事利用一一對(duì)應(yīng)概念作為計(jì)數(shù)根據(jù)的最早的文字記載之一。

《荷馬史詩》記載荷馬（Homeros)約9-8B.C.古希臘詩人有限集合的早期認(rèn)識(shí)第14頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日當(dāng)俄底修斯刺瞎獨(dú)眼巨人波呂斐摩斯并離開庫克羅普斯國以后，那個(gè)不幸的盲目老人每天坐在山洞口照料他的羊群。早晨母羊外出吃草，每出來一只，他就從一堆石子中撿起一顆石子。晚上母羊返回山洞，每進(jìn)去一只，他就扔掉一顆石子。當(dāng)他把早晨撿起的石子都扔光時(shí)，他就確信所有的母羊全返回了山洞。

第15頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日結(jié)繩記數(shù)成為人類早期表示記數(shù)的方法圖：日本琉球群島的結(jié)繩第16頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日三、無窮集合論的創(chuàng)立波爾查諾（B.Bolzano，1781～1848，捷克）

《無窮的悖論》（1851）第17頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日實(shí)無窮集合兩個(gè)集合等價(jià)的概念，即后來叫做兩個(gè)集合元素之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，適用于有限集合，也適用于無限集合無窮集合中部分或子集可以等價(jià)于整體對(duì)于無窮集合同樣可以指定一個(gè)數(shù)叫超限數(shù)，使不同的無窮集合有不同的超限數(shù)，但他認(rèn)為對(duì)于超限數(shù)無需計(jì)算，所以不用深入研究它們。無窮集合論的創(chuàng)立第18頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日為了說明這種等價(jià)關(guān)系的真實(shí)存在，他舉出了大量實(shí)例.例如，在實(shí)數(shù)集

[0，5]與實(shí)數(shù)集

[0,12]之間可以建立

1—1對(duì)應(yīng)關(guān)系無窮集合論的創(chuàng)立第19頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日直到19世紀(jì)上半葉，雖然數(shù)學(xué)家要處理無窮集合，例如無窮級(jí)數(shù)、實(shí)數(shù)、自然數(shù)，等等；但是，他們一般都避開存在完成的集合的假定后面的麻煩問題。無窮集合論的創(chuàng)立第20頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日康托集合論的起源19世紀(jì),分析的嚴(yán)密化使人們必須考慮，收斂的無窮級(jí)數(shù)（有一個(gè)有限和）和那些發(fā)散級(jí)數(shù)的區(qū)別。在這些級(jí)數(shù)中，三角函數(shù)的無窮級(jí)數(shù)，即以傅立葉命名的傅立葉級(jí)數(shù)，起了極其重要的作用。無窮集合論的創(chuàng)立第21頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日傅立葉（J.B.J.Fourier，1768～1830，法國）

1807年“對(duì)任意給定的函數(shù)都可以用一具有特殊類型的系數(shù)的三角級(jí)數(shù)表示”被稱為傅立葉級(jí)數(shù)成為數(shù)學(xué)分析與數(shù)學(xué)物理中強(qiáng)有力的工具,但在當(dāng)時(shí)被認(rèn)為是缺乏嚴(yán)格性的。無窮集合論的創(chuàng)立第22頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日“集合論，至少部分是起源于黎曼（Riemann）等人對(duì)于三角級(jí)數(shù)豐富的研究以及對(duì)不連續(xù)函數(shù)的分析。狄里克萊（Dirichlet）,李普希茲（Lipschitz），漢凱爾（Hankel）等人都對(duì)探索三角級(jí)數(shù)問題時(shí)引進(jìn)例外點(diǎn)集，但主要是因?yàn)樗麄兇篌w上是在三角級(jí)數(shù)的范圍內(nèi)考慮問題，雖然所作的大量工作包含了集合論的思想，只是在對(duì)函數(shù)分析時(shí)充當(dāng)輔助性手段”無窮集合論的創(chuàng)立第23頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日柯西（A.L.Cauchy，1789～1857）1823年，試圖建立更嚴(yán)格的傅立葉級(jí)數(shù)理論，但他的許多論證是不充分的。狄里希雷（P.G.L.Dirichlet，1805～1859）1829年，發(fā)表了一篇關(guān)于傅立葉級(jí)數(shù)的論文，其中證明，對(duì)于一個(gè)給定的函數(shù)，只要它是連續(xù)的，就完全可以由它的傅立葉級(jí)數(shù)表示，端點(diǎn)可能除外，而在不連續(xù)點(diǎn)和端點(diǎn)（－π和π）處，函數(shù)僅當(dāng)滿足某些附加條件時(shí)才可由傅立葉級(jí)數(shù)表示。第24頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日康托（G.Cantor，1845～1918）1870年-1872年“函數(shù)展開為三角級(jí)數(shù)的唯一性”無窮集合論的創(chuàng)立第25頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日數(shù)學(xué)分析里間斷函數(shù)求積分問題和三角級(jí)數(shù)收斂性問題的研究都要求對(duì)于產(chǎn)生各種不連續(xù)情形的函數(shù)定義域之上的點(diǎn)集進(jìn)行特殊的考察，一般是要求能夠從某一區(qū)間的所有點(diǎn)中分離出另一無窮點(diǎn)集。這個(gè)分離出的無窮集的性質(zhì)在很大程度上影響著對(duì)有關(guān)問題的討論。“無窮的各種關(guān)系弄得完全明朗”無窮集合論的創(chuàng)立第26頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日

“在建立三角級(jí)數(shù)表達(dá)式的唯一性定理時(shí)，他改造了他的前輩和同事的舊思想，表現(xiàn)出一種獨(dú)創(chuàng)精神。康托在整個(gè)研究中將無窮集合作為一個(gè)獨(dú)立于函數(shù)理論的對(duì)象進(jìn)行考察，并在這一過程中大膽開創(chuàng)了數(shù)學(xué)的一個(gè)全新領(lǐng)域——超窮集合論.”無窮集合論的創(chuàng)立第27頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日《論所有實(shí)代數(shù)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)》（1874)

1873年11月29日，康托在給戴德金的一封信中明確提出了后來導(dǎo)致集合論產(chǎn)生的問題：正整數(shù)的集合（n）與實(shí)數(shù)的集合（x）之間能否建立一一對(duì)應(yīng)？無窮集合論的創(chuàng)立第28頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日“取所有正整數(shù)n的集體，表示為（n)，然后考慮所有實(shí)數(shù)x的集體，表示為(x）；簡單說來，問題就是（n)和（x)是否能夠?qū)?yīng)起來，使得一個(gè)集體中的每一個(gè)個(gè)體只對(duì)應(yīng)另一個(gè)集體中一個(gè)且唯一一個(gè)個(gè)體？乍一看，我們可以說答案是否定的，這種對(duì)應(yīng)不可能，因?yàn)椋╪)由離散的部分構(gòu)成，而（x)構(gòu)成一個(gè)連續(xù)統(tǒng)；但是從這種說法我們什么結(jié)果也得不到.雖然我非常傾向于認(rèn)為（n)和（x)不能有這樣一個(gè)一意對(duì)應(yīng)，但是我找不出理由，我對(duì)這事極為關(guān)注，也許這理由非常簡單?！?/p>

第29頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日歷史性發(fā)現(xiàn)：盡管有理數(shù)具有稠密性，但是它們是可數(shù)的！戴德金在《連續(xù)性和無理數(shù)》（1872年出版）

稠密性與連續(xù)性康托在1895年給出的第二個(gè)證明是現(xiàn)在普遍采用的。

無窮集合論的創(chuàng)立第30頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日證明有理數(shù)集Q是可列集（采用對(duì)角線的對(duì)應(yīng)方法）

第31頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日“上面把有理數(shù)域比作直線，結(jié)果認(rèn)識(shí)到前者充滿了間隙，它是不完備的、不連續(xù)的，而我們則把直線看成是沒有間隙的、完備的和連續(xù)的?！钡?2頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日“連續(xù)性公理”實(shí)數(shù)就其數(shù)目和特性而言，要比有理數(shù)更豐富，因?yàn)闊o理數(shù)竟然能不可思議地填滿了有理數(shù)以外的所有空隙，從而在連續(xù)性和完備性上完全超過了有理數(shù)。

第33頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日1873年12月7日，康托在給戴德金的信中斷言實(shí)數(shù)是可數(shù)的，全體實(shí)數(shù)可以排成一個(gè)序

列。但他很快發(fā)現(xiàn)所給出的證明太繁，兩天后當(dāng)他企圖修改它時(shí)，偶然發(fā)現(xiàn)對(duì)任意包含在（0，1）中的區(qū)間（a，b）,他能夠證明存在一個(gè)數(shù)m\in(a，b)，沒有列在上面的序列中。無窮集合論的創(chuàng)立第34頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日由此，康托在一個(gè)星期之內(nèi)戲劇性地改變了自己的主張，獲得一個(gè)全新的、先前幾乎不太令人注意的方法突然涌現(xiàn)在他頭腦中，康托得到了意外的收獲，他立即補(bǔ)上了兩個(gè)證明：代數(shù)數(shù)是可數(shù)的，實(shí)數(shù)是不可數(shù)的。無窮集合論的創(chuàng)立第35頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日康托這第一步的主要成就在于在混沌一片的無窮劃出一首線，在無窮當(dāng)中區(qū)分開來可數(shù)的與不可數(shù)的兩類，這成為研究無窮的出發(fā)點(diǎn)?？低械谝淮伟芽蓴?shù)性概念這詞引進(jìn)數(shù)學(xué)，并且給出明確的含義，判定的方法對(duì)于凡是能和正整數(shù)構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)的任何一個(gè)集合都稱為可列集合（可數(shù)集合）。這是最小的無窮集合。無窮集合論的創(chuàng)立第36頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日“康托1874年的論文中，不但證明了實(shí)數(shù)的不可數(shù)性，而且還把這一性質(zhì)應(yīng)用于一個(gè)長期困擾數(shù)學(xué)家的難題——超越數(shù)的存在?！@是一個(gè)真正引起爭論的定理，因?yàn)槿藗儺吘怪恢罉O少數(shù)幾個(gè)非代數(shù)數(shù)的存在。而康托卻十分自信地說，絕大多數(shù)實(shí)數(shù)是超越數(shù)，但他在作出這種推斷的時(shí)候卻沒有展示出任何一個(gè)具體的超越數(shù)實(shí)例！”無窮集合論的創(chuàng)立第37頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日

“點(diǎn)綴在平面上的代數(shù)數(shù)猶如夜空中的繁星；而沉沉的夜空則由超越數(shù)構(gòu)成?！?/p>

——數(shù)學(xué)史作家埃里克·坦普爾·貝爾第38頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日

1877年6月20日，康托證明了：不僅由平面到直線可以建立一一對(duì)應(yīng)，而且由任意維空間到直線都可以建立一一對(duì)應(yīng)。

“我看到了，但我簡直不能相信它！”

----G.Cantor無窮集合論的創(chuàng)立第39頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日

康托《集合論》(1878)(直譯應(yīng)為《對(duì)流形學(xué)說的一個(gè)貢獻(xiàn)》)：兩個(gè)集合稱為等勢的，如果它們之間能夠建立一一對(duì)應(yīng)。

無窮集合論的創(chuàng)立第40頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日

康托的兩個(gè)基本前提：①可以通過一一對(duì)應(yīng)的方法來確定相同基數(shù)；②實(shí)無窮是一個(gè)確實(shí)的概念。

無窮集合論的創(chuàng)立第41頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日1879年-1884年間，康托相繼發(fā)表了六篇系列文章，匯集成《關(guān)于無窮的線性點(diǎn)集》1879年這篇，康托闡明了點(diǎn)集的另一個(gè)重要問題：按照集合的勢對(duì)點(diǎn)集進(jìn)行分類

無窮集合論的創(chuàng)立第42頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日《集合論基礎(chǔ)》的出版（1883年）康托數(shù)學(xué)研究的里程碑。其主要成果是引進(jìn)了作為自然數(shù)系的獨(dú)立和系統(tǒng)擴(kuò)充的超窮數(shù)?？低型ㄟ^對(duì)無窮集的研究，創(chuàng)造了一種新的數(shù)字和一種新的數(shù)字類型。

無窮集合論的創(chuàng)立第43頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日康托清醒地認(rèn)識(shí)到，他這樣做是一種大膽的冒進(jìn)?！拔液芰私膺@樣做將使我自己處于某種與數(shù)學(xué)中關(guān)于無窮和自然數(shù)性質(zhì)的傳統(tǒng)觀念相對(duì)立的地位，但我深信，超窮數(shù)終將被承認(rèn)是對(duì)數(shù)概念最簡單、最適當(dāng)和最自然的擴(kuò)充?！睙o窮集合論的創(chuàng)立第44頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日《基礎(chǔ)》中康托關(guān)于無窮的哲學(xué)第一次公開地為實(shí)無窮這一大多數(shù)神學(xué)家，哲學(xué)家和神學(xué)家長期反對(duì)的概念提供了辯護(hù)。無窮集合論的創(chuàng)立第45頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日康托認(rèn)為，無論數(shù)學(xué)家們過去曾經(jīng)作過什么假定，我們都不應(yīng)認(rèn)為有窮的性質(zhì)可以適用于無窮的各種情況，而又正是這種不加限制的推廣導(dǎo)致了種種矛盾和誤解。無窮集合論的創(chuàng)立第46頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日波爾查諾是實(shí)無窮的堅(jiān)定擁護(hù)者實(shí)無窮可以無矛盾地引進(jìn)數(shù)學(xué)的思想?！稛o窮的悖論》（1821年）是對(duì)數(shù)學(xué)和哲學(xué)的重要貢獻(xiàn)。著作的特色之一是關(guān)于實(shí)無窮和潛無窮的區(qū)分。

數(shù)學(xué)上“實(shí)無窮”的概念；勢及序數(shù)的概念；無窮集合論的創(chuàng)立第47頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日第一，肯定實(shí)無窮是數(shù)學(xué)理論發(fā)展的需要。第二，無窮有其固有的本質(zhì)，不能把有窮所具有的一切性質(zhì)都強(qiáng)加于無窮。第三，有窮的認(rèn)識(shí)能力可以認(rèn)識(shí)無窮。

無窮集合論的創(chuàng)立第48頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日“正象每個(gè)特例所表明的那樣，我們可以從更一般的角度引出這樣的結(jié)論：所有反對(duì)實(shí)無窮可能性的所謂證明都是站不住腳的，他們一開始就期望無窮數(shù)具有有窮數(shù)的所有特性，甚至把有窮數(shù)的性質(zhì)強(qiáng)加到無窮數(shù)上；與此相反，如果我們能以任何方式理解無窮數(shù)的話，倒是由于它們（就其與有窮數(shù)的對(duì)立而言）構(gòu)成了全新的一個(gè)數(shù)類，它們的性質(zhì)完全依賴于事物本身的性質(zhì)，這是研究的對(duì)象，而并不從屬于我們的主觀臆想和偏見?！钡?9頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日《超窮數(shù)理論的奠基性貢獻(xiàn)》，于1895年和1897年先后發(fā)表了兩篇對(duì)超限基數(shù)理論具有決定意義的論文?！靶蛐汀钡母拍睿鄳?yīng)的序數(shù)。集合超限基數(shù)和超限序數(shù)的定義，符號(hào)；排成一個(gè)“序列”；加法，乘法和乘方。無窮集合論的創(chuàng)立第50頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日《貢獻(xiàn)》的第一段話是那個(gè)關(guān)于集合的經(jīng)典定義定義：集合M是能夠明確區(qū)分的思維或感知的對(duì)象m（稱為M的元素）的總體。無窮集合論的創(chuàng)立第51頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日四、集合論悖論1．康托悖論（1895年發(fā)現(xiàn)，1899年公布）2．布拉里-弗蒂悖論（1897）3．羅素悖論（1902）4．理查德悖論（1905）5．佩利悖論（1906）6．格里靈悖論（1908)

第52頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日羅素悖論（1902）集合分成兩類：集合是它本身的元素，稱為“非正常集合”；集合不是它本身的元素，稱為“正常集合”。設(shè)“Ｒ是所有不包含自身的集合的集合?！眴枺骸埃野话易陨?？”

集合論悖論第53頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日理發(fā)師悖論（1918）“在薩維爾村，理發(fā)師掛出一塊招牌：“我只給村里所有那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)?！庇腥藛査骸澳憬o不給自己理發(fā)？”理發(fā)師頓時(shí)無言以對(duì)。集合論悖論第54頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日五、有關(guān)集合論的爭論克羅內(nèi)克（Kronecker）他在許多場合大罵康托是“敗類、臭蟲”，“我們科學(xué)的敵人”。他對(duì)外爾斯特拉斯的學(xué)生柯瓦列夫斯卡婭（1850～1891）說，康托的集合論同任何一門數(shù)學(xué)毫無共同之處，同另外一些人說康托的集合論空洞無物。第55頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日龐加萊（Poincare，1905）：“Cantor給科學(xué)引入了考慮數(shù)學(xué)無窮的新方法……但是發(fā)生了這樣的事，我們遇到了會(huì)使愛利亞學(xué)派的Zeno和麥加拉哲學(xué)學(xué)派高興的一些悖論，一些明顯的矛盾。所以每一個(gè)人都必須尋找補(bǔ)救的方法。就我來說—而我并不是單獨(dú)一人—我認(rèn)為重要的是永遠(yuǎn)不要采用一些不能用有限的文字完全定義的東西。不論采用什么樣的療法，我們一定可以請(qǐng)來一位治療一個(gè)極好的病理學(xué)病例的醫(yī)生，并為此而感到喜悅?！?908年他又說：“今后的幾代人將把集合論當(dāng)做一種人們已經(jīng)從中恢復(fù)過來了的疾病.”第56頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日數(shù)學(xué)知識(shí)來源于人的直覺，而數(shù)學(xué)的確定性僅限于有限論證的嚴(yán)格界限內(nèi)，要證明什么東西存在，那就要具體造出來.反對(duì)把無窮當(dāng)作確實(shí)的概念第57頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日“我的理論堅(jiān)如磐石；射向它的每一支箭都會(huì)迅速反彈.我何以得知呢？因?yàn)槲矣昧嗽S多年時(shí)間，研究了它的各個(gè)方面；我還研究了針對(duì)無窮數(shù)的所有反對(duì)意見；最重要的是，因?yàn)槲以F究它的根源，可以說，我探索了一切造物的第一推動(dòng)力。”

——G.Cantor第58頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日六、集合論的歷史地位康托創(chuàng)立的超窮集合論賦予實(shí)無窮的觀念以數(shù)學(xué)內(nèi)容，為抽象集合論奠定了基礎(chǔ)，并為微積分的基本原理和實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)的分析作出了重大貢獻(xiàn)?？低械淖钜俗⒛康某删褪菑臄?shù)學(xué)上嚴(yán)密地證明了“無窮”并不是鐵板一塊的不可分的概念。并非所有的無窮集合都具有相同的大小，因而它們之間是可以互相比較的。

第59頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日如今，“集合”這個(gè)詞已經(jīng)成為數(shù)學(xué)中最重要和最基本的術(shù)語之一，大部分?jǐn)?shù)學(xué)的相容性已經(jīng)被奠基于集合論的相容性之上，集合論在某種意義上已經(jīng)成為整個(gè)數(shù)學(xué)最堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

第60頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日

七、悖論的解決和集合論的發(fā)展所有的人都渴望能解決悖論的問題以重建先前對(duì)數(shù)學(xué)相容性、嚴(yán)格性和確定性的信念，但他們?yōu)檫_(dá)到這一目標(biāo)所選擇的道路則是很不相同的。20世紀(jì)初數(shù)理邏輯：羅素的類型論；《數(shù)學(xué)原理》

形式公理化：公理集合論第61頁，共66頁，2023年，2月20日，星期日策梅羅（德國數(shù)學(xué)家，1908年）采取希爾伯特的公理化方法回避悖論，把集合論變成一個(gè)完全抽象的公理化理論。在這樣一個(gè)公理化理論中，集合這個(gè)概念一直不加定義，而它的性質(zhì)就由公理反映出來。引進(jìn)了七條公理：決定性公理（外延公理），初等集合公理，分離公理組，冪集合公理，并集合公理，選擇公理，無窮公理。悖論的解決和集合論的發(fā)