兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布

兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第1頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期日X與Y

獨(dú)立即連續(xù)型對(duì)一切i,j有離散型X與Y

獨(dú)立對(duì)任何x,y有復(fù)習(xí)第2頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

在第二章中，我們討論了一維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進(jìn)一步討論:當(dāng)隨機(jī)變量X,Y的概率分布已知時(shí)，如何求出它們的函數(shù)Z=g(X,Y)的分布?其中是連續(xù)函數(shù).第3頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期日當(dāng)(X,Y)為離散型r.v.時(shí),Z也是離散型的，一、兩個(gè)離散型r.v.的函數(shù)的概率分布例1

設(shè)二維r.v.(X,Y)的概率分布為XYpij-112-10求的概率分布.第4頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解：

根據(jù)(X,Y)的聯(lián)合分布可得如下表格：PX+YX

-YXYY/X(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(1,-1)(1,0)(2,-1)(2,0)-2-101120-1213210-10-2010-10-1/20第5頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期日故得PX+Y-2-1012PX-Y-10123PXY-2-101PY/X-1-1/201第6頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解：依題意例2若X和Y相互獨(dú)立,它們分別服從參數(shù)為的泊松分布,證明Z=X+Y服從參數(shù)為于是的泊松分布.

設(shè)X~B(n1,p),Y~B(n2,p),且相互獨(dú)立，則

X+Y~B(n1+n2,p)第7頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期日方法從求Z的分布函數(shù)出發(fā),將Z的分布函數(shù)轉(zhuǎn)化為(X,Y)的事件

二、兩個(gè)連續(xù)型r.v.的函數(shù)的概率分布其中問(wèn)題

已知r.v.(X,Y)的密度函數(shù)，g(x,y)為已知的連續(xù)函數(shù).求密度函數(shù).第8頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期日1.和的分布：Z=X+Y

設(shè)(X,Y)的聯(lián)合d.f.為

f(x,y),則?z?zx+y=z或或即第9頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期日特別地，若X,Y相互獨(dú)立，則或或稱之為函數(shù)

fX(z)

與

fY

(z)的卷積

?z?zx+y=z第10頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解法一從分布函數(shù)出發(fā)(必須掌握)x+y=z(1)當(dāng)z<0時(shí)，1yx1(2)當(dāng)0z<1時(shí)，yx11x+y=z?z?z例3已知(X,Y)的聯(lián)合d.f.為Z=X+Y,求

fZ(z)第11頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期日x+y=z(3)當(dāng)1

z<2

時(shí)，z-11yx1?z?z1yx1x+y=z22(4)當(dāng)2

z時(shí)，綜合上述可得第12頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例3已知(X,Y)的聯(lián)合d.f.為Z=X+Y,求

fZ(z)解法二（圖形定限法）顯然X,Y相互獨(dú)立,且y1x1第13頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期日z1z=xz-1=xx21第14頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例4

若X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,具有相同的分布N(0,1),求Z=X+Y的概率密度.解：由卷積公式第15頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期日令得可見(jiàn)Z=X+Y服從正態(tài)分布N(0,2).第16頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期日正態(tài)隨機(jī)變量的結(jié)論

若X,Y相互獨(dú)立,則

若相互獨(dú)立，則有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.第17頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.

平方和的分布:Z=X2+Y2設(shè)(X,Y)的聯(lián)合

d.f.

為

f(x,y)，則第18頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例如，X~N(0,1),Y~N(0,1),X,Y相互獨(dú)立，Z=X2+Y2,則自由度為2的2分布稱為第19頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期日已知(X,Y)的聯(lián)合d.f.

為f(x,y)，令Z=X/Y