外接球的表面積與體積高考試題(一)

外接球的表面積和體積高考試題精選（一）

一.選擇題（共30小題）

1.一幾何體的三視圖如圖所示，三個三角形都是直角邊為2的等腰直角三角形,

該幾何體的頂點都在球。上，球。的表面積為（）

A.16TIB.3nC.兀D.12n

2.如圖某幾何體的三視圖是直角邊長為1的三個等腰直角三角形，則該幾何體

的外接球的表面積為（）

3.體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球面的表面積為（）

A.12nB.MJIC.8RD.4H

3

4.過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的

表面積的比為（）

A.2B.aC.WD.-L

1616832

5.已知三棱錐0-ABC,A,B,C三點均在球心為0的球表面上，AB=BC=1,Z

ABC=120°,三棱錐0-ABC的體積為返，則球0的表面積是（）

4

A.544nB.16nC.罵iD.64R

3

6.點A、B、C、D在同一個球的球面上，AB=BC=AC=a，若四面體ABCD體積的

最大值為我，則這個球的表面積為（）

A.巨2兀B.8nC.289兀D25兀

161616

7.四面體ABCD的四個頂點都在球。的表面上，ABJL平面BCD,ABCD是邊長

為3的等邊三角形.若AB=2,則球。的表面積為（）

A.8nB.12nC.16nD.32n

8.已知正4ABC三個頂點都在半徑為2的球面上，球心0到平面ABC的距離為

1,點E是線段AB的中點，過點E作球0的截面，則截面面積的最小值是（）

9.已知在三棱錐P-ABC中，VP-ABC=&&ZAPC=2L,ZBPC=—,PA±AC,

343

PB1BC,且平面PACJ_平面PBC,那么三棱錐P-ABC外接球的體積為（）

A

A."B.而kC,里江D.S2JL

3333

10.已知三棱錐的三視圖如圖所示，則它的外接球的表面積為（）

A.4nB.8KC.12nD.16K

11.一個四面體的頂點都在球面上，它們的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是右圖.圖

中圓內(nèi)有一個以圓心為中心邊長為1的正方形.則這個四面體的外接球的表面積

是（）

A.nB.3nC.4nD.6n

12.已知在三棱錐P-ABC中，PA=PB=BC=1,AB=&,AB±BC,平面PAB,平面

ABC,若三棱錐的頂點在同一個球面上，則該球的表面積是（）

A.返兀B.3nC.返兀D.2K

23

13.球面上有三點A、B、C組成這個球的一個截面的內(nèi)接三角形三個頂點，其

中AB=18,BC=24,AC=30,球心到這個截面的距離為球半徑的一半，則球的表面

積為（）

A.1200AB.1400KC.1600RD.1800K

14.已知球0的半徑為R,A,B,C三點在球0的球面上，球心0到平面ABC

的距離為J_R.AB=AC=2,ZBAC=120°,則球0的表面積為（）

2

A.JAnB.-C.MID.當(dāng)

9393

15.四面體ABCD的四個頂點都在球0的表面上，AB_L平面BCD,ABCD是邊長

為3的等邊三角形.若AB=2,則球0的表面積為（）

A.4nB.12nC.16nD.32n

16.已知三角形PAD所在平面與矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2,

ZAPD=90°,若點P、A、B、C、D都在同一球面上，則此球的表面積等于（）

A.B.\fyiC.12nD.20n

17.四面體ABCD的四個頂點都在球。的球面上，AB=2,BC=CD=1,ZBCD=60°,

ABJ_平面BCD,則球0的表面積為（）

A.8nB.當(dāng)?shù).殳區(qū)兀D.也兀

333

18.已知四棱錐P-ABCD的頂點都在球。上，底面ABCD是矩形，平面PAD_L

平面ABCD,4PAD為正三角形，AB=2AD=4,則球。的表面積為（）

A.32兀B.64-c.32nD.64n

33

19.正三棱柱的底面邊長為正，側(cè)棱長為2,且三棱柱的頂點都在同一球面上，

則該球的表面積為（）

A.4nB.8nC.12nD.16n

20.已知正四面體的棱長加,則其外接球的表面積為（）

A.8nB.12nC.返nD.3n

2

21.一直三棱柱的每條棱長都是3,且每個頂點都在球。的表面上，則球。的半

徑為（）

A.'粵B.76C.V?D-3

22.已知SC是球0的直徑，A,B是該球面上的兩點，^ABC是邊長為我的正

三角形，若三棱錐S-ABC的體積為則球。的表面積為（）

A.16nB.18nC.20nD.24n

23.已知三棱錐P-ABC,在底面4ABC中，NA=60。，BC=J^,PA±ffiABC,PA=2?,

則此三棱錐的外接球的表面積為（）

A.MnB.4技C.絲JID.16n

33

24.已知A,B,C在球。的球面上，AB=1,BC=2,ZABC=60°,直線OA與截面

ABC所成的角為30°,則球0的表面積為（）

A.4nB.16nC.D.

33

25.一直三棱柱的每條棱長都是3,且每個頂點都在球。的表面上，則球。的表

面積為（）

A.2InB.24nC.28nD.36n

26.在三棱錐P-ABC中，PA=2仃，PC=2,AB=V?,BC=3,NABC=。，則三棱

錐P-ABC外接球的表面積為（）

A.4RB.UJIC.匹JTD.16TI

33

27.已知A,B是球。的球面上兩點，ZAOB=60°,C為該球面上的動點，若三

棱錐0-ABC體積的最大值為1哂，則球。的表面積為（）

A.36nB.64nC.144nD.256R

28.已知三棱錐A-BCD的四個頂點A、B、C、D都在球。的表面上，AC_L平面

BCD,BC±CD,且AC=?,BC=2,CD=依，則球。的表面積為（）

29.用一個與球心距離為1的平面去截球，所得截面的面積為H,則球的表面積

為（）

A.4nB.8nC.12nD.16n

30.在三棱錐A-BCD中，AB=泥，其余各棱長都為2,則該三棱錐外接球的表

面積為（）

A.3nB.6RD.Win

33

外接球的表面積和體積高考試題精選（一）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共30小題）

1.（2017?達州模擬）一幾何體的三視圖如圖所示，三個三角形都是直角邊為2

的等腰直角三角形，該幾何體的頂點都在球。上，球。的表面積為（）

A.16KB.3KC.4/3D.12n

【解答】解：由三視圖可知：該幾何體是一個三棱錐，如圖所示，AB=AC=AD=2,

且AB,AC,AD兩兩垂直.

把此三棱錐補成正方體，則這個空間幾何體的外接球的直徑為此正方體的對角線

2北,

因此這個空間幾何體的外接球的表面積S=4H?3=12TI.

故選：D.

2.（2017?達州模擬）如圖某幾何體的三視圖是直角邊長為1的三個等腰直角三

角形，則該幾何體的外接球的表面積為（）

正視寄例視圖俯視圖

A.2兀B.M穴C.逅兀D.3n

22

【解答】解：???該幾何體的三視圖是直角邊長為1的三個等腰直角三角形，

，該幾何體為從底面直角頂點出發(fā)的三條棱兩兩垂直的三棱錐，可將其補成一個

邊長為1的正方體，

則該幾何體的外接球就是補成的正方體的外接球，

；補成的正方體的對角線長1=J12+12+12=行為其外接球的直徑d,

，外接球的表面積S=Rd2=3n,

即該幾何體的外接球的表面積為3n,

故選：D.

3.（2016?新課標(biāo)H）體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球面的表

面積為（）

A.12nB.8RD.4n

3

【解答】解：正方體體積為8,可知其邊長為2,

正方體的體對角線為M4+4+4=2?,

即為球的直徑，所以半徑為仃，

所以球的表面積為4兀.（近）2=12九

故選:A.

4.（2016?上饒三模）過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面，則所得

截面的面積與球的表面積的比為（）

A.且B.且C.3D.-L

1616832

【解答】解：設(shè)球的半徑為R,圓M的半徑r,

由圖可知，R2=l.R2+r2,

4

.,.J.R2=r2,...S球=4而2,

4

截面圓M的面積為：nr2=lnR2,

4

則所得截面的面積與球的表面積的比為：一不工.

4兀R216

故選A.

5.（2016?河南模擬）已知三棱錐0-ABC,A,B,C三點均在球心為。的球表

面上，AB=BC=1,ZABC=120°,三棱錐0-ABC的體積為返，則球0的表面積

4

是（）

A.544nB.16nC.64n

3

【解答】解：三棱錐0-ABC,A、B、C三點均在球心。的表面上，且AB=BC=1,

ZABC=120°,AC=V3?

，SAABC=—X1X1Xsin120°=返，

24

?.?三棱錐0-ABC的體積為返，

4

△ABC的外接圓的圓心為G,

/.0G±OG,

外接圓的半徑為：GA=二1,

2sinl200

/.Is△ABC*0G二返,即Lx返0G=返,

3一4344

0G=V15,

球的半徑為：7AG2+OG

球的表面積：4TI42=64R.

故選：D

6.（2016?安徽校級一模）點A、B、C、D在同一個球的球面上，AB=BC=AC=J^,

若四面體ABCD體積的最大值為則這個球的表面積為()

A.169KB.8nC.您2LD.空2L

161616

【解答】解：根據(jù)題意知，^ABC是一個等邊三角形，其面積為述，外接圓的

4

半徑為L

小圓的圓心為Q,若四面體ABCD的體積的最大值，由于底面積SAABC不變，高

最大時體積最大，

所以，DQ與面ABC垂直時體積最大，最大值為，AABCXDQT^,

3

，DQ=4,

設(shè)球心為0,半徑為R,

則在直角△AQ。中,OA2=AQ2+OQ2,即R2=a+(4-R)2,R=1Z.

8

則這個球的表面積為：S=4n(1L)2=289兀

816

故選C.

7.(2016?衡水模擬)四面體ABCD的四個頂點都在球。的表面上,ABJ_平面BCD,

△BCD是邊長為3的等邊三角形.若AB=2,則球。的表面積為()

A.8nB.12nC.16nD.32n

【解答】解:取CD的中點E,連結(jié)AE,BE,???在四面體ABCD中，AB_L平面BCD,

△BCD是邊長為3的等邊三角形.

ARtAABC^RtAABD,aACD是等腰三角形，

△BCD的中心為G,作OG〃AB交AB的中垂線HO于O,。為外接球的中心，

BE=#i,BG=b，

R=^BG2+(yAB)^Vs+1^.

四面體ABCD外接球的表面積為：4nR2=16n.

故選：C.

8.（2016?南昌三模）已知正aABC三個頂點都在半徑為2的球面上，球心。到

平面ABC的距離為1,點E是線段AB的中點，過點E作球。的截面，則截面面

積的最小值是（）

A.-LJIB.271C.為D.3n

44

【解答】解：設(shè)正AABC的中心為01，連結(jié)O1A

：01是正^ABC的中心，A、B、C三點都在球面上，

，OiOJ_平面ABC,?.?球的半徑R=2,球心0到平面ABC的距離為1,得OQ=1,

...RtZ\O】OA中，O1A=^0A2_00I2=^.

又；E為AB的中點，△ABC是等邊三角形，AE=AOICOS30°=3..

2

?.?過E作球。的截面，當(dāng)截面與OE垂直時，截面圓的半徑最小，

...當(dāng)截面與OE垂直時，截面圓的面積有最小值.

此時截面圓的半徑r=l,

2

可得截面面積為S=Rr2=12L.

4

故選C.

9.（2016?河南模擬）已知在三棱錐P-ABC中，VP-ABC=4根,ZAPC=2L,Z

34

BPC=—,PA±AC,PB±BC,且平面PAC,平面PBC,那么三棱錐P-ABC外接球

3

的體積為（)

A

A.12LB,8衣兀c,里衛(wèi)D.S2JL

3333

【解答】解：由題意，設(shè)PC=2x,則

VPA±AC,ZAPC=2L,

4

AAAPC為等腰直角三角形，

，PC邊上的高為X,

?平面PAC_L平面PBC,

.?.A到平面PBC的距離為X,

VZBPC=2L,PA±AC,PB±BC,

3

PB=x,BC=VJ<,

,.5APBC=yX?A/3x=^y-x2，

VpABC=VAPBC=-X落2x廣隼，

J4J

/.x=2,

VPA±AC,PB±BC,

.??PC的中點為球心，球的半徑為2,

二三棱錐P-ABC外接球的體積為里冗.23=—TC-

33

故選：D.

10.（2016?湖南二模）已知三棱錐的三視圖如圖所示，則它的外接球的表面積為

)

IT

i￡WBnun

?i?n

A.4nB.8nC.12nD.16n

【解答】解：由已知中三棱錐的高為1

底面為一個直角三角形，

由于底面斜邊上的中線長為1,

則底面的外接圓半徑為1,

頂點在底面上的投影落在底面外接圓的圓心上，

由于頂點到底面的距離，與底面外接圓的半徑相等，所以底面直角三角形斜邊中

點就是外接球的球心；

則三棱錐的外接球半徑R為1,

則三棱錐的外接球表面積S=4RR2=4K

故選：A

11.（2016?湖南校級模擬）一個四面體的頂點都在球面上，它們的正視圖、側(cè)視

圖、俯視圖都是右圖.圖中圓內(nèi)有一個以圓心為中心邊長為1的正方形.則這個

四面體的外接球的表面積是（）

A.nB.3nC.4nD.6n

【解答】解：由三視圖可知：該四面體是正方體的一個內(nèi)接正四面體.

...此四面體的外接球的直徑為正方體的對角線長為舊.

...此四面體的外接球的表面積為表面積為4兀x（返產(chǎn)=3兒

故選：B.

12.（2016?大慶一模）己知在三棱錐P-ABC中，PA=PB=BC=1,AB=&,AB±BC,

平面PABL平面ABC,若三棱錐的頂點在同一個球面上，則該球的表面積是（）

A.返nB.3nC.返兀D.2n

23

【解答】解：由題意，AC為截面圓的直徑，AC=%，

設(shè)球心到平面ABC的距離為d,球的半徑為R,

VPA=PB=1,AB=&,

APA1PB,

?.?平面PABJ_平面ABC,

，P到平面ABC的距離為返.

_2_

由勾股定理可得R2=（返）2+d2=（1）2+（返-d）2,

222

/.d=0,R2=—?

4

二球的表面積為4RR2=3H.

故選:B.

13.（2016?中山市校級模擬）球面上有三點A、B、C組成這個球的一個截面的

內(nèi)接三角形三個頂點，其中AB=18,BC=24,AC=30,球心到這個截面的距離為球

半徑的一半，則球的表面積為（）

A.1200nB.1400nC.1600nD.1800n

【解答】解：,.,AB2+BC2=182+242=302=AC2,

.??△ABC為直角三角形，且其外接圓的半徑為延15,

2

即截面圓的半徑r=15,又球心到截面的距離為d=1R,

2

2_

/.R2-2R)=15、，R=10A/^,

，球的表面積S=4RR2=4KX(IS巧)2=1200JI.

故選:A.

14.（2016?泉州校級模擬）已知球。的半徑為R,A,B,（:三點在球。的球面上,

球心0到平面ABC的距離為J_R.AB=AC=2,NBAC=120。,則球。的表面積為（）

2

A.必C.MRD.當(dāng)

9393

【解答】解:在^ABC中，

VAB=AC=2,ZBAC=120°,

BC=4+4-2X2X2X(-')=2'后

由正弦定理可得平面ABC截球所得圓的半徑（即4ABC的外接圓半徑）,

r=-------r=-=2,

2不

又?.?球心到平面ABC的距離d=l_R,

2

.?.球。的半徑R=

2

???Dr\---1-6-

3

故球0的表面積S=4nR2=Mn,

3

故選：D.

15.（2016?白銀模擬）四面體ABCD的四個頂點都在球0的表面上，AB,平面

BCD,ABCD是邊長為3的等邊三角形.若AB=2,則球。的表面積為（）

A.4nB.12nC.16nD.32n

【解答】解：取CD的中點E,連結(jié)AE,BE,

?.,在四面體ABCD中，AB,平面BCD,aBCD是邊長為3的等邊三角形.

ARtAABC^RtAABD,z^ACD是等腰三角形，

△BCD的中心為G,作OG〃AB交AB的中垂線HO于。，O為外接球的中心，

BE=N應(yīng)，BG=</3，

2

，R=2.

四面體ABCD外接球的表面積為：4nR2=16n.

16.（2016?廣西二模）已知三角形PAD所在平面與矩形ABCD所在平面互相垂直，

PA=PD=AB=2,ZAPD=90°,若點P、A、B、C、D都在同一球面上，則此球的表

面積等于（）

A.B.12nD.20n

【解答】解：設(shè)球心為。，如圖.

由PA=PD=AB=2,ZAPD=90°,可求得AD=2加,

在矩形ABCD中，可求得對角線8口=序7麗口=2百，

由于點P、A、B、C、D都在同一球面上,

.?.球的半徑R=1BD=V3

2

則此球的表面積等于=4KR2=12TI.

17.（2016?寧城縣一模）四面體ABCD的四個頂點都在球0的球面上，AB=2,

BC=CD=1,ZBCD=60°,AB_L平面BCD,則球。的表面積為（）

A.8KB.心!但兀C.生應(yīng)兀D.lijr

333

【解答】解:如圖，VBC=CD=1,ZBCD=60°

底面ABCD為等邊三角形

取CD中點為E,連接BE,

.'.△BCD的外心G在BE上，設(shè)為G,取BC中點F,連接GF,

在Rtz^BCE中，由CE=L,ZCBE=30°,得BF=LB^L,

22凡2

又在RtABFG中，得BG=―?------二/1,

cos3003

過G作AB的平行線與AB的中垂線H0交于0,

則0為四面體ABCD的外接球的球心，即R=0B,

：AB，平面BCD,/.0G±BG,

在RtABGO中，求得OB=iyQG2+BG2_^1

.?.球0的表面積為4兀?（竿）2/用.

故選：D.

18.（2016?北海一模）已知四棱錐P-ABCD的頂點都在球。上，底面ABCD是

矩形，平面PAD_L平面ABCD,4PAD為正三角形，AB=2AD=4,則球。的表面積

為（）

A.藥LB.64兀c.32nD.64n

33

【解答】解：令4PAD所在圓的圓心為5,4PAD為正三角形，AD=2,則圓01

的半徑r=也,

3

因為平面PAD_L底面ABCD,AB=4,

所以00I=L\B=2,

2_________

所以球0的半徑5+（等產(chǎn)竽

所以球。的表面積=47iR2=i12L.

3

故選:B.

19.（2016?昆明三模）正三棱柱的底面邊長為正，側(cè)棱長為2,且三棱柱的頂點

都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.4nB.8nC.12nD.16n

【解答】解：設(shè)三棱柱ABC-ABC的上、下底面的中心分別為0、0',

根據(jù)圖形的對稱性，可得外接球的球心在線段。0'中點。1，

V0A=2Z1AB=1,00I=1AA=1

32

**.0iA=\/2

因此，正三棱柱的外接球半徑R=&,可得該球的表面積為S=4TIR2=8H

故選:B.

20.（2016?陜西模擬）已知正四面體的棱長加,則其外接球的表面積為（）

A.8nB.12nC.返nD.3n

2

【解答】解：將正四面體補成一個正方體，則正方體的棱長為1,正方體的對角

線長為百，

???正四面體的外接球的直徑為正方體的對角線長，

...正四面體的外接球的半徑為返

2

外接球的表面積的值為4nr2=4兀=3n.

4

故選：D.

21,（2016?安康三模）一直三棱柱的每條棱長都是3,且每個頂點都在球。的表

面上，則球。的半徑為()

A.府B.J6c-V?D-3

2

【解答】解：正三棱柱的兩個底面的中心的連線的中點就是球的球心，球心與頂

點的連線長就是半徑，

所以，=={(?+(?產(chǎn)吟

故選：A.

22.(2016?撫順一模)已知SC是球。的直徑，A,B是該球面上的兩點，4ABC

是邊長為舊的正三角形，若三棱錐S-ABC的體積為b，則球0的表面積為

()

A.16nB.18nC.20nD.24n

【解答】解：根據(jù)題意作出圖形.

設(shè)球心為0,球的半徑r.過ABC三點的小圓的圓心為01，則001，平面ABC,

延長CO】交球于點D,則SDJ_平面ABC.

,?8=鼠咚＞＜后1，

O乙

???00廣戶;，

.?.高SD=2OOi=2、r2-4

?:△ABC是邊長為我的正三角形，

??SAABC=,

4_

?e?V三枝錐s-ABC二/X.平■義2Jr2_1=?，

/.r=V5.則球。的表面積為20K

故選：C.

23.（2016?冀州市校級模擬）已知三棱錐P-ABC,在底面4ABC中，ZA=60",

BC=?,PA_L面ABC,PA=2愿，則此三棱錐的外接球的表面積為（）

A.-nB.4、向iC.三5D.16n

33

【解答】解：根據(jù)題意得出圖形如下；。為球心，N為底面AABC截面圓的圓心,

ON上面ABC

V,在底面AABC中，ZA=60°,BC=我，

根據(jù)正弦定理得出：」V_=2r,

sin60

即r=l,

VPA±ffiABC,

，PA〃ON,

；PA=2心AN=1,ON=d,

，OA=OP=R,

.?.根據(jù)等腰三角形得出：PA。中PA=2d=2?,d=V3

'/R2=l2+=4,

三棱錐的外接球的表面積為4RR2=16R

故選：D

o

24.（2016?南昌校級二模）已知A,B,C在球0的球面上,AB=1,BC=2,ZABC=60°,

直線0A與截面ABC所成的角為30。，則球。的表面積為（）

A.4nB.16nC.ARD.XJLR

33

【解答】解：YA,B,C在球。的球面上，AB=1,BC=2,ZABC=60°,

，BC為4ABC外接圓的直徑,

又?.?直線0A與平面ABC成30。角

則球的半徑R=_2

cos30V3

故球的表面積S=4XnX(g)2=—R

V33

故選：D.

25.（2016?白山四模）一直三棱柱的每條棱長都是3,且每個頂點都在球。的表

面上，則球。的表面積為（）

A.2InB.24nC.28nD.36n

【解答】解：正三棱柱的兩個底面的中心的連線的中點就是球的球心，球心與頂

點的連線長就是半徑，

所以，r=J（3）球的表面積為：471r2=4兀（Z/lk）2=21K

故選：A.

26.（2016?福建模擬）在三棱錐P-ABC中，PA=2b，PC=2,AB=?BC=3,N

ABC=2L,則三棱錐P-ABC外接球的表面積為（