剛體的定軸轉(zhuǎn)動

剛體的定軸轉(zhuǎn)動第1頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日第五章剛體的定軸轉(zhuǎn)動5.1剛體的運動5.2剛體定軸轉(zhuǎn)動定律5.3轉(zhuǎn)動慣量的計算5.4剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用5.5轉(zhuǎn)動中的功和能5.6剛體的角動量和角動量守恒定律5.7進動第2頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日5.1剛體的運動剛體（rigidbody）：特殊的質(zhì)點系，形狀和體積不變化，理想化的模型。平動和轉(zhuǎn)動，可以描述所有質(zhì)元（質(zhì)點）的運動。平動（translation）時，剛體上所有點運動都相同。剛體質(zhì)點間的相對運動只能是繞某一軸轉(zhuǎn)動（rotation）的結(jié)果。oΔΔ·oo′·o′·第3頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日P點線速度P點線加速度旋轉(zhuǎn)加速度向軸加速度瞬時軸vωrrP×基點O剛體剛體繞O的轉(zhuǎn)動其轉(zhuǎn)軸是可以改變的，反映順時軸的方向及轉(zhuǎn)動快慢，引入角速度矢量和角加速度矢量第4頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日定軸轉(zhuǎn)動（rotationaboutaffixedaxis）：退化為代數(shù)量，剛體上任意點都繞同一軸作圓周運動，且，都相同。

OvP×ω,αrr定軸剛體參考方向θz第5頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日5.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律類似于多質(zhì)點系Jz稱為剛體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量rotationalinertiaθivi

O×ω,αriri定軸剛體zFimiΔ第6頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日轉(zhuǎn)動定律其中是對z軸的外力矩和。定軸下，可不寫角標(biāo)Z，記作：與牛II比較：MFJma~~~aìí???MJ=a\

J反映剛體轉(zhuǎn)動的慣性第7頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日5.3轉(zhuǎn)動慣量的計算J由質(zhì)量對軸的分布決定。dmrm第8頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日一.常用的幾個J均勻圓環(huán)：Jc=mR2；均勻圓盤：均勻桿：RmCCRmCCAml2l2第9頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日二.計算J的幾條規(guī)律1.對同一軸J具有可疊加性J=Ji?

Jmrziii=^?D22.平行軸定理Jmrmxyziiiiiii==+^??DD222()DDmxmxxiiiiici22??=+(')=++???DDDmxxmxxmiiciiiicii''222=0xydcc222+=DmxyJiiiic('')22+=?JJmdc=+2\=JJcmin=mCdmJCJ平行第10頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日

3.對薄平板剛體的正交軸定理Jmrmxmyziiiiii==+^???DDD222

例：已知圓盤JmRz=122求對圓盤的一條直徑的Jx

（或

J

y）。由JJJJJJJmRzyxxyxy=+=ìí?\==142即

JJJxy=+

y

rix

z

yi

xi

mi

Δ

yx

z

圓盤

R

C

m第11頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日已知：R=0.2m，m=1kg，vo=0，

h=1.5m，繩輪無相對滑動，繩不可伸長，下落時間

t

=3s。求：輪對O軸J=？解：動力學(xué)關(guān)系：對輪：TRJ=a

(1),對：mmgTma-=

(2)5.4轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用舉例定軸O·Rthmv0=0繩αTG·RNmgT=-T′ma第12頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日運動學(xué)關(guān)系：a=aR(3)hat=122(4)(1)~(4)聯(lián)立解得：JgthmR=-()2221=-

=(..)..9832151102114222kgm分析：單位對；、一定，，合理；若，得，正確。1230122...hmJtJhgt-?-==第13頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日DDDDWFsinrFrsinM===^^^^aqaqq()DDWFs=WMiii=?Dq

—力矩的空間積累效應(yīng)5.5定軸轉(zhuǎn)動中的功能關(guān)系二.定軸轉(zhuǎn)動動能定理

MdLdtJddtzzz外==w類比一維情形：Fmdvdt=wq==ddtvdsdt-->

WJJ1222121212=-ww一.力矩的功J-->mdzxω·軸rF第14頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日令—轉(zhuǎn)動動能EJk=122w（可證：）121222Jmviiw=?D則

WEEkk=-21應(yīng)用：▲飛輪儲能，Ekμw2w-?--Ek

▲慣性電車?！?5頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日三.定軸轉(zhuǎn)動的功原理質(zhì)點系功能原理對剛體仍成立：W外+W內(nèi)非=（Ek2+Ep2）—

（Ek1+Ep1）剛體重力勢能：若dW外+dW內(nèi)非=0，則Ek+Ep=常量。Emghmgmhmmghpiiiic===??DD×ChchimiΔEp=0第16頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日[例]已知：均勻直桿m，長為l，初始水平靜止，軸光滑，AOl=4

。求:桿下擺q角后，角速度w=?軸對桿作用力vN=?解：桿地球系統(tǒng)，+∵只有重力作功，∴E守恒。初始：，Ek10=

令

EP10=末態(tài)：EJko2212=w,

EmglP24=-sinq

則：

12402Jmglowq-=sin

(1)第17頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日

由平行軸定理

JJmdoc=+2=+=1124748222mlmlml()

(2)由(1)、(2)得：

wq=267glsin應(yīng)用質(zhì)心運動定理：vvvNmgmac+=$sinlmgNmalcl方向：-+=q

(3)$costmgNmatct方向：

q+=

(4)第18頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日algcl==4672wqsin

(5)allmgJctlo==444aqcos=37gcosq

(6)由(3)(4)(5)(6)可解得：Nmgl=137sin,qNmgt=-47cosqvNmglmgt=-13747sin$cos$qqNmg=+7153162sinqaq==--tgNNtgctgtl11413||()第19頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日§5.6剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律現(xiàn)在討論力矩對時間的積累效應(yīng)。質(zhì)點系：對點：v

vMdLdt外=，vrvMtLLiii外D?=-21對軸：MtLLziiizz外D?=-21剛體：Lz=Jz

w\=-?iMtJJziizz外Dww21—剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理

當(dāng)

M外z=0時，Jz

w=const.大小不變正、負(fù)不變ìí?第20頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日

若剛體由幾部分組成，且都繞同一軸轉(zhuǎn)動，

當(dāng)Mz外=0時，Jconst.iziw=?，這時角動量可在內(nèi)部傳遞。[例]如圖示已知：M=2m，h，q=60°求：碰撞后瞬間盤的w0=？

P轉(zhuǎn)到x軸時盤的w=?a=?解：m下落：mghmv=122vghT=2(1)第21頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日碰撞

t

極小，對m+盤系統(tǒng)，沖力遠大于重力，故重力對O力矩可忽略，角動量守恒：mvRJocosqw=(2)JMRmRmR=+=122222

(3)由(1)(2)(3)得：wqoghR=22cos

(4)對m+M+地球系統(tǒng)，只有重力做功，E守恒，則：P、x重合時EP=0。令1mgRJJosinqww+=12222(5)第22頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日由(3)(4)(5)得：wqq=+ghRgR222cossin=+12243RghR.()()q=60oa===MJmgRmRgR222第23頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日§5.7旋進（進動，Precession）旋進：高速旋轉(zhuǎn)的物體，其自轉(zhuǎn)軸繞另一個軸轉(zhuǎn)動的現(xiàn)象。定軸轉(zhuǎn)動vvLLzz=$∥（對軸）w但對定點轉(zhuǎn)動vL還平行于vw嗎？顯然若mm121(不對稱)，則

vvL∥（對點）w

0，但質(zhì)量分布對稱、且剛體繞對稱軸轉(zhuǎn)動時，對軸上任一點有：vvL∥∥軸wvvLLzJzz()$()對點對軸==w第24頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日只討論具有對稱軸的剛體的旋進問題vvMdLdt=dLMdtMvvv=∥vvvv當(dāng)時，MLdLL^^則只改變方向vL不改變大小。第25頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日vdLLd=sinqQddt=WQ令

則MdLdtLddt==vsinqQL=sinqW

\==μ

WMLMJsinsinqwqw1

即：

w-?ˉW

，當(dāng)時，qw=°=90WMJ

。第26頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日以上只是近似討論，因為當(dāng)旋進發(fā)生后：vvvww總=+W只有高速自轉(zhuǎn)w>>W時，