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第五章根軌跡法

概述:閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能與閉環(huán)極點在s平面上的位置密切相關,系統(tǒng)的閉環(huán)極點也就是特征方程式的根.當系統(tǒng)的某一個或某些參量變化時,特征方程的根在s平面上運動的軌跡稱為根軌跡.根軌跡法:直接由開環(huán)傳遞函數(shù)求取閉環(huán)特征根的方法.

§5-1根軌跡的基本概念討論：

圖5-2.分析:1.k1變化時,根軌跡均位于左半s平面,系統(tǒng)恒穩(wěn)定.2.根軌跡有兩條,兩個起點s1=0,s2=－23.0<k1<1時,閉環(huán)特征根為負實根,呈過阻尼狀態(tài).4.K1=1時,閉環(huán)特征根為一對重根,響應為等幅振蕩.5.1<k1<∞時,閉環(huán)特征根為共軛復根,響應為衰減振蕩.6.開環(huán)增益K可有根軌跡上對應的k1值求得.k1為可變參量繪制的根軌跡,稱為常規(guī)根軌跡.§5-2繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則

一、

繪制根軌跡的基本條件系統(tǒng)特征方程1+G(s)H(s)=0根軌跡方程

G(s)H(s)=－1幅值條件:|G(s)H(s)|=1相角條件:∠G(s)H(s)=±(2q+1)π,q=0,1,2,…開環(huán)傳遞函數(shù)(1)幅值條件(必要條件)(2)相角條件(充要條件)繪制根軌跡只要依據(jù)相角條件就可以,而幅值條件用來確定根軌跡上各點對應的k1值。例5-1單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

在s平面上取一試驗點s1=-1.5+j2.5,試檢驗它是否為根軌跡上的點；如果是，則確定與它相對應的K1值是多少。解：開環(huán)極點為：p1=0,p2=－2,p3=－6.6;

開環(huán)零點為：z1=-4,根據(jù)相角條件可知s1確實是根軌跡上的一點。根據(jù)幅值條件二、繪制1800根軌跡的規(guī)則規(guī)則1

根軌跡的分支數(shù)和對稱性根軌跡對稱于實軸,分支數(shù)=n規(guī)則2:

根軌跡的起點和終點起始于開環(huán)極點,其中m條終止于開環(huán)有限零點,n-m條終止于無窮遠處的零點。規(guī)則3：實軸上的根軌跡在實軸上根軌跡區(qū)段的右側,開環(huán)實零點和實極點數(shù)目之和為奇數(shù)。規(guī)則4：

根軌跡的漸近線

漸近線與實軸的交點為:n-m條漸近線的傾角為:規(guī)則5：

根軌跡的分離點、會合點

必須滿足方程

規(guī)則6：

根軌跡的出射角和入射角出射角入射角規(guī)則7：

根軌跡與虛軸的交點兩法:①用勞斯判據(jù)求解;②將s=jw帶入特征方程求解。例5-2已知開環(huán)傳遞函數(shù)試繪制其根軌跡圖。解1.起點

p1=0,p2=－1,p3=－2,n=3

終點

趨于無窮遠處零點m=0

2.實軸上[-1,0],(-∞,-2]之間為根軌跡段3.漸近線

n-m=3條

傾角

交點

解得s1=-0.423(分離點)

s2=-1.58(略去)4.分離點5.與虛軸交點

D(s)=s(s+1)(s+2)+K1=0或s3+3s2+2s+K1=0(1)用勞斯判據(jù)求解

s312

s23k1

s1

s0k1

D(s)=s3+3s2+2s+k1=0(2)令特征方程中的s=jw,然后令其實部、虛部分別等于零。D(s)=s3+3s2+2s+k1=0(jw)3+3(jw)2+2(jw)+K1=0化為(K1－3w2)+jw(2－w2)=0根軌跡與虛軸交點-6-5-4-3-2-1012-4-3-2-101234-1-20圖5-6例5－2的根軌跡xxxK1=6?jws根軌跡示例1j0j0j0j0j0j00j0j0jj00j同學們，頭昏吧？根軌跡示例2j0j0j00jj0j0j0j00jj00jj08.閉環(huán)極點的和與積

系統(tǒng)特征方程(n>m時)為例5-5已知與開環(huán)傳遞函數(shù)相對應的根軌跡與虛軸的交點，求交點處的臨界K1值及第三個特征根。解系統(tǒng)特征方程為s3+3s2+2s+K1=0得s3=－3-6-5-4-3-2-1012-4-3-2-101234-1-20例5－5的根軌跡xxx?jws?K1=6K1=6K1=6?s3=－3【例5-6】

已知開環(huán)傳遞函數(shù),試繪制根軌跡。解（1）

p1=0，p2=-3,p3,4=-1±j，無開環(huán)零點。（2）

根軌跡分支數(shù)n=4條。（3）

在實軸上[-3,0]之間為根軌跡段。（4）

漸近線n－m=4條。(5)由特征方程求分離點。解得根為s1=-2.3(分離點),s2,3=-0.73±j0.37(略)分離角為±90°,對應于分離點處的K1值(6)求出射角由對稱性知qp4=71.60(7)求根軌跡與虛軸的交點。特征方程s4+5s3+8s2+6s+K1=0s418K1s356s234/5K1s1

s0K1

輔助方程(34/5)s2+K1=0,令s=j，K1=8.16代入上式，求得=±1.1處,對應的K1=8.16，根軌跡如圖5-9所示。

-8-6-4-2024-5-4-3-2-1012345ζ=0.5

p3

p2

p4

p1

j0.7

-0.4j1.1k1=8.16

圖5-9三、閉環(huán)極點的確定:求具有=0.5的復數(shù)極點對應的K1值及另外兩個閉環(huán)極點。解(1)求復數(shù)極點對應的K1值根據(jù)=0.5線與根軌跡的交點，可以確定一對共軛復數(shù)極點為-0.4±j0.7。對應的根軌跡增益K1值(2)求K1=2.91時的閉環(huán)極點用試探法可以找到另外兩個閉環(huán)極點。它們位于負實軸的s=-1.4和s=-2.85處。因此,系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為【例5-7】已知開環(huán)傳遞函數(shù),試繪制根軌跡。解（1）

p1=0，p2=-4,p3,4=-2±j4，無開環(huán)零點。（2）

根軌跡分支數(shù)n=4條。（3）

在實軸上[-3,0]之間為根軌跡段。（4）

漸近線n－m=4條。(5)求出射角由對稱性知qp4=900(6)求分離點。(7)求根軌跡與虛軸的交點。-10-8-6-4-20246-8-6-4-202468σ

p3p4p2

p1

圖5-10jω

【例5-8】已知開環(huán)傳遞函數(shù),試繪制根軌跡。解繪制非最小相位系統(tǒng)的根軌跡與最小相位系統(tǒng)一樣，前述規(guī)則完全適用。(1)起點

p1=0.5，p2=-2；終點z1,2=1±j2。(2)

在實軸上[-2,0.5]之間為根軌跡段。(3)分離點(4)與虛軸交點K1=0.75

w=±1.25(5)入射角-3-2.5-2-1.5-1-0.500.511.5-3-2-10123RootLocusRealAxisImaginaryAxis76°

33°p2

p1

z1

z2

s1=-0.41k1=0.242

199°ω=1.25k1=0.75

k1=0.2

圖5-11

－20.51jw系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍0.2<K1<0.75§5-3參量根軌跡和多回路系統(tǒng)根軌跡一.參量根軌跡(廣義根軌跡)1.定義負反饋系統(tǒng),以非K1為參變量的根軌跡。2.繪制方法:引入等效單位反饋系統(tǒng)和等效傳遞函數(shù)的概念,則前述規(guī)則均適用。K1為參變量a為參變量例5-9試繪制系統(tǒng)以a為參變量的根軌跡。解給定系統(tǒng)的特征方程為或s(s+a)+4=0(5-20)將式(5-20)化為如下形式該式的特點是：左邊寫成兩部分之和,參變量a只包含在第二部分中,而且是這一部分的一個單獨因子?，F(xiàn)用第一部分除全式，得等效開環(huán)傳函繪制a從零變化到無窮大時的根軌跡(1)起點p1,2=j5.7；終點z1=0(2)

在實軸上(-∞,0]之間為根軌跡段(3)會合點(4)出射角

有時在同一問題中，黃金法則不只應用一次。對于具有兩個可變參數(shù)的情況,此法則同樣適用，此時所得到的是根軌跡族。例5-10已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

要求以開環(huán)極點a為連續(xù)可變參數(shù)，以K1為參變量繪制該系統(tǒng)的根軌跡族。解特征方程應用黃金法則等效開環(huán)傳函為了繪出a=0~

∞的根軌跡，必須確定G*(s)H*(s)的極點,即方程式s2(s+1)+K1=0的根（確切地說是根軌跡,因為K1為變量）。再一次應用黃金法則得另一等效開環(huán)傳函根據(jù)G1*(s)H1*(s),繪出K1=0~

∞的根軌跡。如圖5-13所示,-3-2.5-2-1.5-1-0.500.51-2-1.5-1-0.500.511.52RootLocus圖5-13s2(s+1)+K1=0的根軌跡x-1K1=0xxK1=0xK1=K11xK1=K12在圖5-14中用虛線表示這個根軌跡圖。圖5-14中虛線上的點就是G*(s)H*(s)對應于不同K1值的極點,也就是按G*(s)H*(s)做出的根軌跡(當a=0~∞)的起點。這樣,給定一個K1值，即可按G*(s)H*(s)描繪出a=0~∞時的一組根軌跡；給定另一個K1值，就得到另一組這樣的根軌跡……，這就是要求繪制的根軌跡族。-3-2.5-2-1.5-1-0.500.51-2-1.5-1-0.500.511.52RootLocus-3-2.5-2-1.5-1-0.500.51-2-1.5-1-0.500.511.52RootLocus由圖可見,a=0時系統(tǒng)不穩(wěn)定。當a增大至一定數(shù)值時，系統(tǒng)變?yōu)榉€(wěn)定。a的臨界值可用勞斯判據(jù)確定。系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界條件為K1=a(a+1)-3-2.5-2-1.5-1-0.500.51-2-1.5-1-0.500.511.52RootLocus二、多回路系統(tǒng)的根軌跡R(s)R1(s)C(s)kas例5-11試繪制多回路系統(tǒng)的根軌跡。解首先確定內(nèi)回路的根軌跡。內(nèi)回路特征方程新系統(tǒng)繪制a變化時系統(tǒng)特征方程的根軌跡內(nèi)回路有三個開環(huán)極點：p1=0、p2=-1、p3=-2,一個零點:z1=0,其中一開環(huán)零點與一開環(huán)極點完全相等，是否能相消？在繪制根軌跡時，開環(huán)傳函的分子分母中若有相同因子時，不能相消，相消后將會丟掉閉環(huán)極點。內(nèi)回路當a變化時的根軌跡如圖5-16所示。

jwsxxxp1z1p2p3-1-2當a1=2.5、a=1.25時，對應的內(nèi)回路極點分別為

p’1=0、p’2,3=-1.5±j1.5jwsxxxp1z1p2p3-1-2p’2p’3內(nèi)回路閉環(huán)零、極點確定后，再繪制K變化時的多回路系統(tǒng)根軌跡。多回路系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為p’1繪制K1變化時的多回路系統(tǒng)根軌跡jwsxxxp’3p’2p’1-1j2.1?K1=13.5(1)出射角qp2=p-1350-900=-450(2)與虛軸交點w2,3=±2.12K1=13.5K=6.75繪制多回路系統(tǒng)根軌跡的方法是：從內(nèi)環(huán)開始,分層繪制,,逐步擴展到整個系統(tǒng)。第四節(jié)正反饋系統(tǒng)和零度根軌跡正反饋情況下:

系統(tǒng)特征方程1－G(s)H(s)=0根軌跡方程

G(s)H(s)=1幅值條件:|G(s)H(s)|=1相角條件:∠G(s)H(s)=±2qπ,q=0,1,2,…規(guī)則作相應修改:規(guī)則3：實軸上的根軌跡

在實軸上根軌跡區(qū)段的右側,開環(huán)實零點和實極點數(shù)目之和為偶數(shù)。規(guī)則4：

根軌跡的漸近線n-m條漸近線的傾角為:規(guī)則6：

根軌跡的出射角和入射角出射角入射角例5-12圖5-19所示正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試繪制其零度根軌跡。解（1）開環(huán)極點p1=0、p2=-1、p3=-2，有三條根軌跡起于開環(huán)極點，終點均在無窮遠處。（2）實軸上區(qū)間[-2,-1]和[0,]為根軌跡段。（3）漸近線與實軸相交于-1點（見例5-2）傾斜角由式（5-29）計算，取q=0、1、2，得（4）分離點的求法與負反饋情況完全一樣。在例5-3中已解出兩個分離點：s1=-0.423、s2=-1.577,并且已確定-0.423是負反饋情況下的分離點，這里可以確定-1.577是正反饋情況下的分離點。完整的根軌跡如圖5-20所示。由圖5-20可以看出，該系統(tǒng)在正反饋情況下總存在一個正實根，因而該系統(tǒng)在正反饋情況下是不可能穩(wěn)定的。第五節(jié)系統(tǒng)的暫態(tài)響應性能指標

閉環(huán)系統(tǒng)的極、零點可由根軌跡法確定。一般情況下，高階系統(tǒng)有振蕩性，找到一對共軛復數(shù)主導極點，高階系統(tǒng)可近似當作二階系統(tǒng)來分析，相應的性能指標可按二階系統(tǒng)來分析計算。利用主導極點估算性能指標二.增加開環(huán)零、極點對根軌跡的影響結論三.附加閉環(huán)零點對根軌跡的影響【例5－16】繪制兩系統(tǒng)根軌跡圖,分析閉環(huán)零點對暫態(tài)響應的影響。R(s)C(s)0.8s+1(b)速度反饋控制GCR(s)C(s)(0.8s+1)(a)比例微分控制GCs1xxp1p2-1.25zjwK=28.7s2xxp1p2-1.25zjwK=28.7s1s2第六節(jié)延遲系統(tǒng)的根軌跡

一、繪制延遲系統(tǒng)根軌跡的條件延遲系統(tǒng)：或Loci方程：

幅值條件：相角條件：由相角條件知，當變化時，有無