方波信號的傅里葉變換

圖4.2方波信號的傅里葉級數(shù)例4―1試將圖4.2所示的方波信號f(t)展開為傅里葉級數(shù)。方波信號f(t)展開為傅里葉級數(shù)目前一頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)

解我們將信號按式(4―6)分解成傅里葉級數(shù),并按式(4―7)、(4―8)、(4―9)分別計(jì)算an,

bn及c。目前二頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)目前三頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)目前四頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)例3.3-1試畫出f(t)的振幅譜和相位譜。

解f(t)為周期信號，題中所給的f(t)表達(dá)式可視為f(t)的傅里葉級數(shù)展開式。據(jù)可知，其基波頻率Ω=π(rad/s)，基本周期T=2s，ω=2π、3π、6π分別為二、三、六次諧波頻率。且有振幅譜和相位譜例題目前五頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)其余目前六頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)圖3.3-1例3.3-1信號的頻譜振幅譜；

(b)相位譜目前七頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)圖3.3-2例3.3-1信號的雙邊頻譜(a)振幅譜；(b)相位譜目前八頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)例3.4-2

求指數(shù)函數(shù)f(t)的頻譜函數(shù)。圖3.4-2單邊指數(shù)函數(shù)e-αt及其頻譜(a)單邊指數(shù)函數(shù)e-αt;(b)e-αt的幅度譜單邊指數(shù)函數(shù)f(t)的頻譜函數(shù)目前九頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)其振幅頻譜及相位頻譜分別為解目前十頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)(4―41)(4―40)單邊指數(shù)信號的頻譜例4―4求單邊指數(shù)信號的頻譜。解單邊指數(shù)信號是指目前十一頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)圖4.7單邊指數(shù)信號及其頻譜目前十二頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)例3.4-3

求圖3.4-3(a)所示雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)。偶對稱雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)目前十三頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)圖3.4-3雙邊指數(shù)函數(shù)及其頻譜(a)雙邊指數(shù)函數(shù)；(b)頻譜目前十四頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)(4―42)從頻譜函數(shù)的定義式出發(fā)(4―43)例4―5求雙邊指數(shù)信號的頻譜。解雙邊指數(shù)信號是指偶對稱雙邊指數(shù)信號的頻譜目前十五頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)圖4.8雙邊指數(shù)信號及其頻譜目前十六頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)例3.4-4

求圖3.4-4(a)所示信號f(t)的頻譜函數(shù)。圖3.4-4例3.4-4圖(a)信號f(t);(b)頻譜奇對稱雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)目前十七頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)(a>0)解圖示信號f(t)可表示為目前十八頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)

例3.4-1

圖3.4-1(a)所示矩形脈沖一般稱為門函數(shù)。其寬度為τ，高度為1，通常用符號gτ(t)來表示。試求其頻譜函數(shù)。解門函數(shù)gτ(t)可表示為門函數(shù)的頻譜函數(shù)目前十九頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)圖3.4-1門函數(shù)及其頻譜(a)門函數(shù)；(b)門函數(shù)的頻譜；(c)幅度譜；(d)相位譜目前二十頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)

圖4.6矩形脈沖信號及其頻譜矩形脈沖信號gτ(t)的頻譜例4―3求矩形脈沖信號gτ(t)的頻譜。目前二十一頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)(4―36)gτ(t)的傅里葉變換為(4―37)(4―38)(4―39)解矩形脈沖信號gτ(t)是一個(gè)如圖4.6（a）所示的門函數(shù)。其定義為目前二十二頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)例3.4-5

求單位沖激函數(shù)δ(t)的頻譜函數(shù)。圖3.4-5信號δ(t)及其頻譜(a)單位沖激信號δ(t);(b)δ(t)的頻譜δ(t)的頻譜函數(shù)目前二十三頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)解可見，沖激函數(shù)δ(t)的頻譜是常數(shù)1。也就是說，δ(t)中包含了所有的頻率分量，而各頻率分量的頻譜密度都相等。顯然，信號δ(t)實(shí)際上是無法實(shí)現(xiàn)的。目前二十四頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)根據(jù)分配函數(shù)關(guān)于δ(t)的定義，有目前二十五頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)(4―34)(4―35)沖激信號δ(t)的頻譜例4―2求沖激信號δ(t)的頻譜。解由頻譜函數(shù)的定義式有目前二十六頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)

圖4.5沖激信號及其頻譜目前二十七頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)(4―75)移位沖激函數(shù)δ(t-t0)的頻譜函數(shù)例4―12求移位沖激函數(shù)δ(t-t0)的頻譜函數(shù)。解由于已知沖激函數(shù)δ(t)的頻譜函數(shù)為1,求移位沖激函數(shù)δ(t-t0)的頻譜函數(shù)，此時(shí)可利用傅里葉變換的時(shí)移特性式(4―74)。目前二十八頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)例3.4-6

求直流信號1的頻譜函數(shù)。圖3.4-6

直流信號f(t)及其頻譜(a)直流信號f(t);(b)頻譜直流信號1的頻譜函數(shù)目前二十九頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)解直流信號1可表示為目前三十頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)(4―45)(4―46)例4―6求單位直流信號的頻譜。解幅度為1的單位直流信號可表示為

f(t)=1,-∞<t<∞(4―44)

它可以看作是雙邊指數(shù)信號在α取極限趨近0時(shí)的一個(gè)特例,即單位直流信號的頻譜目前三十一頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)(4―47)(4―48)(4―49)目前三十二頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)圖4.9單位直流信號及其頻譜目前三十三頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)例3.4-7

求符號函數(shù)Sgn(t)的頻譜函數(shù)?？疾炖?.4-4所示信號f(t)符號函數(shù)Sgn(t)的頻譜函數(shù)目前三十四頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)當(dāng)α→0時(shí)，其極限為符號函數(shù)Sgn(t)。因而可以用求f(t)的頻譜函數(shù)F(jω)當(dāng)α→0的極限的方法來求得Sgn(t)的頻譜函數(shù)。例3.4-4

所示信號的頻譜函數(shù)為 ，從而有目前三十五頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)圖3.4-7

符號函數(shù)Sgn(t)及其頻譜(a)Sgn(t)的波形；(b)頻譜目前三十六頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)(4―50)符號函數(shù)的頻譜例4―7求符號函數(shù)的頻譜。解符號函數(shù)簡記為sgn(t),它的定義為目前三十七頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)圖4.10符號函數(shù)及其頻譜目前三十八頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)(其中α>0)(4-51)符號函數(shù)sgn(t)也可看作是下述函數(shù)在α取極限趨近0時(shí)的一個(gè)特例:目前三十九頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)例3.4-8

求階躍函數(shù)ε(t)的頻譜函數(shù)。由階躍函數(shù)ε(t)的波形容易得到解從而就可更為方便地求出ε(t)的頻譜函數(shù)，即階躍函數(shù)ε(t)的頻譜函數(shù)目前四十頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)圖3.4-8階躍函數(shù)及其頻譜(a)ε(t)的波形；(b)頻譜目前四十一頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)例3.5-1

求圖3.5-1(a)所示信號的頻譜函數(shù)。圖3.5-1例3.5-1的圖(a)f(t)的波形；(b)相位譜門(平移后)信號的頻譜函數(shù)目前四十二頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)解目前四十三頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)例4―11已知求gτ(2t)的頻譜函數(shù)解根據(jù)傅里葉變換的尺度變換性質(zhì),gτ(2t)的頻譜函數(shù)為尺度變換求頻譜目前四十四頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)

圖4.13尺度變換目前四十五頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)圖4.11單邊指數(shù)信號及其頻譜例4―9利用奇偶虛實(shí)性求圖4.11單邊指數(shù)信號f(t)=2e-αtu(t)的頻譜。利用奇偶虛實(shí)性求頻譜目前四十六頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)

解從波形圖（a）上可見,單邊指數(shù)信號f(t)是非偶非奇函數(shù),但可分解為如圖（b）,（c）所示的偶函數(shù)和奇函數(shù)兩部分,見下式。

f(t)=2e-αtu(t)=fe(t)+fo(t)其中目前四十七頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)目前四十八頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)

例3.5-2

求高頻脈沖信號f(t)(圖3.5-2(a))的頻譜。圖3.5-2高頻脈沖信號及其頻譜(a)f(t)的波形；(b)頻譜高頻脈沖信號f(t)的頻譜目前四十九頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)

解圖3.5-2(a)所示高頻脈沖信號f(t)可以表述為門函數(shù)gτ(t)與cosω0t相乘，即目前五十頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)例4―13求高頻脈沖信號p(t)=gτ(t)·cosω0t的頻譜函數(shù)解由于高頻脈沖信號的頻譜函數(shù)目前五十一頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)故有根據(jù)頻移特性有目前五十二頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)

圖4.14頻移特性目前五十三頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)

例3.5-4

求圖3.5-5(a)所示梯形信號f(t)的頻譜函數(shù)。解若直接按定義求圖示信號的頻譜，會(huì)遇到形如te-jωt的繁復(fù)積分求解問題。而利用時(shí)域積分性質(zhì)，則很容易求解。將f(t)求導(dǎo)，得到圖3.5-5(b)所示的波形f1(t)，將f1(t)再求導(dǎo)，得到圖3.5-5(c)所示的f2(t)，顯然有梯形信號f(t)的頻譜函數(shù)目前五十四頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)圖3.5-5梯形信號及其求導(dǎo)的波形目前五十五頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)據(jù)時(shí)移性質(zhì)有目前五十六頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)目前五十七頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)圖3.5-6另一種梯形信號目前五十八頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)

圖4.15梯形脈沖的傅里葉變換梯形脈沖的傅里葉變換例4―14求圖4.15所示梯形脈沖的傅里葉變換。目前五十九頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)解梯形脈沖可看作是兩個(gè)不同寬度的矩形脈沖

f1(t)與f2(t)的卷積，如圖4.15所示。

f(t)=f1(t)*f2(t)

而矩形脈沖的傅里葉變換已在例4―3中求出,具體來說目前六十頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)圖4.16半波正弦脈沖目前六十一頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)圖4.17三角形脈沖及其一、二街導(dǎo)的波形目前六十二頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)例3.6-1

求圖3.6-1(a)所示周期矩形脈沖f(t)的頻譜函數(shù)F(jω)。圖3.6-1

周期矩形脈沖信號及其頻譜(a)f(t)的波形；(b)復(fù)振幅Fn;(c)頻譜函數(shù)F(jω)周期矩形脈沖f(t)的頻譜函數(shù)目前六十三頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)解周期矩形脈沖f(t)的復(fù)振幅Fn為目前六十四頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)

例3.6-2

圖3.6-2(a)為周期沖激函數(shù)序列δT(t)，其周期為T，δT(t)可表示為

m為整數(shù)圖3.6-2周期沖激序列及其頻譜周期沖激函數(shù)序列δT(t)的頻譜目前六十五頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)解先求δT(t)的復(fù)振幅Fn：目前六十六頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)

設(shè)一周期信號fT(t)，其周期為T，fT(t)中位于第一個(gè)周期的信號若為fa(t)，則不難得到目前六十七頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)已經(jīng)知道目前六十八頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)

例3.8-1

已知激勵(lì)信號f(t)=(3e-2t-2)ε(t)，試求圖3.8-1所示電路中電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)uCf(t)。圖3.8-1例3.8-1的圖用頻域分析法求響應(yīng)目前六十九頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)目前七十頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)

注意到δ(ω)的取樣性質(zhì)，并為了較方便地求得UCf(jω)的逆變換，將UCf(jω)按如下形式整理:目前七十一頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)

圖4.19

例4―20如圖4.19所示,試分析單位階躍信號u(t)通過RC高通網(wǎng)絡(luò)傳輸后的波形。用頻域法求響應(yīng)目前七十二頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)則按H(ω)的定義有對于單位階躍信號u(t)而言,此時(shí)

解顯然,當(dāng)輸入信號uS(t)為復(fù)指數(shù)信號ejωt時(shí),如圖有目前七十三頁\總數(shù)八十三頁\編于九點(diǎn)最后一步考慮了沖激函數(shù)的取樣性質(zhì)。因此目前七十四頁\總數(shù)八十三頁\編