反饋控制系統(tǒng)的分析

反饋控制系統(tǒng)的分析第1頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.1反饋控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

控制系統(tǒng)的分析是系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要步驟之一在設(shè)計(jì)控制器前要分析系統(tǒng)的不可變部分，確定原系統(tǒng)在哪些方面的性能指標(biāo)不滿足設(shè)計(jì)要求，有針對(duì)性的設(shè)計(jì)控制器；控制器設(shè)計(jì)完成后要驗(yàn)證整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的性能指標(biāo)是否滿足設(shè)計(jì)要求。在控制系統(tǒng)基本理論和控制系統(tǒng)工具箱函數(shù)的基礎(chǔ)上，利用MATLAB語(yǔ)言及其工具箱來(lái)解決控制系統(tǒng)的分析問(wèn)題，包括系統(tǒng)模型的建立、模型的轉(zhuǎn)換以及線性系統(tǒng)的時(shí)域分析、頻域分析、根軌跡分析和系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，為系統(tǒng)的仿真和設(shè)計(jì)做準(zhǔn)備第2頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

為了對(duì)系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析首先要建立其數(shù)學(xué)模型，在MATLAB中提供了3種數(shù)學(xué)模型形描述的式：（1）傳遞函數(shù)模型tf(）（2）零極點(diǎn)形式的數(shù)學(xué)模型zpk()（3）狀態(tài)空間模型ss()

本節(jié)首先介紹利用MATLAB提供的3個(gè)函數(shù)來(lái)建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，然后在此基礎(chǔ)上介紹各種數(shù)學(xué)模型之間的相互轉(zhuǎn)換。第3頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.1.1

系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型格式：sys＝tf（num，den）功能：建立系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型說(shuō)明：假設(shè)系統(tǒng)是單輸入單輸出系統(tǒng)（簡(jiǎn)稱SISO），其輸入輸出分別用u（t），y（t）來(lái)表示，則得到線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型：在MATLAB語(yǔ)言中，可以利用傳遞函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量進(jìn)行描述。分子num、分母den多項(xiàng)式的系數(shù)向量分別為:這里分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)按s的降冪排列。1．tf傳遞函數(shù)模型第4頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例3-1：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:試建立系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。例3-2：已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下應(yīng)用Matlab語(yǔ)言建立系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。第5頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2．zpk零極點(diǎn)形式的數(shù)學(xué)模型模型格式：sys＝zpk([z],[p],[k])功能：建立零極點(diǎn)形式的數(shù)學(xué)模型說(shuō)明：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)還可以表示成零極點(diǎn)形式，零極點(diǎn)模型一般表示為：其中Zi（i＝1,2…,m）和Pi（i＝1,2…,n）分別為系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)，K為系統(tǒng)的增益。[z]、[p]、[k]分別為系統(tǒng)的零極點(diǎn)和增益向量。第6頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例3-3：已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下應(yīng)用Matlab語(yǔ)言建立系統(tǒng)的零極點(diǎn)形式模型。第7頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3．SS狀態(tài)空間模型格式：sys＝ss（A,B,C,D），sys＝ss（A,B,C,D,T）功能：建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型說(shuō)明：狀態(tài)方程是研究系統(tǒng)的最為有效的系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述，在引進(jìn)相應(yīng)的狀態(tài)變量后，可將一組一階微分方程表示成狀態(tài)方程的形式。X為n維狀態(tài)向量，U為m維輸入矩陣；Y為維輸出向量；A為n×n的系統(tǒng)狀態(tài)陣，由系統(tǒng)參數(shù)決定，B為n×m維系統(tǒng)輸入陣；C為×n維輸出陣；D為×m維直接傳輸陣。第8頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.1.2

系統(tǒng)的組合和連接

所謂系統(tǒng)組合，就是將兩個(gè)或多個(gè)子系統(tǒng)按一定方式加以連接形成新的系統(tǒng)。這種連接組合方式主要有串聯(lián)、并聯(lián)、反饋等形式。MATLAB提供了進(jìn)行這類組合連接的相關(guān)函數(shù)。1.series系統(tǒng)的串聯(lián)格式1：sys＝series（sys1,sys2），格式2：sys＝series（sys1,sys2,outputs1,inputs2）功能：用于將兩個(gè)線性模型串聯(lián)形成新的系統(tǒng)即sys＝sys1*sys2說(shuō)明：格式1：對(duì)應(yīng)于SISO系統(tǒng)的串聯(lián)連接。格式2：對(duì)應(yīng)于MIMO系統(tǒng)的串聯(lián)連接；其中sys1的輸出向量為outputs1sys2的輸入向量為inputs2第9頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2．parallel格式1：sys=parallel(sys1,sys2)格式2：sys=parallel(sys1,sys2,in1,in2,out1,out2)功能：將兩個(gè)系統(tǒng)以并聯(lián)方式連接成新的系統(tǒng)，即sys=sys1+sys2。說(shuō)明：并聯(lián)連接時(shí)，輸入信號(hào)相同，并聯(lián)后其輸出為sys1和

sys2這兩個(gè)系統(tǒng)的輸出之和。若用傳遞函數(shù)來(lái)描述，系統(tǒng)輸出：Y(S)=Y1(S)+Y2(S)=G1(S)U(S)+G2(S)U(S)=[G1(S)+G2(S)]U(S)

所以總的傳遞函數(shù)為G(s)=G1(s)+G2(s)。格式1：對(duì)應(yīng)于SISO系統(tǒng)的并聯(lián)連接。其并聯(lián)后其輸出為sys1和

sys2這兩個(gè)系統(tǒng)的輸出之和。格式2：對(duì)應(yīng)于MIMO系統(tǒng)的并聯(lián)連接。in1與in2指定了相連接的輸入端，out1和out2指定了進(jìn)行信號(hào)相加的輸出端。第10頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例3.3a已知兩個(gè)線性系統(tǒng)，分別應(yīng)用series和parallel函數(shù)進(jìn)行系統(tǒng)的串并聯(lián)連接。第11頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3．feedback系統(tǒng)的反饋連接。

格式1：sys=feedback(sys1,sys2,sign)

格式2：sys=feedback(sys1,sys2,feedin,feedout,sign)

功能：實(shí)現(xiàn)兩個(gè)系統(tǒng)的反饋連接。說(shuō)明：格式1：對(duì)于SISO系統(tǒng)，sys1表示前向通道傳函，

sys2表示反饋通道,sign=1,正反饋.sign=-1,負(fù)反饋(默認(rèn)值,可省略)

格式2：在已確立的MIMO系統(tǒng)sys1中,由sys2做為反饋構(gòu)成輸出反饋系統(tǒng)。其中feedin和feedout分別指定了sys1的輸入、輸出端口號(hào)。最終實(shí)現(xiàn)的反饋系統(tǒng)與sys1具有相同的輸入、輸出端。

sign含義同格式1第12頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例3.4已知前向環(huán)節(jié)和反饋環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間表達(dá)式的系數(shù)陣分別為試將前向環(huán)節(jié)的輸入1和輸出2與反饋環(huán)節(jié)構(gòu)成負(fù)反饋系統(tǒng)。y1y2SYS2u2u1_SYS1u3y3第13頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.1.3模型的轉(zhuǎn)換

在進(jìn)行系統(tǒng)分析時(shí)，往往根據(jù)不同的要求選擇不同形式的數(shù)學(xué)模型，因此經(jīng)常要在不同形式數(shù)學(xué)模型之間相互轉(zhuǎn)換，下面介紹三種模型之間的相互轉(zhuǎn)換函數(shù)。1ss2tf

將狀態(tài)空間形式轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式格式：[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)

說(shuō)明：ss2tf函數(shù)可以將狀態(tài)空間表示通過(guò)轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式，其中，iu用于指定變換所使用的輸入量，num和den分別為傳遞函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)向量。ss2tf還可以應(yīng)用離散時(shí)間系統(tǒng)，這時(shí)得到的是Z變換表示。第14頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例3-5：已知系統(tǒng)Σ(A,B,C,D)的系數(shù)矩陣是求取該系統(tǒng)相應(yīng)的傳遞函數(shù)模型。C＝[110],D=0第15頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.ss2zp將系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)增益模型格式：[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,iu)3.tf2ss將系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型。格式：[A,B,C,D]=tf2ss（num，den）例3-6：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為應(yīng)用MATLAB的模型轉(zhuǎn)換函數(shù)將其轉(zhuǎn)換為狀態(tài)方程形式的模型。

第16頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4.tf2zp

將系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)增益模型格式：[z,p,k]=tf2zp(num,den)5.zp2ss

將系統(tǒng)的零極點(diǎn)增益模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型。格式：[A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k)6.zp2tf

將系統(tǒng)零極點(diǎn)增益模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型。

格式：[num,den]=zp2tf(z,p,k)應(yīng)用MATLAB的模型轉(zhuǎn)換函數(shù)將其轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)形式的模型。例3-7：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為第17頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.2線性系統(tǒng)的時(shí)域分析

系統(tǒng)的時(shí)域分析是指輸入信號(hào)采用單位階躍或單位沖激函數(shù)，其響應(yīng)是時(shí)間t的函數(shù)，稱為時(shí)域響應(yīng)。從時(shí)域響應(yīng)可以獲得系統(tǒng)的各個(gè)方面的性能。

1impulse求連續(xù)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。

格式1：impulse(sys)[Y,X,T]=impulse(sys)

格式2：impulse(sys,t)[Y,X]=impulse(sys,t)

格式3：impulse(sys,iu)[Y,X,T]=impulse(sys,iu)

格式4：impulse(sys,iu,t)[Y,X]=impulse(sys,iu,t)

說(shuō)明：sys為tf(),zpk(),ss()中任一種模型。對(duì)于不帶返回參數(shù)的該函數(shù)在當(dāng)前窗口中繪制出響應(yīng)曲線。對(duì)于帶有返回參數(shù)的將不繪制曲線,其中Y是輸出向量

X是狀態(tài)向量，T是時(shí)間向量。t為用戶設(shè)定的時(shí)間向量。對(duì)于MIMO系統(tǒng),iu表示第iu個(gè)輸入到所有輸出的沖激響應(yīng)曲線

第18頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例3-8：考慮如圖所示的典型反饋控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，已知H(S)G(S)Gc(S)其中，

求系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)和閉環(huán)單位脈沖響應(yīng)。_第19頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2step

求連續(xù)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。格式1：step(sys)[Y,X,T]=step(sys)格式2：step(sys,t)[Y,X]=step(sys,t)格式3：step(sys,iu)[Y,X,T]=step(sys,iu)格式4：step(sys,iu,t)[Y,X]=step(sys,iu,t)說(shuō)明：step()中的參數(shù)意義和implse()函數(shù)相同。如果用戶在調(diào)用step()函數(shù)時(shí)不返回任何向量，則將自動(dòng)地繪出階躍響應(yīng)輸出曲線。例3.9考慮下面?zhèn)鬟f函數(shù)模型：試?yán)L制其單位階躍響應(yīng)曲線。第20頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例3-10：求下面的階零極點(diǎn)模型的單位階躍響應(yīng)曲線。

解：1、假設(shè)將自然頻率固定為＝1，ζ＝0,0.1,…1,2,3,5。例3-11：典型二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：試分析不同參數(shù)下的系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)2、將阻尼比ζ的值固定在ζ＝0.55，自然頻率變化范圍為0.1-1第21頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

3.initial

求連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。格式1：initial(sys,x0)[Y,X,T]=initial(sys,x0)格式2：initial(sys,x0,t)[Y,X,T]=initial(sys,x0,t)說(shuō)明：initial函數(shù)可計(jì)算出連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)由于初始狀態(tài)所引起的響應(yīng)（故而稱為零輸入響應(yīng)）。例3-12：二階系統(tǒng)當(dāng)初始狀態(tài)為x0＝[1;0]時(shí)，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。第22頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

4lsim

求任意輸入信號(hào)時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)

格式1：lsim(sys1,u,t)[Y,X]=lsim(sys1,u,t)

格式2：lsim(sys2,u,t,x0)[Y,X]=lsim(sys2,u,t,x0)

說(shuō)明：

u為輸入信號(hào).t為等間隔時(shí)間向量.sys1為tf()或zpk()模型。

sys2為ss()模型。其中x0為初始條件第23頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3．3線性系統(tǒng)的根軌跡

1

pzmap繪制系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖。格式1：pzmap(A,B,C,D)[p,z]=pzmap(A,B,C,D)格式2：pzmap(num,den)[p,z]=pzmap(num,den)格式3：pzmap(p,z)說(shuō)明：

極點(diǎn)用“×”表示，零點(diǎn)用“o”表示。

對(duì)于不帶返回參數(shù)的將繪制零極點(diǎn)圖。

對(duì)于帶有返回參數(shù)的將不作圖,其中返回參數(shù)P為極點(diǎn)的列向量，z為零點(diǎn)的列向量。格式3是將已知的零點(diǎn)z極點(diǎn)p繪制在復(fù)平面上。根軌跡是指當(dāng)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)的某一個(gè)（或幾個(gè)）參數(shù)(一般取系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)K)從0到＋∞時(shí),閉環(huán)特征方程的根在復(fù)平面上軌跡。利用根軌跡可以分析系統(tǒng)的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。

MATLAB專門提供了繪制根軌跡的函數(shù)：rlocus()繪制根軌跡,rlocfind()計(jì)算根軌跡的增益,pzmap()繪制零極點(diǎn)圖

第24頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例3.13有連續(xù)系統(tǒng)要求繪制出零極點(diǎn)圖。

2

rlocus求系統(tǒng)根軌跡。格式1：rlocus(num,den)rlocus(num,den,k)[R,K]=rlocus(num,den)[R,K]=rlocus(num,den，k)格式2：rlocus(A,B,C,D)rlocus(A,B,C,D,k)[R,K]=rlocus(A,B,C,D)[R,K]=rlocus(A,B,C,D,k)說(shuō)明：k為用戶設(shè)定的值繪制根軌跡，若省略機(jī)器自動(dòng)生成。對(duì)于不帶返回參數(shù)的將繪制根軌跡。

對(duì)于帶有返回參數(shù)的將不作圖,其中返回參數(shù)R對(duì)應(yīng)K增益的閉極點(diǎn)的位置。開(kāi)環(huán)增益K對(duì)應(yīng)的閉環(huán)特征方程為：1+kG(S)H(S)=1+knum/den=0第25頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

3rlocfind計(jì)算根軌跡上給定一組極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的增益。格式1：[K,poles]=rlocfind(A,B,C,D)[K,poles]=rlocfind(A,B,C,D,P)格式2：[K,poles]=rlocfind(num,den)[K,poles]=rlocfind(num,den,P)說(shuō)明：由rlocfind()繪制的根軌跡圖形窗口中將顯示十字光標(biāo)，當(dāng)用戶選擇其中一點(diǎn)時(shí)，該極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的增益由K記錄，與增益有關(guān)的所有極點(diǎn)記錄在poles中。也可通過(guò)指定極點(diǎn)p得到增益的向量。向量K的第m項(xiàng)是根據(jù)極點(diǎn)位置P（m）計(jì)算的增益，矩陣poles的第m列是相應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)。例3-14：繪制系統(tǒng)的根軌跡圖第26頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.4頻域響應(yīng)

頻域分析法是利用系統(tǒng)開(kāi)環(huán)的奈氏圖、波特圖、尼氏圖分析系統(tǒng)的性能，如系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能、動(dòng)態(tài)性能、穩(wěn)定性。系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：如果開(kāi)環(huán)系統(tǒng)有P個(gè)極點(diǎn)在右半平面相應(yīng)于頻率ω從-∞→+∞變化時(shí)，開(kāi)環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)曲線逆時(shí)針?lè)较颦h(huán)繞（－1，j0）點(diǎn)的次數(shù)N等于右半根平面內(nèi)的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)數(shù)P，那么閉環(huán)系統(tǒng)就是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。1nyquist求連續(xù)系統(tǒng)的Nyquist曲線格式1：nyquist(sys)[re,im,w]=nyquist(sys)格式2：nyquist(sys,w)[re,im,w]=nyquist(sys,w)格式3：nyquist(sys,iu,w)[re,im,w]=nyquist(sys,iuw)說(shuō)明：sys為tf(),zpk(),ss()中任一種模型。w設(shè)定頻率范圍省略時(shí)由機(jī)器自動(dòng)產(chǎn)生。對(duì)于不帶返回參數(shù)的將繪制Nyquist曲線。對(duì)于帶有返回參數(shù)的將不繪制曲線,返回參數(shù)reim為開(kāi)環(huán)G(jw)在各頻率點(diǎn)的實(shí)部和虛部即：re=Re(G(jw)),im=Im(G(jw)).

第27頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

對(duì)于MIMO系統(tǒng)，iu表示用第iu個(gè)輸入變量來(lái)繪制系統(tǒng)的Nyquist曲線。返回參數(shù)為第i個(gè)輸出變量針對(duì)第j個(gè)輸入變量的頻率響應(yīng)實(shí)部和虛部即re(i,j,:)和im(i,j,:)。例3-15:系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)繪制系統(tǒng)的Nyquist圖，并討論其穩(wěn)定性Nyquist圖逆時(shí)針包圍（－1，j0）點(diǎn)2次，而原開(kāi)環(huán)系統(tǒng)中沒(méi)有不穩(wěn)定極點(diǎn)，從而可以得出結(jié)論，閉環(huán)系統(tǒng)有2個(gè)不穩(wěn)定極點(diǎn)。由運(yùn)行結(jié)果可知，系統(tǒng)有三個(gè)根，其中有兩個(gè)根位于右半s平面，由此可見(jiàn)該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。第28頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

2nichols求連續(xù)系統(tǒng)的Nichols（尼克爾斯）頻率響應(yīng)曲線。格式1：nichols(sys)[re,im,w]=nichols(sys)格式2：nichols(sys,w)[re,im,w]=nichols(sys,w)格式3：nichols(sys,iu,w)[re,im,w]=nichols(sys,iuw)說(shuō)明：nicholsh函數(shù)的輸入變量定義與nyquist相同

3bode求連續(xù)系統(tǒng)的Bode（伯德）頻率響應(yīng)。格式1：bode(sys)[mag,phase,w]=bode(sys)格式2：bode(sys,w)[mag,phase,w]=bode(sys,w)格式3：bode(sys,iu,w)[mag,phase,w]=bode(sys,iuw)說(shuō)明：bode函數(shù)的輸入變量定義與nyquist相同Bode圖可用于分析系統(tǒng)的增益裕度、相位裕度、增益、帶寬以及穩(wěn)定性等特性。mag和phase分別是幅值和相位數(shù)組。iu表示從系統(tǒng)第iu個(gè)輸入到所有輸出的Bode圖

第29頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一試用MATLAB繪制出不同和的伯德圖。例3-16：考慮二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型解：1、為固定值，變化時(shí)當(dāng)阻尼比比較小時(shí)，則系統(tǒng)的頻域響應(yīng)在自然頻率附近將表現(xiàn)出比較強(qiáng)的振蕩，該現(xiàn)象稱為諧振。2、為固定值，變化時(shí)

當(dāng)自然頻率的值增加時(shí)，伯德圖的帶寬將增加，該現(xiàn)象使得系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)速度變快。第30頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4margin求取給定線性定常系統(tǒng)的幅值裕量和相角的裕量。格式1：margin（sys）格式2：margin（mag,phase,w）格式3：[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin（sys）

[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin（mag,phase,w）說(shuō)明：margin函數(shù)可從頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)中計(jì)算出幅值裕度(不是db)、相角裕度和剪切頻率。格式1畫(huà)出bode圖，并標(biāo)注幅值裕度和對(duì)應(yīng)頻率，相角裕度和對(duì)應(yīng)頻率。格式2由給定的幅值mag、相位phase及頻率w畫(huà)出bode圖格式3：不畫(huà)圖，返回幅值裕度Gm和對(duì)應(yīng)頻率Wcg,相角裕度Pm和對(duì)應(yīng)頻率Wcp。第31頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例3-17：考慮如下系統(tǒng)模型：求它的幅值裕度和相角裕度，并求其閉環(huán)階躍響應(yīng)。例3-18系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為：求出系統(tǒng)的幅值裕度與相角裕度。第32頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.5線性系統(tǒng)的性質(zhì)分析

3.5.1線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析1.直接判定方法首先求出系統(tǒng)的所有極點(diǎn)，當(dāng)其實(shí)部大于零，則系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)，否則稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。若極點(diǎn)的實(shí)部等于0的，則系統(tǒng)稱為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。對(duì)于傳遞函數(shù)模型tf（num，den）,利用求根函數(shù)roots（den）來(lái)求極點(diǎn)。對(duì)于狀態(tài)方程模型SS（A,B,C,D）利用求特征值函數(shù)eig（A）來(lái)求特征值。這樣根據(jù)極點(diǎn)或特征值直接判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性了。例3-19假設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型為判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

第33頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

1)routh構(gòu)造系統(tǒng)的Routh表格式:[rtab,msg]=routh(den)說(shuō)明：其中den是系統(tǒng)的分母多項(xiàng)式向量，rtab是構(gòu)造的Routh表矩陣，msg變量為字符串型變量，返回有關(guān)信息。系統(tǒng)不穩(wěn)定極點(diǎn)的數(shù)目等于所產(chǎn)生的Routh表中第一列元素的符號(hào)變化次數(shù)。Routh（）函數(shù)

2間接判定方法

直接求取高階代數(shù)方程的根是一件很困難的工作，所以出現(xiàn)了一些判定給定系統(tǒng)穩(wěn)定性的間接方法，本節(jié)介紹其中兩種方法，即Routh-Hurwitz判定方法和Lyapunov判定方法，它們分別適用于傳遞函數(shù)模型和狀態(tài)空間模型。例3-20：同例3.19，應(yīng)用的Routh表判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第34頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

從運(yùn)行結(jié)果可知Routh表第一列沒(méi)有符號(hào)的變化，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2）hurwitz構(gòu)造Hurwitz矩陣。格式:H＝hurwitz（den）說(shuō)明：H為構(gòu)造的Hurwitz矩陣，den為系統(tǒng)的分母多項(xiàng)式D(S)，D(S)=a0Sn+a1Sn-1+a2Sn-2+……+an-1S1+

anH矩陣

hurwitz()函數(shù)第35頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

3)posdef判定矩陣的正定性格式：[key,sdet]=posdef(A)說(shuō)明：其中key返回矩陣A正定性的標(biāo)記，若key＝1則表示該矩陣A為正定矩陣，否則矩陣A為非正定矩陣。sdet返回各個(gè)左上角子矩陣的行列式值。posdef（）函數(shù)例3-21：考慮例3.19中的系統(tǒng)模型使用Hurwitz判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由運(yùn)行結(jié)果可知Hurwitz陣是正定的，因此系統(tǒng)穩(wěn)定。第36頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

4)Lyap解Lyapunov方程格式：X＝lyap（A,B,C）X＝lyap（A,w）說(shuō)明：lyap(A,B,C)求解矩陣方程AX+XB=－C的解X；lyap(A,C)求解矩陣方程AX+XA'=-C的解X。例3-22：考慮一個(gè)狀態(tài)方程模型

利用Lyapunov判據(jù)判定出系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：選定一個(gè)正定的對(duì)角矩陣w=diag（1,2,3,4）Lyapunov方程的解V不是正定矩陣，因?yàn)槠渥笊辖亲泳仃嚨男辛惺街刀紴樨?fù)，故而由Lyapunov判據(jù)可知，系統(tǒng)不穩(wěn)定。第37頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.5.2線性系統(tǒng)的能控性和能觀性

1．能控性n階系統(tǒng)的完全能控性只取決于狀態(tài)方程中的（A,B）矩陣，系統(tǒng)完全能控的充要條件是能控矩陣Tc滿秩即：rank(Tc)=n,Tc=[B，AB，…An-1B]能控矩陣Tc由ctrb（）函數(shù)自動(dòng)產(chǎn)生出來(lái)，其調(diào)用格式為：Tc＝ctrb（A，B）2能觀性n階系統(tǒng)的可觀測(cè)性只取決于狀態(tài)方程的（A,C）矩陣，系統(tǒng)完全能觀的充要條件是能觀控矩陣To滿秩即：rank(To)=n,To=[CCACA2CA3

…CAn-1]T能觀陣To由obsv（）函數(shù)直接得出，該函數(shù)的調(diào)用格式為：To＝obsv(A,C)第38頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例3-23：考慮系統(tǒng)的狀態(tài)方程模型分析系統(tǒng)的可控性的和可觀性。第39頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.6離散系統(tǒng)的分析

1連續(xù)系統(tǒng)的離散化格式：[Ad,Bd]=c2d(A,B,ts)[Ad,Bd,Cd,Dd]=c2dm(A,B,ts,’method’)，

[numz,denz]=c2dm(num,den,ts,’method’)

說(shuō)明：

1)c2d命令使用離散化的零階保持器方法，它只有狀態(tài)空間形式2)c2dm既有狀態(tài)空間形式，又有傳遞函數(shù)形式；

3)參數(shù)ts是采樣周期T；

4)method指定轉(zhuǎn)換方式，其中“zoh”表示采用零階保持器；“foh”表示采用三角形近似；“tustin”表示采用雙線性變換；“prewarp”表示采用指定轉(zhuǎn)折頻率的雙線性變換;系統(tǒng)默認(rèn)為零階保持器法。第40頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例3.25：已知系統(tǒng)的被控對(duì)象傳遞函數(shù)為：

采樣周期T＝0.1秒,試將其進(jìn)行離散化處理。第41頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

2離散系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)格式：

[y,x]=dstep(A,B,C,D,ui,n)[y,x]=dstep(num,den,n)功能：對(duì)離散系統(tǒng)進(jìn)行階單位躍響應(yīng)分析，給出一組階躍響應(yīng)的數(shù)據(jù)，并繪制其響應(yīng)曲線。說(shuō)明：1)

若無(wú)左邊的輸出參數(shù)，則自動(dòng)地繪制出響應(yīng)曲線；2)參數(shù)ui和n為可選項(xiàng)，對(duì)于多輸入系統(tǒng)是用于指定哪個(gè)輸入通道，n是指采樣數(shù)；3)和連續(xù)系統(tǒng)中step命令有關(guān)的所有命令都可以在離散系統(tǒng)中應(yīng)用；4其它時(shí)間響應(yīng)命令是dimpulse、dinitial、dlsim。

第42頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例3-26：同例3-25，求取G（s）和G（z）的階躍響應(yīng)，并繪制G（z）的脈沖響應(yīng)曲線。staris()函數(shù)是繪制離散系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)曲線，其調(diào)用格式為：

staris(y) [xs,ys]=staris(y) staris(x,