高中數(shù)學培優(yōu)班第七講 抽象函數(shù)問題的題型綜述

抽象函問的題型述抽象函數(shù)是指沒有明確給出具體的函數(shù)表達式，只是給出一些特殊關系式的函數(shù)，它是中學數(shù)中的一個難點，因為抽象，學生解題時思維常常受阻，思路難以展開，教師對教材也難以處理，而考中又出現(xiàn)過這一題型，有鑒于此，本文對這一問題進行了初步整理、歸類，大概有以下幾種題型：一求某特值這類抽象函數(shù)一般給出定義域，某些性質及運算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法即其定義域內令變量取某特殊值而獲解，關鍵是抽象問題具體化。例1定在R上函數(shù)fx)

滿足：f()(4)

且(2x)f(x2)0

f(2000)

的值。例2已函數(shù)f(x)

對任意實數(shù)x，y都(xy)f()f(y)

，且當

x0

時，f()0，f(，f()

在

[

上的值域。二求參范這類參數(shù)隱含在抽象函數(shù)給出的運算式中，關鍵是利用函數(shù)的奇偶性和它在定義域內的增減性去掉“f

”符號，轉化為代數(shù)不等式組求解，但要特別注意函數(shù)定義域的作用。例3已f)

是定義

偶數(shù)函數(shù)

fa2)f(4

，試確定a

的取值范圍。

例4已f)

是定義在

(

上的減函數(shù)

f(msinx)f(m)

對

R

恒成立，求實數(shù)的取值范圍。三解不式這類不等式一般需要將常數(shù)表示為函數(shù)在某點處的函數(shù)值過數(shù)的單調性去掉函數(shù)符f轉化為代數(shù)不等式求解。

例5

已知函數(shù)f)

對任意

x，yR有f(x)()2f(y)，當x0時)2

，f(3)5

，求不等式

f

2

a3

的解集。四證明些題例6設f()

定義在R上且對任意的

有f(x)fx2)

，求證：f)

是周期函數(shù)，并找出它的一個周期。例7已fx)

對一切

x，

，滿足

f(0)，fxy)f(x)(y)

，且當

x0

時，(

，求證）

x0時，f(x)

（）f)

在R上為減函數(shù)。五綜合題解抽象函數(shù)的綜合問題一般難度較大，常涉及到多個知識點，抽象思維程度要求較高，解題時需握好

如下三點：一是注意函數(shù)定義域的應用，二是利用函數(shù)的奇偶性去掉函數(shù)符號“f”的“負號是利用函數(shù)單調性去掉函數(shù)符號“

例8設數(shù)fx)

定義在R上

x0

時fx)

任

m，

f(n)fm)(n)

，當m時fm)f(n)

。（）明f(0)

；（）明：f()

在R上是增函數(shù)；（）A)(y)f(1)B{()|f(axby0}ABa，b，c

滿足的條件。例9定

的函數(shù)(x)

滿

x，y都fx(y)f

y1

)

，（）

x0)

時，有f()

，（）判斷f()

的奇偶性）斷f)

的單調性；（）證)f(

)f

)f()2

。抽函問分解我們將沒有明確給出解析式的函數(shù)稱為抽象函數(shù)。近年來抽象函數(shù)問題頻頻出現(xiàn)于各類考試題，由于這類問題抽象性強，靈活性大，多數(shù)同學感到困惑，求解無從下手。本文試圖通過實例作分解析，供

學習參考。求義域這類問題只要緊緊抓?。簩⒑瘮?shù)f[gx)]

中的

x)

看作一個整體，相當于

中的這一特性，問題就會迎刃而解。例函數(shù)

的定義域為

(

，則函數(shù)

yf(2

2

2)]

的定義域是__。例已知f)

的定義域為

(0，f(x)f(x)(||

)

的定義域是______。判奇偶性根據(jù)已知條件，通過恰當?shù)馁x值代換，尋求f(與f()

的關系。例已知x

的定義域為R，且對任意實數(shù)x，滿足()x)f(y

，求證：fx)

是偶函數(shù)。是偶函數(shù)。例若函數(shù)yfxf)0)y判單調性

與(

的圖象關于原點對稱，求證：函數(shù)根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調性等有關性質，畫出函數(shù)的示意圖，以形助數(shù)，問題迅速獲解。例如果奇函數(shù)f)

在區(qū)間

[7]

上是增函數(shù)且有最小值為5，么f)

在區(qū)間

[

上是A.增數(shù)且最小值為減數(shù)且最小值為

B.增函數(shù)且最大值為減數(shù)且最大值為

例6.已偶函數(shù)f(x

在

(0，

上是減函數(shù)，問f()

在

(

上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結論。探周期性這類問題較抽象，一般解法是仔細分析題設條件，通過類似，聯(lián)想出函數(shù)原型，通過對函數(shù)原的分析或賦值迭代，獲得問題的解。例設函數(shù)fx

的定義域為，且對任意的，有f()fx)2fx)(y

，并存在正實數(shù)，使

f)。問f

是否為周期函數(shù)？若是，求出它的一個周期；若不是，請說明理由。求數(shù)值緊扣已知條件進行迭代變換有次迭代可直接求出結果者在迭代過程中發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有周期，利用周期性使問題巧妙獲解。例已知f

的定義域為

R

，且f(xy)f()f()

對一切正實數(shù)x，都立，若

，

則(2)

。例已知x

是定義在R上函數(shù)，且滿足：(2)[1()]f()

，f(1)1997，f(2001)的。比函數(shù)值大小利用函數(shù)的奇偶性稱等性質將自變量轉化到函數(shù)的單調區(qū)間內后利用其單調性使問題獲。例10.已函數(shù)x)

是定義域為R的偶函數(shù)

時f)

是增函數(shù)x

x2

x|12

，則

f()f()2

的大小關系是。討方程根的問例11.已函數(shù)f(

對一切實數(shù)x都滿足(1

，并且f()0

有三個實根，則這三個實根之和是。討不等式的解求解這類問題利用函數(shù)的單調性進行轉化，脫去函數(shù)符號。例12.已知函數(shù)f(

是定義在

(

上的減函數(shù)，且對一切實數(shù)x，不等式f(if(ki研函數(shù)的圖象

恒成立，求k的值。這類問題只要利用函數(shù)圖象變換的有關結論，就可獲解。例13.若數(shù)yfx

是偶函數(shù)，則yf)

的圖象關于直線對。練習:1.函f(x)對意x、∈都f(x+y)f(x)+f(y)-1且x>0時，f(x)>1①求證f(x)是R上增函數(shù)②若f(4)＝，不等式f(3x-x-2)<3是R上的數(shù)對意的實數(shù)xx都滿f(x+)＝f(x)+f(x),當x>0時>0且f(2)=3①試判斷f(x)的偶性和單調

))|f(xf(1)，②當θ∈[0,

]時,f(cos2－3)+f(4m－2mcosθ)對所有的均成求n數(shù)的取值范圍3.f是義在N上取值為數(shù)的嚴格單增函數(shù)m、互時f(m·n)＝(m)·(n)若f(19)＝，·f(98))值4.f(x)定義域為R，對任意xx

R都有f(x+x)＝f(x)+f(x，且x>0時f(x)<0、f(1)＝①試判斷f(x)的奇偶性②試判斷在-3，3]上，f(x)是有最大值或最小值？如果有求之，如果沒有，說明理由③解關于x的不式

f（bx）－f(x)>f（bx）－（≠）5.f定域為R，對任意實m、n都有f(m+n)f(m)f(n)，當x>0時0<f(x)<1①求f(0)證明時f(x)>1.②證明f(x)在R上減，并舉出一個滿足①②的函數(shù)f(x)①設A＝

2

y|faxy