中考數(shù)學(xué)歷年各地市真題特殊的四邊形

中考數(shù)學(xué)歷年各地市真題特殊的四邊形

中考數(shù)學(xué)歷年各地市真題

特殊的四邊形

（2010哈爾濱）1。如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)

C'處，折痕為EF,若NABE=20°,那么/EFC'的度數(shù)

為度.125

（2010珠海）如圖，P是菱形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PELAB于點(diǎn)E,PE=4cm,則點(diǎn)

P至IJBC的星E離是cm.4

（2010紅河自治州）下列命題錯(cuò)誤的是（B）a）四邊形內(nèi)角和等于外角和

b）相似多邊形的面積比等于相似比

c）點(diǎn)P（1,2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1,-2）

d）三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半

（2010紅河自治州）18.（本小題滿分9分）如圖6,在正方形ABCD中，G是BC上的任

意一點(diǎn)，（G與B、C兩點(diǎn)不重合），E、F是AG上的兩點(diǎn)（E、F與A、G兩點(diǎn)不重合），

若AF=BF+EF,N1=N2,請(qǐng)判斷線段DE與BF有怎樣的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

解：根據(jù)題目條件可判斷DE〃BF.

證明如下：AB二?四邊形ABCD是正方形，2

（第19題圖）

A

E

.,.AB=AD,ZBAF+Z2=90°.

EVAF=AE+EF,又AF=BF+EF

/.AE=BF

VZ1=Z2,AAABF^ADAE(SAS).

二ZAFB=ZDEA,ZBAF=ZADE.

/.ZADE+Z2=90°，

：.ZAED=ZBFA=90°.

.?.DE//BF.

FC圖6D

（2010年鎮(zhèn)江市）10.如圖，在平行四邊形ABCD中，CD=10,F是AB邊上一點(diǎn)，DF交

AC于點(diǎn)E,且AE2AEF的面積4,則=,BF=6

.EC5CDE的面積25

（2010年鎮(zhèn)江市）27.探索發(fā)現(xiàn)（本小題滿分9分）

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中,RtOAB和RtOCD的直角頂點(diǎn)A,C始終在x軸的正半軸

上，B,D在第一象限內(nèi)，點(diǎn)B在直線0D上方，OC=CD,0D=2,M為0D的中點(diǎn)，AB與0D

相交于E,當(dāng)點(diǎn)B位置變化時(shí)，RtOAB的面積恒為.

試解決下列問(wèn)題：

(1)填空：點(diǎn)D坐標(biāo)為；

(2)設(shè)點(diǎn)B橫坐標(biāo)為t,請(qǐng)把BD長(zhǎng)表示成關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并化簡(jiǎn)；

(3)等式BO=BD能否成立？為什么？

(4)設(shè)CM與AB相交于F,當(dāng)aBDE為直角三角形時(shí)，判斷四邊形BDCF的形狀，并證

你的結(jié)論

°Ac

.12

(1)(,);(1分)

(2)由RtOAB的面積為，得1

21t

BD2AC2(ABCD)2,

111BD2(t2)2(2)2t2222(t)4①(2分)ttt

111(t)222(t)2(t2)2.(3分)ttt

11(注：不去絕BD|t2|t2.②(4分)tt對(duì)值符號(hào)不扣分)

(3)［法一］若OB=BD,則OBBD.22

在RtOAB中，0B20A2AB2t2

由①得t21,2tl12t22(t)4,(5分)22ttt

1得t2,t22t10,t

(2)2420,此方程無(wú)解.

OBBD.(6分)

［法二］若OB=BD,則B點(diǎn)在0D的中垂線CM上.

C(2,0),在等腰RtOCM中，可求得M(22,),22

直線CM的函數(shù)關(guān)系式為yx,③(5分)

11由RtOAB的面積為，得B點(diǎn)坐標(biāo)滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)，④

聯(lián)立③，④得：xx10,2

(2)2420,此方程無(wú)解.

OBBD.(6分)

［法三］若OB=BD,則B點(diǎn)在0D的中垂線CM上，如圖27-1過(guò)點(diǎn)B作BG

y軸于G,CM交y軸于II,

SOBGSOAB1,2

1111而SOMHSMOCSDOC22,（5分）2222

顯然與SHNOSOBG矛盾.

OBBD.（6分）

（4）如果BDE為直角三角形，因?yàn)锽ED45,

①當(dāng)EBD90時(shí)，此時(shí)F,E,M三點(diǎn)重合，如圖27-2

BFx軸,DCx軸，BF//DC.

,此時(shí)四邊形BDCF為直角梯形.（7分）

②當(dāng)EBD90時(shí)，如圖27-3

CF0D,BD//CF.

又ABx軸,DCx軸，BF//DC.

,此時(shí)四邊形BDCF為平行四邊形.(8分)下證平行四邊形BDCF為菱形:

［法一］在BDO中，OB0DBD,222

t2111124t22(t)4,t22,22tttt

2［方法①］t210,BD在0D上方

11解得t21,2;或七21,21(舍去).此得8(1,1),

［方法②］由②得：BDt2

此時(shí)BDCDIt,

,此時(shí)四邊形BDCF為菱形（9分）

［法二］在等腰RtOAE與等腰RtEDB中

OAAEt,OE2t,則EDBD22T.

ABAEBEt2（22t）22t,

1122t，即t22.以下同［法一］.tt

此時(shí)BDCD2,

此時(shí)四邊形BDCF為菱形.（9分）

（2010臺(tái)州市）9.如圖,矩形ABCD中，AB>AD,AB=a,AN平分/DAB,DMLAN于點(diǎn)M,

CN_LAN于點(diǎn)N.

則DM+CN的值為（用含a的代數(shù)式表示）（▲）

D24A.aB.aC.a225

答案：C

（2010遵義市）（10分）如圖（1）,在aABC和aEDC中，AC=CE=CB=CD,ZACB=

ZECD

=90,AB與CE交于F,ED與AB、BC分別交于M、H.

（1）求證:CF=CH；

⑵如圖⑵,△ABC不動(dòng),將ZkEDC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到不BCE=45時(shí),試判斷四邊形ACDM是什

么四邊形？并證明你的結(jié)論.

B

r6

（圖2）（24題圖）

解：（1）（5分）證明:在4ACB和4ECD中

,/ZACB=ZECD=90

.?.Z1+ZECB=Z2+ZECB,.\Z1=Z2

又XAC=CE=CB=CD,

ZA=ZD=45

.,.△ACB^AECD,

.,.CF=CH

（2）（5分）答：四邊形ACDM是菱形

證明：ZACB=ZECD=90,ZBCE=45

/.Zl=45,Z2=45

又：NE=NB=45,

.*.Z1=ZE,Z2=ZB

：.AC〃MD,CD〃AM,，ACDM是平行四邊形

XVAC=CD,...ACDM是菱形

（玉溪市2010）

19.如圖9,在ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)砑舆m

當(dāng)條件后，構(gòu)造出一對(duì)全等的三角形，并說(shuō)明理由.

解：添加的條件是連結(jié)B、E,過(guò)D作DF〃BE交BC圖9于

點(diǎn)F,構(gòu)造的全等三角形是aABE與aCDF........4分理由:?.?平行四邊形ABCD,

AE=ED,........5分

...在4ABE與4CDF中，

AB=CD,........6分

ZEAB=ZFCD,........7分

AE=CF,........8分

/.△ABE^ACDF.........9分

（桂林2010）16.正五邊形的內(nèi)角和等于度.540

（桂林2010）21.（本題滿分8分）求證：矩形的對(duì)角線相等.

21.（本題8分）已知:四邊形ABCD是矩形，AC與BD是對(duì)角線.........2分

求證：AC=BD...............................3分

證明：二?四邊形ABCD是矩形A

，AB=DC,ZABC=ZDCB=90°........4

AED

BC

5分

.,.△ABC^ADCB6分

B/.AC=BD................7分

所以矩形的對(duì)角線相等........8分DC

3

（2010年蘭州）11.如圖所示，菱形ABCD的周長(zhǎng)為20cm,DE1AB,垂足為E,sinA=,

則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有

①DE3cm②BE1cm③菱形的面積為15cm④BD2cm

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

答案C

第11題圖”

2

（2010年蘭州）27.（本題滿分10分）已知平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交

于點(diǎn)0,

AC=10,

BD=8.

(1)若ACLBD,試求四邊形ABCD的面積；

(2)若AC與BD的夾角/A0D=60,求四邊形ABCD的面積；

(3)試討論：若把題目中“平行四邊形ABCD”改為“四邊形ABCD"，且NAOD=

AC=a,BD=b,試求四邊形ABCD的面積(用含,a,b的代數(shù)式表示).

第27題圖

答案(本題滿分10分)

解：(1)VAC1BD

二四邊形ABCD的面積

...............................2分

(2)過(guò)點(diǎn)A分別作AEJ_BD,垂足為E...........................3分

四邊形ABCD為平行四邊形

11AC5B0DOBD422

AEsinAOEA0在Rt/AOE中，AOCO

AAEAOsinAOEAOsin60o53532........4分

SAODHODAE4553222.........................5分

四邊形ABCD的面積S4SAOD2036分

（3）如圖所示過(guò)點(diǎn)示C分別作AE_LBD,CFJLBD,垂足分別為E,F........7分

在Rt/AOE中，sinAOEAE

A0

/.AEAOsinAOEAOsin

同理可得

CFCOsinCOFCOsin........

................8分

11，四邊形ABCD的面積S

SABDSCBDBDAEBDCF221BDsin（AOCO）21BDACsin21absin…

.........................10分2

（2010年連云港）7.如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD互相垂直，則下列條件能判

定四邊形ABCD為菱形的是（）

A.BA=BCB.AC、BD互相平分C.AC=BDD.AB#CD

答案B

（2010年連云港）18.矩形紙片ABCD中，AB=3,AD=4,將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊

CD

上的B'處，折痕為AE.在折痕AE上存在一點(diǎn)P到邊CD的距離與到點(diǎn)B的距離相等，

則此相等距離為.答案

2

5

B

B'

BA

第18題

(2010年連云港)27.(本題滿分10分)如果一條直線把一個(gè)平面圖形的面積分成相

等的兩部分，我們把這條直線稱為這個(gè)平面圖形的一條面積等分線.如，平行四邊形的一

條對(duì)線所在的直線就是平行四邊形的一條面積等分線.

(1)三角形的中線、高線、角平分線分別所在的直線一定是三角形的面積等分線的有

；(2)如圖1,梯形ABCD中，AB〃DC,如果延長(zhǎng)DC到E,使CE=AB,連接

AE,那么有

S梯形ABCD=SAABE.請(qǐng)你給出這個(gè)結(jié)論成立的理由，并過(guò)點(diǎn)A作出梯形ABCD的面積

等分

線(不寫作法，保留作圖痕跡)；

(3)如圖，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，SAADOSAABC,過(guò)點(diǎn)A能否作出四邊

形ABCD

的面積等分線？若能，請(qǐng)畫出面積等分線，并給出證明；若不能，說(shuō)明理由.

答

案

(1)

中

線

所

在

的

直

E

C

圖1

D

C

圖2

D

A

線.............................................................................

..................................2分（2）法一：連接BE,因?yàn)锳B〃CE,AB=CE,所以

四邊形ABEC為平行四邊形所

以

BE

//

AC.............................................................................

...............................................3分

所以aABC和4AEC的公共邊AC上的高也相等

所以有SABCSAEC

所以S梯形

ABCDSACDSABCSACDSAECSAED..................................

..................5分

法二：設(shè)AE與BC相交于點(diǎn)F

因?yàn)锳B〃CE,所以ABFECF,BAFCEF

又因?yàn)锳B=CE

所以ABFECF

所以S梯形ABCDS四邊形AFCDSABFS四邊形AFCDSCBFSAED

過(guò)點(diǎn)A的梯形ABCD的面積等分線的畫法如右圖(1)所示

(3)能.連接AC,過(guò)點(diǎn)B作BE/7AC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接AE.因?yàn)锽E〃AC,所以

△ABC和aAEC的公共邊AC上的高也相等所以有SABCSAEC

所以S梯形ABCDSACDSABCSACDSAECSAED

因?yàn)镾ACD>SABC

所以面積等分線必與CD相交,取DE中點(diǎn)F

則直線AF即為要求作的四邊形ABCD的面積等分線

作圖如右圖(2)所示

(2010寧波市)21.如圖1,有一張菱形紙片ABCD,AC=8,BD=6.

(1)請(qǐng)沿著AC剪一刀，把它分成兩部分，把剪開的兩部分分拼成一個(gè)平C圖1

行四邊形，在圖2中用實(shí)線畫出你所拼成的平行四邊形：若沿著BD剪

開，請(qǐng)?jiān)趫D3中用實(shí)線畫出拼成的平行四邊形；并直接寫出這兩個(gè)平行

四邊形的周長(zhǎng).

（2）沿著一條直線剪開，拼成與上述兩種都不全等的平行四邊形，請(qǐng)?jiān)趫D4

中用實(shí)線畫出拼成的平行四邊形.

（注：上述所畫的平行四邊形都不能與原菱形全等）

CC

AABAB圖4

ur9

t/

//

//

//

//

/

/

一一一一一一一一，

圖2圖3

2k解：(1)"

D"_(1-'______

一周長(zhǎng)為26〃

M周長(zhǎng)為22PA答案不S唯一P

周長(zhǎng)—_周長(zhǎng)一

Ur?

，/

，9

，/

//

，，

/9

，，

)/

9

9

（第21題）

ur

/

CB

24.（2010年金華）

（本題12分）如圖，把含有30。角的三角板AB0置入平面直角坐標(biāo)系中，A,B兩點(diǎn)坐

標(biāo)分別為（3,0）和（0,

/

.動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿折線A0-0B-BA運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在AO,OB,BA上運(yùn)動(dòng)的

3（長(zhǎng)度單位3速度分別為1

布

2（長(zhǎng)度單位/秒）.一直尺的上邊緣1從x軸的位置開始以

/秒）的速度向上平行移動(dòng)（即移動(dòng)過(guò)程中保持l〃x軸），且分別與OB,AB交于E,F

兩點(diǎn).設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線1同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)P沿折線A0-0B-BA運(yùn)動(dòng)一

周時(shí)，直線1和動(dòng)點(diǎn)P同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).

請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）過(guò)A,B兩點(diǎn)的直線解析式是▲；

（2）當(dāng)t=4時(shí)?，點(diǎn)P的坐標(biāo)為▲；當(dāng)t=▲，點(diǎn)p與點(diǎn)E重合；

（3）①作點(diǎn)P關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)P,.在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若形成的四邊形PEP'F為

菱形，則t的值是多少？

②當(dāng)t=2時(shí)，是否存在著點(diǎn)Q

求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）yx3；......4分（2）

（0,）,t

9；……4分（各2分）2

（圖1）

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時(shí)，過(guò)F作FGJ_x軸，G為垂足（如圖1）

'."0EFG,EPFP,ZEOPZFGP90°AAEOP^AFGP,AOPPG.又

VOEFGFG13tt,ZA60°,AAG033tan60

2而APt,AOP3t,PGAPAGt3

29由3tt得t；...................................................1分35

A/\P

(如圖唳

LX

OAx

當(dāng)點(diǎn)P在線段BA上時(shí)，過(guò)P作PH,

EF,PM1OB,H、MVOEBE333t,.BE33t,AEF33tan600

19t,又；BP2(t6)EF26二MPEH

在RtZiBMP中，BPcos600MP

即2(t6)4519t,解得t.……....................................1分

726

②存在.理由如下：C12,AP2,OP13

將ABEP繞點(diǎn)E順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°,得到

△BEC(如圖3)

VOB±EF,.?.點(diǎn)B在直線EF上,Vt2,AOE

C點(diǎn)坐標(biāo)為(22,-1)33

過(guò)F作FQ〃BC,交EC于點(diǎn)Q,

則△FEQS/\BEC

由BEBECE2)..................1分,可得Q的坐標(biāo)為(一,FEFEQE33

2,)也符合條件.……1分3根據(jù)對(duì)稱性可得，Q關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)Q(—

22.(2010年長(zhǎng)沙)在正方形ABCD中，AC為對(duì)角線，E為AC上一點(diǎn)，連接EB、ED.

(1)求證：ZXBEC絲aDEC；

于F,當(dāng)FBED=120°時(shí)，求EEFD的度數(shù).

答案：(1)證明：???四邊形ABCD是正方形

，BC=CD,ZECB=ZECD=45°

又EC=EC2分

/.△ABE^AADE................3分

(2)VAABE^AADE

.,.ZBEC=ZDEC=1ZBED.......4分2

VZBED=120°AZBEC=60°=ZAEF..........5分

AZEFD=60°+45°=105°.....................6分

（2010年湖南郴州市）22.一種千斤頂利用了四邊形的不穩(wěn)定性.如圖，其基本形狀是

一個(gè)菱形，中間通過(guò)螺桿連接，轉(zhuǎn)動(dòng)手柄可改變ADC的大?。庑蔚倪呴L(zhǎng)不變），從而

改變千斤頂?shù)母叨龋碅、C之間的距離）.若AB=40cm,當(dāng)ADC從60變?yōu)?20時(shí)，

千斤頂升高了多少？L414,1.732,結(jié)果保留整數(shù)）第22題答案22.解：連結(jié)AC,與BD

相交于點(diǎn)0

四邊形ABCD是菱形\AC.BD,DADB=DCDB,AC=2A0...1分

當(dāng)D.ADC=60°時(shí)，ADC是等邊三角形

\AC=AD=AB=40..............3分

當(dāng)DADC=120°時(shí)，DAD0=60°\AO=ADXsinDAD0=40

x/3

X2

\AC

.....................5分

因此增加的高度為

x/3

-40=40'0.732?29（cm）..........6分

（說(shuō)明：當(dāng)DADC=120°時(shí)，求AC的長(zhǎng)可在直角三角形用勾股定理）

（2010年湖南郴州市）23.已知：如圖，把ABC繞邊BC的中點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)180得到DCB.

求證：四邊形ABDC是平行四邊形.。

CB

第23題

答案23.證明：因?yàn)镈CB是由ABC旋轉(zhuǎn)180所得.............2分

所以點(diǎn)A、D,B、C關(guān)于點(diǎn)0中心對(duì)稱................4分

所以0B=0C0A=0D.........................6分

所以四邊形ABCD是平行四邊形.........................8分

（注：還可以利用旋轉(zhuǎn)變換得到AB=CD,AC=BD相等；或證明ABCDCB證ABCD是

平行四邊形）

（2010湖北省荊門市）19.（本題滿分9分）將三角形紙片ABC（AB>AC）沿過(guò)點(diǎn)A的直線折

疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD,展平紙片，如圖（1）；再次折疊該三角形紙片，使

得點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕為EF,再次展平后連接DE、DF,如圖2,證明：四邊形AEDF是

菱形.

圖5

A

E

BAFBD

(1)(2)

第19題圖

答案19.

A

2FBC

圖1圖2

證明：由第一次折疊可知：AD為NCAB的平分線，=................2分由

第二次折疊可知：ZCAB=ZEDF,從而，Z3=Z4.........................4分VAD

是4AED和4AFD的公共邊，...△AED0Z\AFD(ASA)...................6分；.AE=AF,DE

=DF

又由第二次折疊可知：AE=ED,AF=DF

/.AE=ED=DF=AF..........................................................8分

故四邊形AEDF是菱形........................................................9分

8.(2010湖北省咸寧市)如圖，菱形ABCD由6個(gè)腰長(zhǎng)為2,且全等的等腰梯形鑲嵌而

成，

則線段AC的長(zhǎng)為

A.3B.6C

后

.D

.答案：D

13.（2010年郴州市）如圖,已知平行四邊形ABCD,E是AB延長(zhǎng)

線上一點(diǎn)，連結(jié)DE交BC于點(diǎn)F,在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)

補(bǔ)充一個(gè)條件，使△CDF^a

AB

BEF個(gè)）答案：DC=EB或CF=BF或DF=EF或F或B為AE的中點(diǎn)第13題

7.（2010年懷化市）如圖2,在菱形ABCD中,

對(duì)角線AC=4,ZBAD=120°,

則菱形ABCD的周長(zhǎng)為（）

A.20B.18

C.16D.15

答案：C

18.（2010年懷化市）如圖5,在直角梯形ABCD中，AB〃CD,ADXCD,AB=lcm,

AD=6cm,CD=9cm,則BC=cm.答案：1022.(2010湖北省咸寧市)問(wèn)題背景

(1)如圖1,aABC中，DE〃BC分另IJ交AB,AC于D,E

72x8

垃

4

過(guò)點(diǎn)E作EF〃AB交BC于點(diǎn)F.請(qǐng)按圖示數(shù)據(jù)填空:

四邊形DBFE的面積S

△EFC的面積S1

隊(duì)而改穿的下項(xiàng)的高度(即4

口“4斤頂4滴q多少？

D

手柄

△ADE的面積S2.探究發(fā)現(xiàn)

拓展遷移

(3)如圖2,L1DEFG的四個(gè)頂點(diǎn)在aABC的三邊匕若4ADG、ADBE>AGFC的面積

分別為2、5、3,試?yán)?2)...中的結(jié)論求aABC的面積.........

22.(1)S6,S19,S21.3分

(2)證明：VDE/7BC,EF〃AB,

二四邊形DBFE為平行四邊形，AEDC,ACEF..,.AADE^AEFC.4分

B

圖1

（2）在（1）中，若BFa,FCb,DE與BC間的距離為h.請(qǐng)證明S24S1S2.

AG

EF

圖2

C

S2DE2a2.\（）2.SlFCb

la2a2hVSlbh,AS22SI.....5分

b2b2

la2h

A4S1S24bh（ah）2.

22b

而Sah,AS24S1S2....6分

（3）解：過(guò)點(diǎn)G作GH〃AB交BC于H,則四邊形DBHG為平行四邊形.Z.GIICB,

BDHG,DGBH..四邊形DEFG為平行四邊形，

ADGEF.ABHEF.ABEHF.AADBE^AGHF..'.△GHC的面積為

538....8分

B

AG

由（2）得，DDBEIG的面積為8.……9分.'.△ABC的面積為

28818.22.（2010年郴州市）一種千斤頂利用了四邊形的不穩(wěn)定性.如圖，其基

本形狀是一個(gè)菱形，中間

通過(guò)螺桿連接，轉(zhuǎn)動(dòng)手柄可改變ADC的大?。庑蔚倪呴L(zhǎng)不變）C之間的距離）.若

AB=40cm,當(dāng)ADC從60變?yōu)?201.414,1.732,結(jié)果保留整數(shù)）

HEF

圖2

C第22題

22.解：連結(jié)AC,與BD相交于點(diǎn)0

四邊形ABCD是菱形\AC~BD,DADB=DCDB,AC=2A0

當(dāng)DADC=60°時(shí)，ADC是等邊三角形

\AC=AD=AB=40

當(dāng)DADC=120°時(shí)，DAD0=60°\AO=ADXsinDAD0=40

\AC

/

G

因此增加的高度為

-40=40'0.732?29（cm）

23.（2010年郴州市）已知：如圖，把ABC繞邊BC的中點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)180得到DCB.求

證：四邊形ABDC是平行四邊形.

23.證明：因?yàn)镈CB是由ABC旋轉(zhuǎn)180所得

所以點(diǎn)A、D,B、C關(guān)于點(diǎn)0中心對(duì)稱C所以0B=0C0A=0DB

所以四邊形ABCD是平行四邊形

（注：還可以利用旋轉(zhuǎn)變換得到AB=CD,AC=BD

AD

證ABCD是

平行四邊形）第23題。

23.（2010年懷化市）如圖7,平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)0,直線EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)

0,分別與

AB,CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,F.

求證：四邊形AECF是平行四邊形.

23.證明：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，...

圖70D=0B,0A=0C...............1分

AB//CD.............................

........2分

/.ZDFO=ZBEO,ZFDO=ZEBO...................................3分

/.△FDO^AEBO................................................4分

.\OF=OE.....................................................5分

.?.四邊形AECF是平行四邊形

北京4.若菱形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為6和8,則這個(gè)菱形的周長(zhǎng)為(A)20(B)16

(C)12(D)10。

北京19.已知：如圖,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC=AD=2,BC=4?

求B的度數(shù)及AC的長(zhǎng)。

19.（本小題滿分5分）

解法一:分別作4FJ.8C.DG1BC.F,。是垂足.........................................

乙AF8=乙1）€€=90°.

AD//HC,

四邊形"匕。是矩形.

AF=IX；.

AR=!）（：.

在RtZUFB中.

/.48=60。.

???林=1.

/."=百.

:f'C=3,

由勾股定理.得4c=23.

:.48=600.40=23..................................................................................

解法二；過(guò)八點(diǎn)作〃叱交8c于點(diǎn)￡..............................................................

AD//BC.

四邊形4￡CO是平行四邊形.

:.AD=EC,AE=DC.\

?.?AH=DC=Al）=2.BC=4./\

“=HE=EC=AB./\

可證△/?（：足"向三角形.△包爾是等邊三角形./.-------4_____

Z.K4C=9O<,z_B=60°.B與

在Rt648（；中,4C=dB?tan60。=2吁.~

/.,8=60°..4c=2瓦.........................................................................

，八/.k1■育田/I0

畢節(jié)23.（本題10ABCD中，BCD的平分線CE交邊AD于E,ABC

的平分線BG交CE于F,交AD于G.求證：AEDG.

23.證明：：四邊形ABCD是平行四邊形（已知），

AD/7BC,ABCD（平行四邊形的對(duì)邊平行，對(duì)邊相等）

GBCBGA,BCECED（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

又?:BG平分ABC,CE平分BCD（已知）

ABGGBC,BCEECD（角平分線定義）

ABGGBA,ECDCED.BG2分6分ABAG,CEDE（在同一個(gè)三角形

中，等角對(duì)等邊）

8分AGDE

AGEGDEEG,即AEDG.10分7.（10湖南懷化）如圖2,在菱形ABCD中，對(duì)角

線AC=4,ZBAD=120°,則菱形ABCD的周長(zhǎng)為（）C

圖5

15

18.（10湖南懷化）如圖5,在直角梯形ABCD中，AB/7CD,AD±CD,AB=lcm,AD=6cm,

CD=9cm,則BC=cm.10

23o如圖7,平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)0,直線EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,分別與AB,CD的

延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,F.

求證：四邊形AECF是平行四邊形.

圖7

證明：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，,OD=OB,OA=OC..............1分

AB//CD......................................2分

:.ZDFOZBEO,ZFDOZEBO....................................3分

/.△FDO^AEBO................................................4分

AOF=OE....................................................5分四邊形AECF

是平行四邊形.............................6分

24.全等、四邊形、勾股定理(10重慶潼南縣)如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,

點(diǎn)G是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)AG,點(diǎn)E、F分別在AG上，連接BE、DF,Z1=Z2,

Z3=Z4.

(1)證明：Z\ABE絲Z\DAF；

(2)若NAGB=30°,求EF的長(zhǎng).

24題圖

解：(1)二?四邊形ABCD是正方形，，AB=AD。

在aABE和4DAF中，

21ABDA43

二AABE^ADAFo

(2)?.,四邊形ABCD是正方形，.-.Zl+Z4=900?

VZ3=Z4,.,.Zl+Z3=900,.,.ZAFD=900,

在正方形ABCD中，AD〃BC,AZl=ZAGB=300o

在RtaADF中，ZAFD=900,AD=2,；.AF=,DF=1。

li(l)WAABE^AADF?.,.AE=DF=1?，EF=AF-AE=k

1、已知四邊形ABCD中，ZAZBZC90，如果添加

一個(gè)條件，即可推出該四邊形是正方形，那么這個(gè)條件可以是（）.

A.ZD90B.ABCDC.ADBCD.BCCD

答案：D

2、大正方形網(wǎng)格是由25個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成，

把圖中陰影部分剪下來(lái)，用剪下來(lái)的陰影部分拼成一個(gè)正方形，

那么新正方形的邊長(zhǎng)是答案：

（第16題圖）

（2010陜西省）8.若--個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為2,則這個(gè)菱形兩條對(duì)角線的平方和為（A）

A16B8C4D1

（2010陜西?。?8.如圖，A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上AB=2BC,

分別以AB,BC為邊做正方形ABEF和正方形BCMN連接FN,EC.

求證：FN=EC

證明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中

AB=BE=EF,BC=BN,ZFEN=ZEBC=90°

AB=2BC，EN=BC.*.△FNE^AEBC.\FN=EC

（2010年天津市）（6）下列命題中正確的是（D）

（A）對(duì)角線相等的四邊形是菱形（B）對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形（C）對(duì)角線

相等的平行四邊形是菱形

（D）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形

(2010寧夏6.點(diǎn)A、B、C是平面內(nèi)不在同一條直線上的三點(diǎn)，點(diǎn)D是平面內(nèi)任意一

點(diǎn)，若A、B、C、D四點(diǎn)恰能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，則在平面內(nèi)符合這樣條件的點(diǎn)D有

(C)A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

(2010寧夏26.(10分)

在aABC中，ZBAC=45°,ADLBC于D,將AABD沿AB所在的直線折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)

E處：將4ACD沿AC所在的直線折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)F處，分別延長(zhǎng)EB、FC使其交于點(diǎn)

M.

(1)判斷四邊形AEMF的形狀，并給予證明.

(2)若BD=1,CD=2,試求四邊形AEMF的面積.

A

26.解：(1)VADBCaAEB是由aADB折疊所得/.Z1=Z3,ZE=ZADB=90,BE=BD,

AE=AD

2

BE

D

CCF

又???AAFC是由4ADC折疊所得

，N2=N4,NF=NADC=90,FC=CD,AF=AD

.,.AE=AF--2分又?.?/1+N2=45,

Z3+Z4=45

NEAF=90----------------------------------------3分

二四邊形AEMF是正方形。----------------------5分

(2)方法一：設(shè)正方形AEMF的邊長(zhǎng)為x

根據(jù)題意知：BE=BD,CF=CD

2-----------------------------------------------------------------------7分

在RtABMC中，由勾股定理得：OOOOCM=x-

BC2CM2BM2

(x1)(x2)922

x23x20

解之得：xl

A33x2(舍去)22

S正方形AEMF(32133)--------------------------------------------1022

分

方法二：設(shè)：AD=xASABC

.*.13BCAD=x22

S五邊形AEBCF2SABC3x-----------------------------------------------------

---------7分vsBMC11BMCM(x1)(x2)22

且S正方形AEMFS五邊形AEBCFSBMCAx3x21(x1)(x2)即

x23x202

33x2(舍去)22解之得：xl，S正方形AEMF(

32133)------------------------------------------------10分22

AEB

第16題圖

1.(2010寧德)如圖，在DABCD中，AE=EB,AF=2,則FC等于.4

2.(2010寧德)本題滿分13分)如圖，四邊形ABCD是正方形，4ABE是等邊三角

形，M為對(duì)角線BD(不含B點(diǎn))上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接

EN、AM、CM.

⑴求證：△AMBgZ\ENB；

⑵①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí),AM+CM的值最小;

②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，并說(shuō)明理由；⑶當(dāng)AM+BM+CM的最小值

解：⑴:△ABE是等邊三角形，

，BA=BE,ZABE=60°.VZMBN=60°,

AZMBN-ZABN=ZABE-ZABN.即/BMA=/NBE.XVMB=NB,

⑵①當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AM+CM的值最小.............7分②如圖，連接CE,

當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小.............9分理由如下：

連接MN.由⑴知，ZSAMB也△；.AM=EN.

VZMBN=60",MB=NB,.*.△BMN是等邊三角形..\BM=MN.

FBCADBCAD.\AM+BM+CM=EN+MN+CM,...........10分

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短"，得EN+MN+CM=EC最短

...當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí),AM+BM+CM的值最小,即等于EC的長(zhǎng).……11分

⑶過(guò)E點(diǎn)作EF±BC交CB的延長(zhǎng)線于F,

/.ZEBF=90°-60°=30°.

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x,則BF=

在RtAEFC中，；EF2+FC2=EC2,

:.（3x2）+（x+x）2=22xx,EF=.221.............12分2

解得，x=（舍去負(fù)值）.

,正方形的邊長(zhǎng)為.............13分

3.（2010黃岡）如圖矩形紙片ABCD,AB=5cm,BC=10cm,CD上有一點(diǎn)E,ED=2cm,

AD上有一點(diǎn)P,PD=3cm,過(guò)P作PFLAD交BC于F,將紙片折疊，使P點(diǎn)與E

CFB

點(diǎn)重合，折痕與PF交于Q點(diǎn)，則PQ的長(zhǎng)是.cm.34

第9題圖

4.（2010黃岡）（6分）如圖，?個(gè)含45°的三角板HBE的兩條直角邊與正方形ABCD

的兩鄰邊重合，過(guò)E點(diǎn)作EFLAE

交NDCE的角平分線于F點(diǎn)，試探究線段AE與EF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由。

第18題圖

提示：由/H=NFCE,AH=CE,/HAE=/FCE可證aHAE^4CEF,從而得到AE=EF.

1.（2010山東濟(jì)南）如圖所示，正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)0,點(diǎn)M、N分

別為OB、0C的中點(diǎn)，則cos/OMN的值為D第9題圖1B

叵

C

且

D.12

答案：B

2、（2010山東濟(jì)南）如圖所示，在梯形ABCD中，BC〃AD,AB=DC,點(diǎn)M是AD的中點(diǎn).

求證：BM=CM.

M

答案：證明：：BC〃AD,AB=DC,第18題圖A.

ZBAM=ZCDM,"""""""""""""〃""1分,點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，

AM-DM?〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃2分

/.△ABM^ADCM,〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃3分

**.BM=CM.〃〃〃〃〃ff〃〃〃〃ff〃〃〃ff〃〃〃ifu4分

1.（2010山東德州）在四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA

的中點(diǎn)，如果四邊形EFGH為菱形，那么四邊形ABCD是（只要寫出一種即可）.

2.（2010山東德州）粉筆是校園中最常見的必備品.圖1是一盒剛打開的六角形粉

筆，總支數(shù)為50支.圖2是它的橫截面（矩形ABCD）,己知每支粉筆的直徑為12nlln,由

此估算矩形ABCD的周長(zhǎng)約為一mm.（1.73,結(jié)果精確到1mm）

BC第16題圖1第16題圖

3.（2010四川宜賓）

如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PE_LBC于點(diǎn)E,PFJ_CD于點(diǎn)F,連接EF

給出下列五個(gè)結(jié)論：①AP=EF；②APLEF；③AAPD一定是等腰三角形；

D④NPFE=NBAP；⑤PD=2EC

8__________

_______16

20題圖

CBE

答案：

1.答案不唯一：只要是對(duì)角線相等的四邊形均符合要求.如：正方形、矩形、等腰梯

形等

2.300.

3.①②④⑤.

(2010株洲市)11.已知一個(gè)n邊形的內(nèi)角和是1080,則n(2010株洲市)14.如

圖，四邊形ABCDAC和BD相交于點(diǎn)0,AC4cm,BD8cm2.

A

BCD

第14題圖

(2010株洲市)19.(本題滿分6分)如圖，已知平行四邊形ABCD,DE是ADC的角

平分線，交BC于點(diǎn)E.

(1)求證：CDCE；

(2)若BECE,B80,求DAE的度數(shù).

19.(1)如圖，在ABCD中，AD//BC得