直線平面平行與垂直的判定及其性質(zhì)證明題詳解

直線、平平行與垂直的判及其性質(zhì)在棱P－ABCD中四形ABCD是形，∠ABC=90°平PAB⊥面ABCD平面ABCD.（1）證PA⊥平ABCD；（2）平I平面PCD，問(wèn)直線l能與面ABCD平行請(qǐng)明由【解析（1）因∠ABC=90°，AD∥BC，所以AD⊥AB.而平面PAB⊥平面ABCD，且平面I平ABCD=AB,所以AD⊥面PAB,所以AD同理可得⊥PA.

PAB（16題

D由于AB

平面ABCD，且ABIAD=A,所以PA⊥平面ABCD.（2方法一）不平行.證明：假定直線l∥面ABCD,由于面PCD且平面I平面ABCD=CD,

所l同理可得∥AB,所以AB這與AB和是直角梯形ABCD的兩腰不平行相矛盾故假設(shè)錯(cuò)誤，所以直線與平面不平（方法二）因?yàn)樘菪蜛BCD中AD∥BC,所以直線與直線CD相交，設(shè)I由TCD，平面PCD得T面PCD.同理T

平面PAB.即T為平面PCD與平面PAB的公共點(diǎn)，于是PT為平面PCD與平面PAB的交.所以直l與平面ABCD不平

如在三棱ABCB中BCBCABBC，,分為段AC,AC的11111中，證（1）面面ABC

A

A（2）EF//

面B；

F（3）平C【解析】(1)BCAB

B

E

G

B

BCABIB

C

C

Q

平面平面

1ABC平面平面ABC1(2)ECFFCEFAA11BB//AA//11

A

A

QEF面BEF//11

面BCCB；11

E

F連接，四邊形EFGB為平行四邊形

B

G

B

EBACFGAC1BCABCB面BC11BCFGC11BCIAC1

C

C

平面ABC。11

在棱O－ABCD中底ABCD為菱形OA⊥面ABCD為OA的點(diǎn)，為的點(diǎn)，證（1）平BDO⊥面ACO（2）EF//面OCD.【解析】證明：⑴∵平，BD平面，所以O(shè)ABD，∵邊形是菱形，ACBD，OAACA，∴BD面OAC，又∵平面，∴面平面．⑵取OD中點(diǎn)，連接,MEAD,ME

AD，

O∵邊形是菱形，//BCADBC，∵為BC的中點(diǎn)，∴‖AD,CFAD，

A

E

M

D∴CF．

B

∴邊形EFCM是平行四邊∴EF//CM，又∵EF面OCD，CM平OCD．∴EF‖平OCD．

如圖l等梯ABCD中，∥BC，AB=AD∠ABC=60，E是BC的點(diǎn)如2，eq\o\ac(△,將)沿AE折起使面B—AE成直面，結(jié)BC是CD的中點(diǎn)P是BC中．求：⊥BD；’求：面PEF平AECD；

判DE能垂于面ABC?并

D說(shuō)理．

D【解析1連接BE取AE中點(diǎn)M，

連接．

圖1

圖Q在等腰梯形ABCD中AD∥，AB=AD

，E是BC中點(diǎn)與ADE都是等邊三角形

BMBMIM,BM平面

平面QBD平面BDM

AE．（2連接CM交EF于點(diǎn)N，連接Q∥FC，且ME＝

四邊形是平行四形

N是段的中點(diǎn)QP是線的中點(diǎn)Q平面

∥PN面AECD．PN平面平面PEF面AECD

（3DE與平面ABC不垂直．證明：假設(shè)面，則DEABQ平面

DEIB，AB平面ABE

DE面ABEDE，這與oDE與平面不直．

矛盾如圖在棱PABCD中，面中為形，

，中。（1）若

PAPD

，證平

平

PAD

；

P

（2）點(diǎn)M在段上PMtPC，試確實(shí)t值使得A‖平

D

C

。

【解析（1連，Q四形菱形

ADAB

，BAD60

A

BABD為正三角形Q

PADBQ

M

Q為AD的中點(diǎn)，AD

D

C又

IPQQ

Q

ONAD平P

，

AD平面PAD

A

B平面PQB平面（2當(dāng)t

時(shí)使得

PA‖平面M

連接

交

于

交

BD

于

O

則

O

為

BD

的中點(diǎn)又BQ

22為

邊

AD

上中線，

N

為正三角形

ABD

的中心，令菱形

ABCD

的邊長(zhǎng)為

，則

ANa

，AC。QPA

平面MQB

PA平

平面AC面MQBPMAN1PC3

即：

PM

13

t

13

。如圖四形ABCD是形PA⊥平ABCD，M為的中.（）證PC∥平面BDM；（）PA＝，BD＝，直BM與平PAC所的.【解析（Ⅰ設(shè)ACBD交點(diǎn)為O，連結(jié)OM.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是形，則O為AC中點(diǎn).又M為PA的中點(diǎn)，所以O(shè)M∥PC.因?yàn)镺M在平面BDM內(nèi)，所以PC∥平面BDM.（Ⅱ因?yàn)樗倪呅蜛BCD是形，則BD又PA⊥面ABCD，則PA所以BD⊥平面PAC.所以∠BMO是線與平面PAC所成的角.

aa/FMCa因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA在eq\o\ac(△,Rt)中，為PA＝＝又點(diǎn)M與點(diǎn)O分別是PA與AC的中點(diǎn)，則MO＝PC＝1.

，則PC＝2.又BO＝2BD＝3，在Rt中，∠BMO

BOMO

3

，所以∠＝60°.故直線BM與面PAC所成的角是60°.一個(gè)柱直圖三圖主圖俯圖是長(zhǎng)正方形左圖直邊為的腰角）圖示其M、N分是、的點(diǎn)G是DF上的動(dòng).（）證

;

（）三錐的積（），明平.a

F

E主視圖

側(cè)視圖

Ga

a俯視圖

A

D

M

N

B

【解析Ⅰ由視圖可知多面體是直三棱柱兩底是直角邊長(zhǎng)為的等腰直角三角形側(cè)面

AMCDCEFGQ,MFC,AMAM∥,AGAMCDCEFGQ,MFC,AMAM∥,AGFM

是邊長(zhǎng)為

的正方形.連結(jié)

因?yàn)?/p>

FD,FDAD

所以，

面

ABCD

AC又AC,面GND,GN所以，所以GNV（ⅡEADFBCEFAMCD

A

FGD

M

N

B

E

S

BCE

1FD33

MBC

11a11a1a)223＝6

3

另解：

E

M

111a32

3DE交FC于（Ⅲ連結(jié)連結(jié)因?yàn)榉謩e的中點(diǎn)，所以

12

CD

，1CDGQ,以，//,

是平行四邊形AGAG

面FMC

MQ

面

FMC

所以，//平面.如圖四錐S-ABCD