自動控制原理第八章線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合習(xí)題及解答

如有幫助歡迎下載支持第八章線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合習(xí)題及解答8-1已知電樞控制的直流伺服電機的微分方程組及傳遞函數(shù)diURiLaE+dtaaaabdEKbmdtbMCimma2ddMJmmfmmdt2dtm(s)CLfJRsRfKC))(mms[LJs2(U(s)aamammaambm⑴設(shè)狀態(tài)變量x1及輸出量y，試建立其動態(tài)方程;mxmx，，mm23y,,⑵設(shè)狀態(tài)變量xix1x及,試建立其動態(tài)方程。a2m3mm解：x1mxx（1）由題意可知：21m，xxm32yxm1URiLiEaEKaaaab由已知bmMCimmafmMJmmmmxx21xx23fLJRRfKCC可推導(dǎo)出xx3x2UmmaLJmaambm3LJaLJaaammmyx1由上式，可列動態(tài)方程如下1如有幫助歡迎下載支持01010xx11xx+000URfKCLfJR22ax0xCambmamLJma33LJamLJmamamx1001y=x2x3xi,x,x,y（2）由題意可知：1a2m3mm1Uxbx1URKLRKxiaiaaba1LmLaL1L3Laaaaaaaxx3可推導(dǎo)出2mxmifmCCJfmxmx3mm3mJaJ1Jmmmx2ym可列動態(tài)方程如下Kba1Raa0x1x1LLx1Lay010xx2001x0Ua22Cm0fmx0x33x3JmJmxxi11max和x2由得2mmmxx3m3xx12mxx23mxmifmCCJfxmxJ13mm3JJmammmm0101T00由上式可得變換矩陣為Cfm0mJJmm611668-2設(shè)系統(tǒng)微分方程為yyyyu。式中，u和y分別為系統(tǒng)輸入和輸出量。試列寫可控標準型（即矩陣A為友矩陣）及可觀測標準型(即矩陣A為友矩陣轉(zhuǎn)置)狀態(tài)空間表達式，并畫出狀態(tài)變量圖。解：由題意可得：2如有幫助歡迎下載支持yus36s211s66可控標準型010x0x11x001x0u6116221x3x3x1y600x2x3狀態(tài)變量圖如下：由方程得可觀測標準型006x6x11x1011x0u220160xx33x1y001x2x3狀態(tài)變量圖如下：x,x,x8-3已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖8-29所示，其狀態(tài)變量為。試求動態(tài)方程，3并畫出狀態(tài)變量圖。123如有幫助歡迎下載支持由結(jié)構(gòu)圖可得xxxs(s1)2s2xsx2x2x即xx2x2x11123112323x3ssxx即xx13x113x2sx2x3x2u即x2x3x2u2122122uxs31由上述三式，可列動態(tài)方程如下：x001x011x230x2u2032x023x3x1yx100x12x3狀態(tài)變量圖如下：8-4已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為G(s)s26s8s24s3，試求可控標準型，可觀測標準型，對角型動態(tài)方程，并畫出狀態(tài)變量圖。解：(1)可控標準型x01x0u134x1x122y52xu1x2（2）可觀測標準型4如有幫助歡迎下載支持035xx1ux1142x22xy01u1x2132s3s1G(s)s26s812（3）43s2s1230xxu1011x3x22由上式可得對角型2y11xu1x258-5已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)(s1)2(s2)，試求約當(dāng)型動態(tài)方程，并畫出狀態(tài)變量圖。555s5s2G(s)解：(s1)2(s2)(s1)21由上式，可得約當(dāng)型動態(tài)方程110x0x1x010x1u1220021x3x3x1y555x2x38-6已知雙輸入—雙輸出系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程分別為xxu112xx2uu2231x6x11x6x2u23123yxx211y2xxx3212矩陣形式的動態(tài)方程，并畫出狀態(tài)變量圖寫出解：由題中給定方程可列寫出動態(tài)方程010x10xu1u11x001x2122026116xx233x110y1x121y122x35如有幫助歡迎下載支持狀態(tài)變量圖如下0100x230x1u，試求傳遞函數(shù)G(s)28-7已知系統(tǒng)動態(tài)方程為113y001解：1s00G(s)C[(sIA)1]B0012s3011s32102s7s3=s1s37s62s5s1s23s21=7s632108-8已知系統(tǒng)矩陣A=，至少用兩種方法求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。01解：（1）級數(shù)法：eAtIAt12A22t+1t12t213t314t40==01t1t21t31t42340et0et(2)拉氏變換法6如有幫助歡迎下載支持101s1s101s1(sIA)10s10100s1eteAtL110et0s16et5e2t4et4e2t(t)8-9已知系統(tǒng)，3et3e2t2et3e12t2ete2tete2t(t)2和2et2e2tet2e2t，判斷是否是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。若是，則確定系統(tǒng)的狀態(tài)陣A；如果不是，請說明理由。12解：轉(zhuǎn)移矩陣應(yīng)滿足：A,(0)I1010(0)010I0112(t)1(t)2假設(shè)，為轉(zhuǎn)移矩陣則446e10e4e8et2tt2tA1=(t)3et6e2t2et6e12tt0t0012e2e2te2e2ttt(t)t0A2=2et4e2tet4e2322tt0則12et8e2t8et4e2t1t(t)A1=9e8e6et4e12t2tt2e2e2te2e2ttt2A2t(t)＝t==A22e4eet4e22t2t2t01t2(t)1其狀態(tài)陣所以不是轉(zhuǎn)移矩陣，是轉(zhuǎn)移矩陣，為。23100020x的解8-10試求下列狀態(tài)方程的解x300解：由題意可得：7如有幫助歡迎下載支持xAx(sIA)xx0x(sIA)1x0x(t)L1(sIA)1x00s20s1001x(t)L1x000s3100s11s2L00x10100s30et00e2t0x00e3t0101(0)1,x(0)0。試求系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下的響應(yīng)。2xxu，初始條件為8-11已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為x1111解：此題為求非奇次狀態(tài)方程的解，對于非奇次狀態(tài)方程。x(t)(t)x(0)t(t)Bu()d01s1101s10et01(t)L1(sIA)1L1L1s1s1tetet(1)2ss1et010112etetdx(t)tee1t00(t)etet2tettty(k2)3y(k1)2y(k)2u(k1)3u(k)，并且y(0)=0,y(1)=1,8-12已知差分方程u(0)試列寫可控標準型離散動態(tài)方程，并求出u(k)時的系統(tǒng)響應(yīng)。u(1)11解：由差分方程可得離散動態(tài)方程如下：x(k1)Gx(k)Hu(k)y(k)Cx(k)0123H01C32G8如有幫助歡迎下載支持x(1)Gx(0)Hu(0)001011y(1)Cx(1)320210100112x(2)Gx(1)Hu(1)1231y(2)Cx(2)32112010y10x設(shè)采樣周期，試求離散化動態(tài)方程xu,T1s8-13已知連續(xù)系統(tǒng)的動態(tài)方程為x。102解：111ss(s2)1s2(e1)1s12t(t)L1[sIA]1L1L120100e2ts212(e21)13.19e210(T1)07.39112(e21)10u10G(T1)()BdT00e211(e2)11.34722==13.195e220xxx,x2x3x平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。128-14試用李雅普諾夫第二法判斷12120x解：平衡點：1x02V(x)x2x構(gòu)造212V(x)2xx2xx2x(xx)2x(2x3x)則1122112212=2x26xx6x2211223x136x=xx1229如有幫助歡迎下載支持20V(x)23判定性質(zhì)：3612930V(x)負定，因此平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的123210u1，當(dāng)Q=I時，矩陣P的值；若選Q為正半定矩陣，求對應(yīng)ux010x028-15已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為1010122的P矩陣的值，并判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：ATPPAQI令：1232200PPPPPP1211112131112131PPPPPP01021222231222231301PPPPPP012132333132333100010=001PPP4812111213116PPPP8613解得：122223121344PPP132333古氏行列式：40848624648804812613156401213448因此不定。000Q010選000V(X)XTQXX則2，為負半定。2ATPPAQ由等式解得：10如有幫助歡迎下載支持PPP00011121312PPPP00正半定。122223PPP000132333判定系統(tǒng)穩(wěn)定性：s2132sIA0s10(s2)(s1)201s12三個特征值分別為：2,1,1。因此系統(tǒng)不穩(wěn)定。010常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為，x(k1)001x(k)，k0，8-16設(shè)線性定試求使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的k值范圍。k002TPPQI解：令000PPP010PPPk11121311121310PPP001PPP231222PPP1323332122223kPPP000102132333即100010001100PPP8k2111213PPPP00解得：4k2122223PPP12001323334k2k0若要滿足題意，需令k4。因此，漸近穩(wěn)定0k2。的條件為：28-17試判斷下列系統(tǒng)的狀態(tài)可控性。2210(1)x020x0u14011100(2)x010x1u011011如有幫助歡迎下載支持11000uu(3)x010x0110111024001(4)x040x2u0011110101u(5)xx111011101100(6)xxu11011解：012PBABA2B000（1）c101rankP2n3該系統(tǒng)不可控c012PBABA2B111（2）c012rankP2n3該系統(tǒng)不可控。c010102P010101（3）c111112rankP3n該系統(tǒng)可控。c1416（4）P2832c111rankP2n3該系統(tǒng)不可控。c100000101（5）x1xu100000011112如有幫助歡迎下載支持解：012313112PBABA2BA3B112131c111312111矩陣不滿秩，該系統(tǒng)不可控。100010100（6）x1xu100000011100131321012PBABA2BA3B解：c1213112113111矩陣不滿秩，該系統(tǒng)不可控。0118-18設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為xxu，并設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)可控，試求。a,bb1a解：1bPBABbab1c令Pab1b20ab1時，即可滿足可控性條件。bcsa8-19設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為G(s)s37s214s8，并設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)可控、可觀測，試求a值。解：sasaG(s)s3ss7148(s1)(s2)(s4)2a何值，系統(tǒng)○采用可控標準型，不論為總可控。1a1,2,4?！鹪谌我馊A實現(xiàn)情況下可控，則28-20試判斷下列系統(tǒng)的可觀測性：12221x011x0u101(1)(2)y110x200x020x031y111x13如有幫助歡迎下載支持111xx212(3)1000yx0010210x020x(4)003y011x解：C110PCA131（1）cCA2050rankP3n該系統(tǒng)可觀。cC111PCA251（2）c4`131CA2rankP3n該系統(tǒng)可觀。c（3）該形式為約當(dāng)標準型，直接判定，該系統(tǒng)可觀。（4）該形式為約當(dāng)標準型，直接判定，該系統(tǒng)不可觀。a1y11x可觀測的a,b.。xx,8-21試確定使系統(tǒng)0b解：11CPca1bCAP1ba0ba1時，于是系統(tǒng)可觀。c8-22已知系統(tǒng)動態(tài)方程各矩陣為13201100A042,B00，C00100110試用傳遞矩陣判斷系統(tǒng)的可控性和可觀測性。解：s132(s1)(s4)3(s1)2(s1)112(s1)(s1（)s4）(sIA)10s4200(s1)2判斷可控性：(s1)(s4)20s10014如有幫助歡迎下載支持s432012s41(s1)(s4)(sIA)1B0s12002000s410s40a2s4a20as400令123aaa0123所以(sIA)1B中三行向量線性無關(guān)，因此該系統(tǒng)可控。判斷可觀性：s4321001(s1)(s4)C(sIA)10s1200100s4s4321=(s1)(s4)00s4s432s43a0令aa0012aaa0。解得123所以，C(sIA)1中三行向量線性無關(guān)，因此該系統(tǒng)可觀測。01000010A8-23已知矩陣A，試求A的特征方程,特征值和特征向量,并求出變換矩陣，將約當(dāng)化。00011000解：s1000s10D(s)sIA00s1s41100s（1）（2）3,411j2111jj15如有幫助歡迎下載支持111111jjPP2P3P4（3）1111111jj對角化變換矩陣111111jj11PPPPP11123411jj11jj1111PAP11jj1111所以P可使A對角化1218-24將狀態(tài)方程xxu化為可控標準型。1341117PBAB解：crankP2,可控，可化為可控標準型。所以，c711Pc118P111取81P11P1611826則PP1A121111126101驗證：PAP1182634211051110PB182611驗證完畢。,AB陣為：故可控標準型實現(xiàn)對應(yīng)的01,B0A1051Y(s)s18-25已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為Uss2s，試寫出系統(tǒng)可控、不可觀測，可觀測，不可控，不可控、不可觀測的動態(tài)()3216如有幫助歡迎下載支持方程。解：Y(s)U(s)s2ss1s132(s1)(s2）傳遞函數(shù)有零極點對消，因此不可控或不可觀?？煽?、不可觀方程：01230XXU111XY可觀測、不可控方程：021XXU131Y01XY（s)s101U(s)(s1)(s2)s1s2不可控、不可觀測方程：100XXU021Y01X8-26已知系統(tǒng)動態(tài)方程各矩陣為：1000102000A,B,C43116230332042試求可控子系統(tǒng)與不可控子系統(tǒng)的動態(tài)方程。解：11110000333321147191PBABA2BA3BcrankP2c111300113002300033300211001T1T27270900270017如有幫助歡迎下載支持0011310001110002302000001TAT112727090623033000270032042110001087516271352121270081180005400113127002300TB1127270903270027002011100001CT1431111043330021100所以，可控子系統(tǒng)為：010875161XuX1X102727135y110X27212ccccc不可控子系統(tǒng)為：32921X06cX3X3cc02Y43Xcc8-27系統(tǒng)各矩陣同題8-26，試求可觀測子系統(tǒng)與不可觀測子系統(tǒng)的動態(tài)方程。解：利用9-27的對偶關(guān)系實現(xiàn)：0270011081350010A1CBT1000BCT277521810428218543可觀子系統(tǒng)：027110X1Xua10813527aY10Xaa不可觀子系統(tǒng)：18如有幫助歡迎下載支持75212728290X4X1U3X1326aaaY0a01000110u。說明可否用狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)極點，若可以，求狀態(tài)反饋矩陣，x8-28設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為x100110使閉環(huán)極點位于10,1j3,，并畫出狀態(tài)變量圖。解：0010PBABA2B01090c10100990rankP3n,csI(ABk)(s10)(s1j3)(s1j3)000100s10s00110kkks312s224s402300s011010s3(10k9)s2(10k10k9)s10ks312s224s4033214k1k1.22k2.13010,10x，試設(shè)r,2r(r0)，并計全維狀態(tài)觀測器，使其極點位于xuy8-29設(shè)系統(tǒng)動態(tài)方程為x100畫出狀態(tài)變量圖。解：10CPcCA01rankP2n,可觀，可設(shè)計全維狀態(tài)觀測器。c19如有幫助歡迎下載支持AHCh100h10觀測器系統(tǒng)陣：0000hh011sh1令sI(AHC)s2hsh(sr)(s2r)s23rs2r2010hs1h3r0解得：h2r21Y(s)(s1)(s2)s1(s2)(s3)，若有可能，8-30設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為U(s)(s1)(s2)(s3)，判斷能否利用狀態(tài)反饋矩陣將傳遞函數(shù)變成求出一個滿足的狀態(tài)反饋陣。K，并畫出狀態(tài)變量圖提示：狀態(tài)反饋不改變傳遞函數(shù)的零點。解：能。y(s)(s1)(s2)s2s2u(s)(s1)(s2)(s3)32s56s2s上式無零極點對消，因此可控，可任意配置極點?？貥藴市蛯崿F(xiàn)：xAxBu;yCx用可0100,B0,C211A001其中：2165s1為使傳遞函數(shù)變?yōu)?s2)(s3)，需配置極點，使得D(s)(s2)2(s3)s37s216s120100010001令：ABk016k5k2k1216712318k1k21解得：2k5320如有幫助歡迎下載支持配置極點后出現(xiàn)零極點對消，系統(tǒng)不可觀。但傳遞函數(shù)只描述外部特性，故可達到目的。8-31設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：00520ux101x12,y001x1u0130120.22j1.3，并畫出狀態(tài)變量圖。試判別系統(tǒng)可控性和可觀測性；求輸出至輸入的反饋矩陣，使閉環(huán)極點位于-0.57，2005510121113BABAB=解：Pc20115711rankP3n，系統(tǒng)可控cC001PCA01300310CA2rankP3n，系統(tǒng)可觀測。0005h005h00AHC101h001101h11013013hh22令：sI(AHC)(s0.57)(s0.22j1.3)(s0.22j1.3)s0h50即：1sh1s3(3h)s2(h1)s(h5)s3s22s1121001s3h221如有幫助歡迎下載支持6h0