2023屆福建省福州市鼓樓區(qū)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知隨機(jī)變量，其正態(tài)分布曲線如圖所示，若向正方形OABC中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)數(shù)估計(jì)值為（）（附：則）A．6038 B．6587 C．7028 D．75392．二面角為，、是棱上的兩點(diǎn)，、分別在半平面、內(nèi)，，且，，則的長為A．1 B． C． D．3．已知（ax）5的展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)為﹣80，則（ax﹣y）5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的絕對值之和為（）A．32 B．64 C．81 D．2434．橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)相連構(gòu)成一個(gè)三角形，若該三角形內(nèi)切圓的半徑為，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．5．已知點(diǎn)在拋物線C：的準(zhǔn)線上，記C的焦點(diǎn)為F，則直線AF的斜率為（）A． B． C． D．6．已知，，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．7．函數(shù)（）的圖象的大致形狀是（）A． B． C． D．8．已知拋物線y2=2x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線上，且|PF|=2，過點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線交準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，則|FQ|=（）A．1 B．2 C． D．9．已知的定義域?yàn)?，為的?dǎo)函數(shù)，且滿足，則不等式的解集（）A． B．C． D．10．的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為（）A．-160 B．-120 C．40 D．20011．若函數(shù)y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域?yàn)閧y|0<y≤1}，則函數(shù)y＝loga|x|的圖象大致是()A． B． C． D．12．在同一直角坐標(biāo)系中，曲線y=sin(x+πA．y=13C．y=3sin(2x+二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知在R上不是單調(diào)增函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是____．14．為了宣傳校園文化，讓更多的學(xué)生感受到校園之美，某校學(xué)生會組織了6個(gè)小隊(duì)在校園最具有代表性的3個(gè)地點(diǎn)進(jìn)行視頻拍攝，若每個(gè)地點(diǎn)至少有1支小隊(duì)拍攝，則不同的分配方法有_____種（用數(shù)字作答）15．若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為__________；16．用0，1，2，3，4可以組成_______個(gè)無重復(fù)數(shù)字五位數(shù).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)不等式|2x-1|<1的解集為M，且a∈M,b∈M.（1）試比較ab+1與a+b的大?。唬?）設(shè)maxA表示數(shù)集A中的最大數(shù)，且h=max{218．（12分）已知橢圓的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為，且與拋物線的焦點(diǎn)重合.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，求的最小值.19．（12分）已知函數(shù)．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求的值；（2）已知當(dāng)時(shí)恒成立，求的最大值．20．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若對任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（12分）已知函數(shù)，（1）求在區(qū)間上的極小值和極大值；（2）求在（為自然對數(shù)的底數(shù)）上的最大值．22．（10分）已知拋物線：，點(diǎn)為直線上任一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，（1）證明，，三點(diǎn)的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列；（2）已知當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，，求此時(shí)拋物線的方程；（3）是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在拋物線上，其中點(diǎn)滿足，若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】∵隨機(jī)變量，∴，∴，∴落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為個(gè)．選B．2、C【解析】試題分析：考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算3、D【解析】

由題意利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出的值，可得即

，本題即求的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和，令，可得的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和．【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為令，求得，可得展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為，解得，則所以其展開式中各項(xiàng)系數(shù)的絕對值之和，即為的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和，令，可得的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為.故選D項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題4、C【解析】

利用等面積法得出、、的等式，可得出、的等量關(guān)系式，可求出橢圓的離心率.【詳解】由橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形面積為，該三角形的周長為，由題意可得，可得，得，因此，該橢圓的離心率為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的計(jì)算，解題時(shí)要結(jié)合已知條件列出有關(guān)、、的齊次等式，通過化簡計(jì)算出離心率的值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.5、C【解析】試題分析：由已知得，拋物線的準(zhǔn)線方程為，且過點(diǎn)，故，則，，則直線AF的斜率，選C．考點(diǎn)：1、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)；2、直線的斜率．6、B【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別求得的范圍，利用臨界值可比較出大小關(guān)系.【詳解】；；且本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問題，關(guān)鍵是能夠通過臨界值來進(jìn)行區(qū)分.7、C【解析】

對x分類討論，去掉絕對值，即可作出圖象.【詳解】故選C．【點(diǎn)睛】識圖常用的方法(1)定性分析法：通過對問題進(jìn)行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢，利用這一特征分析解決問題；(2)定量計(jì)算法：通過定量的計(jì)算來分析解決問題；(3)函數(shù)模型法：由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題．8、B【解析】

不妨設(shè)點(diǎn)P在x軸的上方，設(shè)P（x1，y1），根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得x1=，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可求出．【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)P在x軸的上方，設(shè)P（x1，y1），∵|PF|=2，∴x1+=2，∴x1=∴y1=，∴Q（-，），∵F（，0），∴|FQ|==2，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了直線和拋物線的位置關(guān)系，拋物線的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．一般和拋物線有關(guān)的小題，很多時(shí)可以應(yīng)用結(jié)論來處理的；平時(shí)練習(xí)時(shí)應(yīng)多注意拋物線的結(jié)論的總結(jié)和應(yīng)用,尤其和焦半徑聯(lián)系的題目，一般都和定義有關(guān)，實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距和點(diǎn)線距的轉(zhuǎn)化.9、D【解析】

構(gòu)造函數(shù)，再由導(dǎo)函數(shù)的符號判斷出函數(shù)的單調(diào)性，不等式，構(gòu)造為，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，設(shè)，則，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，因?yàn)?，所以，所以，所以，解得．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，其中解答中根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)和用導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系對不等式進(jìn)行判斷是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．10、B【解析】分析：將化為含由展開式中的，常數(shù)項(xiàng)與中展開式中的常數(shù)項(xiàng)，分別對應(yīng)相乘得到.分別求出相應(yīng)的系數(shù)，對應(yīng)相乘再相加即可.詳解：將化為含由展開式中的，常數(shù)項(xiàng)與中展開式中的常數(shù)項(xiàng)，分別對應(yīng)相乘得到.展開式的通項(xiàng)為，常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)分別為展開式的通項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，的系數(shù)分別為故的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為故選B.點(diǎn)睛：本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題，也考查了利用展開式的通項(xiàng)公式求指定項(xiàng)的系數(shù)，是基礎(chǔ)題目．11、A【解析】由函數(shù)y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域?yàn)閧y|0<y≤1}，得0<a<1.y＝loga|x|在上為單調(diào)遞減，排除B,C,D又因?yàn)閥＝loga|x|為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，故A正確.故選A.12、C【解析】

由x'=12x【詳解】由伸縮變換得x=2x',y=13即y'=3sin(2x'+【點(diǎn)睛】本題考查伸縮變換后曲線方程的求解，理解伸縮變換公式，準(zhǔn)確代入是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．【解析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為f′（x）≥0不恒成立，即可得到結(jié)論．【詳解】∵函數(shù)yx3+mx2+（m+2）x+3，∴f′（x）＝x2+2mx+m+2，∵函數(shù)yx3+mx2+（m+2）x+3在R上不是增函數(shù)，∴f′（x）＝x2+2mx+m+2≥0不恒成立，∴判別式△＝4m2﹣4（m+2）＞0，∴m2﹣m﹣2＞0，即m＜﹣1或m＞2，故答案為：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，考查了二次不等式恒成立的問題，屬于中檔題．14、540【解析】

首先將6個(gè)小隊(duì)分成三組，有三種組合，然后再分配，即可求出結(jié)果．【詳解】（1）若按照進(jìn)行分配有種方案；（2）若按照進(jìn)行分配有種方案；（3）若按照進(jìn)行分配有種方案；由分類加法原理，所以共有種分配方案．【點(diǎn)睛】本題主要考查分類加法計(jì)數(shù)原理，以及排列組合的相關(guān)知識應(yīng)用．易錯(cuò)點(diǎn)是平均分配有重復(fù)，注意消除重復(fù)．15、3【解析】

作出可行域，作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，平移此直線可得最優(yōu)解?！驹斀狻孔鞒隹尚杏?，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，向上平移直線，增大，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，取得最大值3。故答案為：3?！军c(diǎn)睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，解題方法是作出可行域，作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，平移此直線可得最優(yōu)解。16、96【解析】

利用乘法原理，即可求出結(jié)果．【詳解】用0、1、2、3、4組成一個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)共有4×4×3×2×1=96種不同情況,故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查排列、組合以及簡單計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）(2,+∞)．【解析】試題分析：（1）解不等式|2x-1|<1可得M=(0,1)，即a,b范圍已知，然后比較ab+1和a+b的大小可用作差法；（2）很顯然由a∈(0,1)，知2a∈(2,+∞)，同樣2b∈(2,+∞)，對a+bab，a+bab≥2ab試題解析：（1），（2）∴考點(diǎn)：解絕對值不等式，比較大小，新定義．18、（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）的最小值為.【解析】試題分析：（1）由題可知）拋物線的焦點(diǎn)為，所以，然后根據(jù)離心率可得a值，從而得出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程（2）根據(jù)題意則需求出AC和BD的長度表達(dá)式，顯然可以根據(jù)直線與橢圓的弦長公式求得，所以設(shè)，，直線的方程為，代入橢圓方程，，同理求出AC的長度，然后化簡即得.解析：（1）拋物線的焦點(diǎn)為，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）（i）當(dāng)直線的斜率存在且時(shí)，直線的方程為，代入橢圓方程，并化簡得.設(shè)，，則，，.易知的斜率為，所以..當(dāng)，即時(shí)，上式取等號，故的最小值為.（ii）當(dāng)直線的斜率不存在或等于零時(shí)，易得.綜上，的最小值為.點(diǎn)睛：本題要熟悉橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、直線與橢圓的位置關(guān)系問題，在求解橢圓中的最值問題時(shí)務(wù)必先求出表達(dá)式結(jié)合不等式即可得出結(jié)論，同時(shí)直線與橢圓的弦長公式也要非常熟悉19、（1）；（2）．【解析】

求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由已知切線方程可得a，b的值；

由求導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)性、最值，可知，由題意可得恒成立，即可得到ab的最大值．【詳解】（1）因?yàn)?，所以解得．?）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．所以．由題意，知恒成立，即恒成立．于是在時(shí)恒成立．記，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．所以的最大值為．所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、最值，利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題，考查方程思想和轉(zhuǎn)化思想，以及運(yùn)算能力，屬于難題．20、(1)．(2)【解析】

（1）利用零點(diǎn)分類討論法解絕對值不等式；（2）由題得對任意成立，即對任意成立，再求實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，不等式可化為．當(dāng)時(shí)，，解得，故；當(dāng)時(shí)，，解得，故；當(dāng)時(shí)，，解得，故．綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．（2）∵對任意成立，∴任意成立，∴對任意成立，所以對任意成立又當(dāng)時(shí)，，故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對值不等式的解法和絕對值不等式的恒成立問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.21、（1）極小值為，極大值為.（2）答案不唯一，具體見解析【解析】

（1）對三次函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，解導(dǎo)數(shù)不等式，畫出表格，從而得到極值；（2）由（1）知函數(shù)的性質(zhì)，再對進(jìn)行分類討論，求在的性質(zhì)，比較兩段的最大值，進(jìn)而得到函數(shù)的最大值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，令，解得或.當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表：x0-0+0-遞減極小值遞增極大值遞減故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取值極大值為.（2）①當(dāng)時(shí)，由（1）知，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，，，所以在上的值大值?.②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則在上的最大值為.故當(dāng)時(shí)，在上最大值為；當(dāng)時(shí)，在上的最大值為2.【點(diǎn)睛】本題三次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)為背景，考查利用導(dǎo)數(shù)求三次函數(shù)的極值，考查分類討論思想的應(yīng)用.22、(1)證明見解析；(2)；(3)存在一點(diǎn)滿足題意.【解析】

(1)設(shè),對求導(dǎo),則可求出在,處的切線方程,再聯(lián)立切線方程分析即可.

(2)根據(jù)(1)中的切線方程,代入則可得到直線的方程,再聯(lián)立拋物線求弦長列式求解即可.(3)分情況,當(dāng)?shù)目v坐標(biāo)與兩種情況,求出點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá)式,再利用與垂直進(jìn)行求解分析是否存在即可.【詳解】(1)設(shè),對求導(dǎo)有,故在處的切線方程為,即,又,故同理在處的切線方程為,聯(lián)立切線方程有,化簡得,即的縱坐標(biāo)為,因?yàn)?，?,三點(diǎn)的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列.

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