定積分的換元法

定積分的換元法第1頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一先來看一個(gè)例子例1換元求不定積分令則故第2頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一為去掉根號(hào)令則

當(dāng)x

從0連續(xù)地增加到4時(shí)，t相應(yīng)地從1連續(xù)地增加到3于是嘗試一下直接換元求定積分第3頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一將上例一般化就得到定積分的換元積分公式

由此可見，定積分也可以象不定積分一樣進(jìn)行換元，所不同的是不定積分換元時(shí)要回代原積分變量，而對(duì)定積分則只需將其上、下限換成新變量的上、下限即可計(jì)算出定積分，而不必回代原積分變量第4頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一一、換元公式第5頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一證第6頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一第7頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意:（1）（2）第8頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一計(jì)算解1由定積分的幾何意義等于圓周的第一象限部分的面積解2

故o例2第9頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一令解4令仍可得到上述結(jié)果解3第10頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一解令

例3計(jì)算第11頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一定積分的換元積分公式也可以反過來使用為方便計(jì)將換元公式的左、右兩邊對(duì)調(diào)同時(shí)把

x

換成

t

，

t

換成

x這說明可用引入新變量但須注意如明確引入新變量，則必須換限如沒有明確引入新變量，而只是把整體視為新變量，則不必?fù)Q限注第12頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一例4計(jì)算解第13頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一例5計(jì)算解原式第14頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一例6計(jì)算解一令原式第15頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一解二接解一對(duì)令則第16頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一證第17頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一即：奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分等于0

偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分等于對(duì)稱的部分區(qū)間上積分的兩倍由定積分的幾何意義，這個(gè)結(jié)論也是比較明顯的第18頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一例8計(jì)算解原式偶函數(shù)奇函數(shù)四分之一單位圓的面積第19頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一第20頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一（1）設(shè)（2）設(shè)證第21頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一第22頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一另證將上式改寫為奇函數(shù)第23頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一例10設(shè)

f(x)是以L為周期的連續(xù)函數(shù)，證明證明與

a

的值無關(guān)第24頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一例11設(shè)

f(x)連續(xù)，常數(shù)a>0證明證明比較等式兩邊的被積函數(shù)知，第25頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一第26頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一例12設(shè)f(x)連續(xù)解第27頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一第28頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一第29頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一定積分的換元法幾個(gè)特殊積分、定積分的幾個(gè)等式

二、小結(jié)第30頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一思考題解令第31頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一

思考題解答計(jì)算中第二步是錯(cuò)誤的.正確解法是第32頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一練習(xí)題第33頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一第34頁，共37頁，2023年