定積分的換元法

定積分的換元法第1頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期一先來(lái)看一個(gè)例子例1換元求不定積分令則故第2頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期一為去掉根號(hào)令則

當(dāng)x

從0連續(xù)地增加到4時(shí)，t相應(yīng)地從1連續(xù)地增加到3于是嘗試一下直接換元求定積分第3頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期一將上例一般化就得到定積分的換元積分公式

由此可見(jiàn)，定積分也可以象不定積分一樣進(jìn)行換元，所不同的是不定積分換元時(shí)要回代原積分變量，而對(duì)定積分則只需將其上、下限換成新變量的上、下限即可計(jì)算出定積分，而不必回代原積分變量第4頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期一一、換元公式第5頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期一證第6頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第7頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期一應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意:（1）（2）第8頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期一計(jì)算解1由定積分的幾何意義等于圓周的第一象限部分的面積解2

故o例2第9頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期一令解4令仍可得到上述結(jié)果解3第10頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解令

例3計(jì)算第11頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定積分的換元積分公式也可以反過(guò)來(lái)使用為方便計(jì)將換元公式的左、右兩邊對(duì)調(diào)同時(shí)把

x

換成

t

，

t

換成

x這說(shuō)明可用引入新變量但須注意如明確引入新變量，則必須換限如沒(méi)有明確引入新變量，而只是把整體視為新變量，則不必?fù)Q限注第12頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例4計(jì)算解第13頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例5計(jì)算解原式第14頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例6計(jì)算解一令原式第15頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解二接解一對(duì)令則第16頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期一證第17頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期一即：奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分等于0

偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分等于對(duì)稱的部分區(qū)間上積分的兩倍由定積分的幾何意義，這個(gè)結(jié)論也是比較明顯的第18頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例8計(jì)算解原式偶函數(shù)奇函數(shù)四分之一單位圓的面積第19頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第20頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（1）設(shè)（2）設(shè)證第21頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第22頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期一另證將上式改寫為奇函數(shù)第23頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例10設(shè)

f(x)是以L為周期的連續(xù)函數(shù)，證明證明與

a

的值無(wú)關(guān)第24頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例11設(shè)

f(x)連續(xù)，常數(shù)a>0證明證明比較等式兩邊的被積函數(shù)知，第25頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第26頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例12設(shè)f(x)連續(xù)解第27頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第28頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第29頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定積分的換元法幾個(gè)特殊積分、定積分的幾個(gè)等式

二、小結(jié)第30頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期一思考題解令第31頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

思考題解答計(jì)算中第二步是錯(cuò)誤的.正確解法是第32頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期一練習(xí)題第33頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第34頁(yè)，共37頁(yè)，2023年