2023屆湖南省衡陽一中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的部分圖象大致是（）A． B．C． D．2．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若，則輸出的為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，則=（）A． B． C． D．4．若a|a|＞b|b|，則下列判斷正確的是（）A．a(chǎn)＞b B．|a|＞|b|C．a(chǎn)+b＞0 D．以上都有可能5．函數(shù)在點處的切線方程為（）A． B．C． D．6．下面命題正確的有（）①a，b是兩個相等的實數(shù)，則是純虛數(shù)；②任何兩個復(fù)數(shù)不能比較大??；③若，且，則.A．0個 B．1個 C．2個 D．3個7．函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A． B．C． D．8．已知，、，則向量與的夾角是（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)f(x)=2x3+ax+a.過點M(-1,0)引曲線C:y=f(x)的兩條切線，這兩條切線與y軸分別交于A，B兩點，若|MA|=|MB|，則f(x)A．-324 B．-310．設(shè)曲線在點處的切線與直線平行，則（）A．B．C．D．11．為了解某校一次期中考試數(shù)學(xué)成績情況，抽取100位學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，得如圖所示的頻率分布直方圖，其中成績分組區(qū)間是，則估計該次數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)是（）A．71.5 B．71.8 C．72 D．7512．已知關(guān)于的方程的兩根之和等于兩根之積的一半，則一定是()A．直角三角形 B．等腰三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則________14．已知表示兩個不同的平面,為平面內(nèi)的一條直線,則“構(gòu)成直二面角”是“”的______條件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“或”“既不充分也不必要”）.15．把3名輔導(dǎo)老師與6名學(xué)生分成3個小組(每組1名教師，2名學(xué)生)開展實驗活動，但學(xué)生甲必須與教師A在一起，這樣的分組方法有________種．(用數(shù)字作答)16．已知函數(shù)f(x)=(x+2013)(x+2015)(x+2017)(x+2019)x∈R，則函數(shù)f(x)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）求證：18．（12分）設(shè)函數(shù)在時取得極值．（1）求a的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．19．（12分）小明某天偶然發(fā)現(xiàn)班上男同學(xué)比女同學(xué)更喜歡做幾何題，為了驗證這一現(xiàn)象是否具有普遍性，他決定在學(xué)校開展調(diào)查研究：他在全校3000名同學(xué)中隨機抽取了50名，給這50名同學(xué)同等難度的幾何題和代數(shù)題各一道，讓同學(xué)們自由選擇其中一道題作答，選題人數(shù)如下表所示，但因不小心將部分?jǐn)?shù)據(jù)損毀，只是記得女生選擇幾何題的頻率是.幾何題代數(shù)題合計男同學(xué)22830女同學(xué)合計（1）根據(jù)題目信息補全上表；（2）能否根據(jù)這個調(diào)查數(shù)據(jù)判斷有的把握認(rèn)為選代數(shù)題還是幾何題與性別有關(guān)？參考數(shù)據(jù)和公式：0.150.100.050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879，其中.20．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的最大值；（Ⅱ）已知，求證．21．（12分）已知，R，矩陣的兩個特征向量，．（1）求矩陣的逆矩陣；（2）若，求．22．（10分）某種證件的獲取規(guī)則是：參加科目A和科目B的考試，每個科目考試的成績分為合格與不合格，每個科目最多只有2次考試機會，且參加科目A考試的成績?yōu)楹细窈?，才能參加科目B的考試；參加某科目考試的成績?yōu)楹细窈螅辉賲⒓釉摽颇康目荚?，參加兩個科目考試的成績均為合格才能獲得該證件．現(xiàn)有一人想獲取該證件，已知此人每次參加科目A考試的成績?yōu)楹细竦母怕适?，每次參加科目B考試的成績?yōu)楹细竦母怕适?，且各次考試的成績?yōu)楹细衽c不合格均互不影響．假設(shè)此人不放棄按規(guī)則所給的所有考試機會，記他參加考試的次數(shù)為X.（1）求X的所有可能取的值；（2）求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

先判斷函數(shù)奇偶性，再根據(jù)對應(yīng)區(qū)間函數(shù)值的正負確定選項.【詳解】為偶函數(shù)，舍去A;當(dāng)時,舍去C；當(dāng)時,舍去D；故選：B【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性以及識別函數(shù)圖象，考查基本分析求解判斷能力，屬基礎(chǔ)題.2、B【解析】

執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的的值，當(dāng)時，不滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值．【詳解】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，有滿足條件，有，；滿足條件，有,；滿足條件，有，；滿足條件，有，；不滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值為本題正確選項：【點睛】本題考查了程序框圖和算法的應(yīng)用問題，是對框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)進行了考查，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

由積分運算、微積分基本定理、積分的幾何意義分別求出，從而求得.【詳解】因為由微積分基本定理得：，由積分的幾何意義得：所以，故選C.【點睛】本題考查積分的運算法則及積分的幾何意義的運用，考查數(shù)形結(jié)合思想和運算求解能力.4、A【解析】

利用已知條件，分類討論化簡可得.【詳解】因為，所以當(dāng)時，有，即；當(dāng)時，則一定成立，而和均不一定成立；當(dāng)時，有，即；綜上可得選項A正確.故選：A.【點睛】本題主要考查不等關(guān)系的判定，不等關(guān)系一般是利用不等式的性質(zhì)或者特值排除法進行求解，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).5、B【解析】

首先求出函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)，也就是切線的斜率，再利用點斜式求出切線方程．．【詳解】∵，∴切線斜率，又∵，∴切點為，∴切線方程為，即．故選B．【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

對于找出反例即可判斷，根據(jù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)可判斷．【詳解】若，則是0，為實數(shù)，即錯誤；

復(fù)數(shù)分為實數(shù)和虛數(shù)，而任意實數(shù)都可以比較大小，虛數(shù)是不可以比較大小的，即錯誤；

若，，則，但，即錯誤；故選：A【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的概念與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．7、D【解析】分析:先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在上的符號，即可判斷選擇.詳解：令，因為，所以為奇函數(shù)，排除選項A,B;因為時，，所以排除選項C，選D.點睛：有關(guān)函數(shù)圖象的識別問題的常見題型及解題思路：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（3）由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．8、D【解析】

設(shè)向量與的夾角為，計算出向量與的坐標(biāo)，然后由計算出的值，可得出的值.【詳解】設(shè)向量與的夾角為，，，則，所以，，故選D.【點睛】本題考查空間向量的坐標(biāo)運算，考查利用向量的坐標(biāo)計算向量的夾角，考查計算能力，屬于中等題.9、A【解析】

設(shè)切點的橫坐標(biāo)為t，利用切點與點M連線的斜率等于曲線C在切點處切線的斜率，利用導(dǎo)數(shù)建立有關(guān)t的方程，得出t的值，再由MA=MB得出兩切線的斜率之和為零，于此得出a的值，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)【詳解】設(shè)切點坐標(biāo)為(t,2t3+at+a)，∵y'=6解得t=0或t=-32.∵|MA|=|MB|，∴y'則a=-274，f'(x)=6x2-274.當(dāng)x<-324或x>【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點，在處理過點作函數(shù)的切線時，一般要設(shè)切點坐標(biāo)，利用切線與點連線的斜率等于切線的斜率，考查計算能力，屬于中等題。10、D【解析】試題分析：由的導(dǎo)數(shù)為，則在點處的切線斜率為，由切線與直線平行，所以，故選D．考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線在某點處的切線方程．11、C【解析】的頻率為：；的頻率為：；的頻率為：；的頻率為：；的頻率為：；的頻率為：.所以，得：.的頻率和為：.由，得中位數(shù)為：.故選C.點睛：用頻率分布直方圖估計總體特征數(shù)字的方法：①眾數(shù)：最高小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)；②中位數(shù)：平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標(biāo)；③平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)之和.12、B【解析】分析：根據(jù)題意利用韋達定理列出關(guān)系式，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡得到A=B，即可確定出三角形形狀．詳解：設(shè)已知方程的兩根分別為x1，x2，根據(jù)韋達定理得：x1+x2=cosAcosB，x1x2=2sin2=1﹣cosC，∵x1+x2=x1x2，∴2cosAcosB=1﹣cosC，∵A+B+C=π，∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB，∴cosAcosB+sinAsinB=1，即cos（A﹣B）=1，∴A﹣B=0，即A=B，∴△ABC為等腰三角形．故選B．點睛：此題考查了三角形的形狀判斷，涉及的知識有：根與系數(shù)的關(guān)系，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及二倍角的余弦函數(shù)公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、10【解析】

根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì),即可求得的值.【詳解】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)所以故答案為:10【點睛】本題考查了組合數(shù)的簡單性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.14、必要不充分【解析】

根據(jù)直二面角的定義、面面垂直的判定理、充分性、必要性的定義可以直接判斷.【詳解】構(gòu)成直二面角,說明平面互相垂直,但是不一定成立,比如這兩個相交平面的交線顯然是平面內(nèi)的一條直線,它就不垂直于平面；當(dāng)時,為平面內(nèi)的一條直線,由面面垂直的判定定理可知：互相垂直,因此構(gòu)成直二面角,故由可以推出構(gòu)成直二面角,故“構(gòu)成直二面角”是“”的必要不充分條件.故答案為：必要不充分【點睛】本題考查了必要不充分條件的判斷,考查了面面垂直的判定定理.15、30【解析】

將三名教師命名為A，B，C，按照要求，教師A只需再選一名學(xué)生，有5種選法，教師B有種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得分組方法有種．【詳解】將三名教師命名為A，B，C，所以可按三步完成分組，第一步讓教師A選學(xué)生，第二步讓教師B選學(xué)生，第三步將剩下的學(xué)生分配給教師C即可．教師A只需再選一名學(xué)生，有5種選法，教師B有種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得分組方法有種．【點睛】本題主要考查分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用．16、-16.【解析】

根據(jù)fx解析式的對稱性進行換元，令x=t-2016，得到ft-2016的最小值，由fx【詳解】令x=t-2016，則f當(dāng)t2=5故fx的最小值是-16【點睛】本題考查利用換元法求函數(shù)的最小值，二次函數(shù)求最值，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、證明見解析．【解析】試題分析：此題證明可用分析法，尋找結(jié)論成立的條件，由于不等式兩邊均為正，因此只要證，化簡后再一次平方可尋找到?jīng)]有根號，易知顯然成立的式子，從而得證．試題解析：證明：因為都是正數(shù)，所以為了證明只需證明展開得即因為成立，所以成立即證明了【點睛】(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件.正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關(guān)鍵.(2)證明較復(fù)雜的問題時，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結(jié)論等價(或充分)的中間結(jié)論，然后通過綜合法證明這個中間結(jié)論，從而使原命題得證.18、（1）3；（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為（1，2）．【解析】

（1）根據(jù)極值的定義，列出方程，求出的值并進行驗證；（2）利用導(dǎo)數(shù)的正負求單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1），當(dāng)時取得極值，則，即：，解得：，經(jīng)檢驗，符合題意．（2）由（1）得：，∴,令解得：或，令0解得：，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為．【點睛】若一個函數(shù)存大兩個或兩個以上的單調(diào)遞增區(qū)間或單調(diào)遞減區(qū)間，則在書寫時一般是用“，”隔開，或?qū)懸粋€“和”字，而不宜用符號“”連接.19、（1）見解析；（2）有97.5%的把握認(rèn)為選代數(shù)題還是幾何題與性別有關(guān)【解析】

（1）女生中選幾何題的有人，由此補全列聯(lián)表即可（2）計算的值，對照臨界值表下結(jié)論即可【詳解】（1）由已知女生共20人，所以女生中選幾何題的有（人），故表格補全如下：幾何題代數(shù)題合計男同學(xué)22830女同學(xué)81220合計302050（2）由列聯(lián)表知故有97.5%的把握認(rèn)為選代數(shù)題還是幾何題與性別有關(guān)【點睛】本題考查獨立性檢驗，考查能力，是基礎(chǔ)題20、(1).(2)證明見解析.【解析】分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求函數(shù)的最大值.（Ⅱ）利用分析法證明，先轉(zhuǎn)化成證明再構(gòu)造函數(shù)，再求證函數(shù).詳解：（I）因為，所以當(dāng)時；當(dāng)時，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.所以的最大值為.（II）由得，，則，又因為，有，構(gòu)造函數(shù)則，當(dāng)時，，可得在單調(diào)遞增，有，所以有．