中級微觀經(jīng)濟學-范里安版本

范里安：《微觀經(jīng)濟學》中級微觀經(jīng)濟學-范里安版本本章內(nèi)容一、生產(chǎn)技術的數(shù)學刻畫

二、單調(diào)性

三、凸技術

四、技術替代率與替代彈性

五、規(guī)模報酬

六、齊次與位似生產(chǎn)函數(shù)

七、CES生產(chǎn)函數(shù)中級微觀經(jīng)濟學-范里安版本一、生產(chǎn)技術的數(shù)學刻畫1、幾個相關概念

投入和產(chǎn)出的度量，注意投入和產(chǎn)出都是流量的概念。

與生產(chǎn)技術相關的幾個概念

1）凈產(chǎn)出：

生產(chǎn)計劃：各種物品的凈產(chǎn)出寫成一個向量

生產(chǎn)可能性集：所有技術上可行的生產(chǎn)計劃的集合

受限制的或短期生產(chǎn)可能性集：由來表示；這由所有與約束水平相一致的可行的凈產(chǎn)出束組成中級微觀經(jīng)濟學-范里安版本短期生產(chǎn)可能性集

生產(chǎn)計劃

資本在短期內(nèi)固定

則短期可能性集寫為

產(chǎn)出只有一種時，定義生產(chǎn)函數(shù)

中級微觀經(jīng)濟學-范里安版本例子：凈產(chǎn)出束為（y，-x），其中x是可以生產(chǎn)y單位產(chǎn)出的一個投入向量。

相關概念：

投入要求集：至少可以生產(chǎn)y單位產(chǎn)出的所有投入束的集合

等產(chǎn)量線：等產(chǎn)量線給出所有剛好生產(chǎn)y單位產(chǎn)出的投入束。

中級微觀經(jīng)濟學-范里安版本技術有效：

Y中的生產(chǎn)計劃y是（技術上）有效的：要求沒有用同樣的投入生產(chǎn)出更多的產(chǎn)出或用更少的投入生產(chǎn)出相同產(chǎn)出的方法，生產(chǎn)計劃就是有效的。

表述方式：

變換函數(shù)：描述技術上有效的生產(chǎn)計劃的集合

當且僅當y有效時，中級微觀經(jīng)濟學-范里安版本例子：柯布-道格拉斯技術的特點

中級微觀經(jīng)濟學-范里安版本例子：里昂惕夫技術的特點中級微觀經(jīng)濟學-范里安版本生產(chǎn)技術的組合

技術A：一個單位的要素1和兩個單位的要素2，可以生產(chǎn)一個單位的產(chǎn)出。

技術B：兩個單位的要素1和一個單位的要素2，可以生產(chǎn)一個單位的產(chǎn)出。

寫成投入集的形式

若要生產(chǎn)兩單位產(chǎn)出，應使用多少投入要素？

中級微觀經(jīng)濟學-范里安版本生產(chǎn)方法：

重復兩次技術Ａ，或重復兩次技術Ｂ，或使用ＡＢ各生產(chǎn)一次。

則投入要求集為如果更大的產(chǎn)出ｙ，要素組合的選擇性更多中級微觀經(jīng)濟學-范里安版本

如果允許自由處置，則稱生產(chǎn)技術具有單調(diào)性：

單調(diào)性：如果x在V（y）中，并且

則也在V（y）中。

思考自由處置的現(xiàn)實背景：處置或儲藏不需要成本，至少不能影響到原有技術的施行。

中級微觀經(jīng)濟學-范里安版本凸技術

思想：我們想要生產(chǎn)“大”量的產(chǎn)出，并且可以復制“小”的生產(chǎn)過程

定義：凸性

如果x和都在V（y）中，那么，對所有0≤t≤1的t而言，在V（y）中。那就是，V（y）是一個凸集。

中級微觀經(jīng)濟學-范里安版本性質(zhì)1凸生產(chǎn)集意味著凸投入要求集。如果生產(chǎn)集Y是一個凸集，那么相聯(lián)的投入要求集也是一個凸集。

證明留作練習。性質(zhì)2凸投入要求集等價于擬凹生產(chǎn)函數(shù)。

V（y）是凸集，當且僅當生產(chǎn)函數(shù)f（x）是一個擬凹函數(shù)。

證明要點：擬凹函數(shù)等價定義：上等值集是凸集。

是凸集正是構建這樣一個上等值集。中級微觀經(jīng)濟學-范里安版本正則技術：對所有y≥0而言，V（y）是一個非空的閉集

V（y）是非空的假定要求，總存在某種可想到的方法來生產(chǎn)出任意給定水平的產(chǎn)出。

技術替代率（TRS）

思想：假定正在某一個點上進行生產(chǎn)，如果要增加一種要素而減少另一種要素的用量，并且保持產(chǎn)出不變。如何決定兩種要素間的替代率？中級微觀經(jīng)濟學-范里安版本隱函數(shù)法推導

全微分法得出同樣的結果中級微觀經(jīng)濟學-范里安版本練習：柯布-道格拉斯技術的技術替代率(TRS)使用隱函數(shù)法，求得

技術替代率測量等產(chǎn)量線的斜率中級微觀經(jīng)濟學-范里安版本替代彈性：測量等產(chǎn)量線的曲率。替代彈性度量當產(chǎn)出保持不變時，要素比率的百分比變動除以技術替代率的百分比變動。

取極限形式后，寫成

經(jīng)濟含義：可以通過廠商追求成本最小化的一階條件來重新審視替代彈性的含義。中級微觀經(jīng)濟學-范里安版本使用對數(shù)微商，可以重新寫為

例：柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)的替代彈性

中級微觀經(jīng)濟學-范里安版本規(guī)模報酬

前面“復制”生產(chǎn)過程的例子實際上是“按比例增加”投入，那么規(guī)模報酬不變意味著：

下列任何一個條件被滿足，即稱為規(guī)模報酬不變

1．對所有非負t；y在Y中意味著ty在Y中

2．x在V（y）中意味著tx在V（y）中，對所有t≥0？

3．，對于所有t≥0。即生產(chǎn)函數(shù)f(x)是一次齊次的。

那么，何時規(guī)模報酬不變會被違反？中級微觀經(jīng)濟學-范里安版本違反規(guī)模報酬不變的情形：

1．向下調(diào)整，即細分生產(chǎn)技術不總是可行的

2．非整數(shù)數(shù)量向上調(diào)整也不可行

3．產(chǎn)出加倍后，會有更有效的生產(chǎn)方式——

對應規(guī)模報酬遞增的概念。

規(guī)模報酬遞增。如果對所有t>1，

，一項技術就表現(xiàn)出規(guī)模報酬遞增。

4．存在不能復制的投入品，此時對應規(guī)模報酬遞減的情形中級微觀經(jīng)濟學-范里安版本例子：探討柯布-道格拉斯生產(chǎn)技術的規(guī)模報酬齊次函數(shù)的概念：

如果對所有t>0，則稱函數(shù)是k次齊次的。規(guī)模報酬與生產(chǎn)函數(shù)的齊次性之間的對應關系?齊次函數(shù)的圖示如下中級微觀經(jīng)濟學-范里安版本位似函數(shù)是一個一次齊次函數(shù)的單調(diào)變換。即若函數(shù)f(x)是位似的，當且僅當它可以寫作

，其中h是一次齊次函數(shù)，g是單調(diào)函數(shù)。位似函數(shù)的圖示中級微觀經(jīng)濟學-范里安版本性質(zhì)：齊次函數(shù)和位似函數(shù)的替代率都獨立于規(guī)模。