湖南省五市教研教改共同體高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

姓名________準(zhǔn)考證號(hào)________（在此卷上答題無效）絕密★啟用前五市教研教改共同體上學(xué)期高二期中聯(lián)考數(shù)學(xué)本試卷共4頁。全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試卷和答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如有改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．某市2018年至2022年新能源汽車年銷量y（單位：千臺(tái)）與年份代號(hào)x的數(shù)據(jù)如下表：年份2019202020212022年份代號(hào)x1234年銷量y1520m35若根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程為，則表中m的值為（）A．25 B．28 C．30 D．323．已知A，B，C是半徑為2的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，，則三棱錐的體積為（）A． B． C． D．4．某校迎新晩會(huì)上有A，B，C，D，E，F(xiàn)共6個(gè)節(jié)目，為了考慮整體效果，對(duì)節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目A，B不相鄰，節(jié)目D，F(xiàn)必須連在一起，則不同的節(jié)目編排方案種數(shù)為（）A．60 B．72 C．120 D．1445．第十四屆全國人民代表大會(huì)第一次會(huì)議于2023年3月5日在北京召開，3月6日各代表團(tuán)分組審議政府工作報(bào)告．某媒體4名記者到甲、乙、丙3個(gè)小組進(jìn)行宣傳報(bào)道，每個(gè)小組至少一名記者，則記者A被安排到甲組的概率為（）A． B． C． D．6．“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中．“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示．下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論正確的是（）A．B．第2023行中從左往右第1011個(gè)數(shù)與第1012個(gè)數(shù)相等C．記第n行的第i個(gè)數(shù)為，則D．第30行中第12個(gè)數(shù)與第13個(gè)數(shù)之比為13：187．已知雙曲線C：（，）的左焦點(diǎn)為F，斜率為的直線l過原點(diǎn)O且與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，且，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．8．已知向量，，與的夾角為，若對(duì)任意，，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列命題正確的是（）A．對(duì)于事件A，B，若，且，，則B．若隨機(jī)變量，，則C．相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近1，兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)D．在做回歸分析時(shí)，殘差圖中殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越寬表示回歸效果越好10．已知函數(shù)的零點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，將的圖象沿x軸向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，則（）A． B．是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心C．是奇函數(shù) D．在區(qū)間上的值域?yàn)?1．有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1，2，3臺(tái)加工的次品率分別為6%，5%，4%，加工出來的零件混放在一起．已知第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)的比為5：6：9，現(xiàn)任取一個(gè)零件，記事件“零件為第i臺(tái)車床加工”（，2，3），事件“零件為次品”，則（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解B．函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)C．若關(guān)于x的方程恰有1個(gè)解，則D．若，且，則存在最大值三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知向量，，且與共線，則________．14．若的展開式中的系數(shù)為60，則實(shí)數(shù)________．15．已知點(diǎn)P為拋物線C：上的動(dòng)點(diǎn)，直線l：，點(diǎn)為圓M：上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離為d，則的最小值為________．16．在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的和，組成一個(gè)新的數(shù)列，這樣的操作叫做這個(gè)數(shù)列的一次“拓展”．先將數(shù)列1，3進(jìn)行拓展，第一次拓展得到1，4，3，第二次拓展得到數(shù)列1，5，4，7，3；……；第n次拓展得到數(shù)列1，，，……，，3，設(shè)，則________，________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．17．（本小題滿分10分）甲、乙兩地到某高校實(shí)施“優(yōu)才計(jì)劃”，即通過筆試，面試，模擬技能這3項(xiàng)考核程序后直接簽約一批優(yōu)秀畢業(yè)生，已知3項(xiàng)程序分別由3個(gè)考核組獨(dú)立依次考核，當(dāng)3項(xiàng)考核程序均通過后即可簽約．2022年，該校數(shù)學(xué)系100名畢業(yè)生參加甲地“優(yōu)才計(jì)劃”的具體情況如下表（不存在通過3項(xiàng)程序考核放棄簽約的情況）：人數(shù)性別參加考核但未能簽約的人數(shù)參加考核并能簽約的人數(shù)男生3515女生4010今年，該校數(shù)學(xué)系畢業(yè)生小明準(zhǔn)備參加兩地的“優(yōu)才計(jì)劃”，假定他參加各程序的結(jié)果相互不影響，且他的輔導(dǎo)員作出較客觀的估計(jì)：小明通過甲地的每項(xiàng)程序的概率均為，通過乙地的各項(xiàng)程序的概率依次為，，．（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷這100名畢業(yè)生去年參加甲地“優(yōu)才計(jì)劃”能否簽約與性別是否有關(guān)聯(lián)？（2）若小明通過甲、乙兩地的程序的項(xiàng)數(shù)分別記為X，Y，分別求出X與Y的數(shù)學(xué)期望．參考公式與臨界值表：，．0.100.050.0102.7063.8416.63518．（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱中，，點(diǎn)D為棱AC的中點(diǎn)，且，側(cè)面為菱形，且．（1）求證：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．19．（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）記，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，探究：是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．20．（本小題滿分12分）航天事業(yè)是國家綜合國力的重要標(biāo)志，帶動(dòng)著一批新興產(chǎn)業(yè)和新興學(xué)科的發(fā)展．2022~2023學(xué)年全國青少年航天創(chuàng)新大賽設(shè)航天創(chuàng)意設(shè)計(jì)、太空探測(cè)、航天科學(xué)探究與創(chuàng)新三個(gè)競(jìng)賽單元及載人航天主題專項(xiàng)賽．某校為了激發(fā)學(xué)生對(duì)航天科技的興趣，點(diǎn)燃學(xué)生的航天夢(mèng)，舉行了一次航天創(chuàng)新知識(shí)競(jìng)賽選拔賽，從中抽取了10名學(xué)生的競(jìng)賽成績，得到如下表格：序號(hào)i12345678910成績（分）38414451545658647480記這10名學(xué)生競(jìng)賽成績的平均分與方差分別為，．經(jīng)計(jì)算，．（1）求與；（2）規(guī)定競(jìng)賽成績不低于60分為優(yōu)秀，從這10名學(xué)生中任取3名，記競(jìng)賽成績優(yōu)秀的人數(shù)為X，求X的分布列；（3）經(jīng)統(tǒng)計(jì)，航天創(chuàng)新知識(shí)選拔賽成績服從正態(tài)分布，用，的值分別作為，的近似值，若科創(chuàng)中心計(jì)劃從全市抽查100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，記這100名學(xué)生的測(cè)試成績恰好落在區(qū)間的人數(shù)為Y，求Y的均值．附：若，則，，．21．（本小題滿分12分）已知橢圓C：的焦距為，，分別為C的左，右焦點(diǎn)，過的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，的周長為8．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)且斜率不為零的直線與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，試問：在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得．若存在，求出定點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性，并求的極大值；（2）若存在正實(shí)數(shù)，使得成立，求a的值．五市教研教改共同體上學(xué)期高二期中聯(lián)考·數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則一、選擇題123456789101112CCADBCBDACABACDABD1．【答案】C【解析】∵，∴所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限．故選C．2．【答案】C【解析】由已知，回歸直線方程為過樣本點(diǎn)中心，∴，即，∴．故選C．3．【答案】A【解析】∵，，∴△ABC為等腰直角三角形，∴，則△ABC外接圓的半徑為，又球的半徑為2，設(shè)O到平面ABC的距離為d，則，所以．故選A．4．【答案】D【解析】先將兩個(gè)節(jié)目D，F(xiàn)視為一個(gè)元素，與節(jié)目C，E進(jìn)行全排列，再將節(jié)目A，B插入四個(gè)空檔中，所以共有種不同的結(jié)果，故選D．5．【答案】B【解析】4名記者到甲、乙、丙3個(gè)小組進(jìn)行宣傳報(bào)道，每個(gè)小組至少一名記者，共有種不同情況，記者A被安排到甲組有種，所求概率為，故選B．6．【答案】C【解析】由可得，故A錯(cuò)誤；第2023行是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)最大，即和，也就是第2023行中第1012個(gè)數(shù)和第1013個(gè)數(shù)相等，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；第n行的第i個(gè)數(shù)為，所以，故C正確；第30行中第12個(gè)數(shù)與第13個(gè)數(shù)之比為，故D錯(cuò)誤．故選C．7．【答案】B【解析】記雙曲線C的右焦點(diǎn)為，P為第二象限上的點(diǎn)，連接PF，，QF，，根據(jù)雙曲線的和直線l的對(duì)稱性知．四邊形為平行四邊形，因?yàn)椋仕倪呅螢榫匦?，而，故，，則，，則．故選B．8．【答案】D【解析】由已知可求得，對(duì)任意的，，，又，∴，∴，即，，記，則．因此函數(shù)在上遞減，又，由，∴，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，∴．故選D．9．【答案】AC10．【答案】AB【解析】∵函數(shù)的零點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，∴周期，∴，A正確；函數(shù)沿x軸向右平移個(gè)單位，可得，，B正確；為偶函數(shù)，C錯(cuò)誤；在區(qū)間上的值域?yàn)?，D錯(cuò)誤．故選AB，11．【答案】ACD【解析】事件“零件為第i臺(tái)車床加工”（，2，3），事件“零件為次品”，則，，，，，，故A正確，B錯(cuò)誤；，故C正確；，故D正確．故選ACD．12．【答案】ABD【解析】由已知由方程得或或，由圖可知，無解，無解，有3個(gè)解，故A正確；由圖可知，和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，故B正確；若方程數(shù)恰有1個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與的圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)，可得或，故C錯(cuò)誤；由，則，，，則，設(shè)，則，設(shè)，顯然在上單調(diào)遞增，且，，所以存在，使，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以存在最大值，故D正確．故選ABD．二、填空題13． 14． 15． 16．；或第16題的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：第1空2分，第2空3分。13．【解析】由與共線得，，所以．14．【解析】∵的展開式中含的項(xiàng)為，由已知的系數(shù)為，∴．15．【解析】拋物線C：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為直線l：，圓M：的圓心，半徑，由拋物線的定義知，，則，當(dāng)P，F(xiàn)，M三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值為．16．【解析】（1）設(shè)數(shù)列1，3第n次拓展后的項(xiàng)數(shù)為，則，，根據(jù)拓展規(guī)則可知，，即，∴數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2，∴，即，所以；（2）根據(jù)拓展規(guī)則可知，，∴，又，∴數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為6，公比為3，∴，所以．三、解答題17．【解析】（1）列聯(lián)表：人數(shù)性別參加考核但未能簽約的人數(shù)參加考核并能簽約的人數(shù)合計(jì)男生351550女生401050合計(jì)7525100，……3分根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可認(rèn)為這100名畢業(yè)生去年參加甲地“優(yōu)才計(jì)劃”能否簽約與性別無關(guān)；……4分（2）由已知，小明通過甲地的每項(xiàng)程序的概率均為，所以X服從二項(xiàng)分布，即，∴，……6分由題意：Y的可能取值為0，1，2，3，，，，．……9分所以Y的數(shù)學(xué)期望．……10分18．【解析】（1）因?yàn)?，點(diǎn)D為棱AC的中點(diǎn)，所以，又，，平面，平面，所以平面．又平面，所以，如圖，連接．因?yàn)閭?cè)面為菱形，且，所以為等邊三角形，所以．又，所以平面ABC．又平面ABC，∴；……5分（2）以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以DB，DC，所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)，由題知，，，，，由，可得，……7分設(shè)平面的法向量為，而，，則有取，得，……9分設(shè)直線與平面夾角為，則，……11分即直線與平面夾角的正弦值為．……12分19．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由已知∴，……3分又，∴，……4分?jǐn)?shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為4，∴；……6分（2）由（1）知，數(shù)列的前n項(xiàng)和為①，②；……7分①-②得，∴，……9分又，則其前n項(xiàng)和為，……10分∴，所以為定值2．……12分20．【解析】（1），；……3分（2）競(jìng)賽成績“優(yōu)秀”的學(xué)生有3人，則X的可能取值為0，1，2，3，則，，，．則X的分布列為：X0123P……8分（3）由題意，，，記抽查學(xué)生的測(cè)試成績?yōu)?，則，……10分∴這100名學(xué)生的測(cè)試成績恰好落在區(qū)間的入數(shù)為，∴．……12分21．【解析】（1）已知橢圓的焦距，則，……1分又的周長為8，∴，則，……3分所以，故橢圓C的方程為；……4分（2）證明：假設(shè)存在x軸上的定點(diǎn)，使得，則結(jié)合圖形可得，所以，……5分由題意，直線EF的斜率一定存在，設(shè)直線EF的方程為，由得，設(shè)，，則，∴且……7分直線ET的斜率為，直線FT的斜率為，由得，……8分∴，即，……10分∴，則，……11分所以在x軸上存在一個(gè)定點(diǎn)，使得．……12分22．【解析】（1）由已知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，…?分當(dāng)時(shí)，由得，由得